苏州高新区2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份苏州高新区2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分．
1．点（﹣2，6）位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列各式中，表示正比例函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝3x+1 C．y2＝3x D．y＝3x2
3．下列4个数中，是负数的是（ ）
A． B．﹣（﹣3） C． D．
4．如图，A，B两点的坐标分别为（4，0），（0，2），将线段AB平移到线段A1B1的位置．若A1，B1两点的坐标分别为（b，2），（2，a），则a+b的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10

第4题 第5题
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）

A． B．﹣1 C．+1 D．1﹣
7．下列说法中正确的有（ ）
（1）如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形；
（2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；
（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；
（4）如果三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则ABC是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知M（2，2）．规定“把点M先作关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2016，2） B．（﹣2016，﹣2） C．（﹣2017，﹣2） D．（﹣2017，2）
9．如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定

第9题 第10题
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，点F，G分别是AB，AC上的点，DF＝DG．现有以下结论：①AB：AC＝BD：DC；②AG+AF＝2AE；③AB＝AG；S△ADG＝S△ADF+2S△DEF，其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11．点（﹣5，3）到y轴上的距离是 ．
12．1.998精确到0.01的近似数是 ．
13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．

第13题 第15题
14．一支蜡烛长20cm，每分钟燃烧的长度是2cm，蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分）之间的关系为 （不需要写出自变量的取值范围）．
15．如图，在△ABC中∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则BD的长为 ．
16．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．

第16题 第17题 第18题
17．为了抗击疫情，小明加强身体锻炼，他从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，沿原路返回．途中又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，如图，其中x表示时间，y表示小明离家的距离，根据图象提供的信息，有以下四个说法：①体育场离小明家2.5km；②小明在体育场锻炼了15min；③体育场离早餐店1km；④小明从早餐店回家的平均速度是km/h．其中说法正确的有 ．
18．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为 ．
三、解答题：本大题共76分．
19．（5分）计算：﹣（﹣）﹣1+20210﹣|﹣2|．

20．（9分）求下列各式中的x．
（1）49x2﹣16＝0；
（2）（x+2）2＝16；
（3）．

21．（7分）已知y+3与x+2成正比例，且当x＝3时，y＝7；
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值；
（3）当y＝0时，求x的值．

22．（7分）三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出三角形ABC各顶点的坐标：
A ，B ，C ；
（2）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）求三角形ABC的面积．

23．（6分）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．



24．（7分）已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数．

25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O是坐标原点，AO＝AB＝10，OB＝12．
（1）求点A的坐标；
（2）将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，求点O的对应点O′的坐标．


26．（8分）（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，求∠DAE的度数；
（2）如果把第（1）题中“AB＝AC”条件删去，其余条件不变，那么∠DAE的度数改变吗？试证明；
（3）如果把（1）题中“∠BAC＝90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，试探究∠DAE与∠BAC的数量关系式，试证明．


27．（9分）阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ ，AB＝ ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．



28．（10分）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）请用t的代数式表示BP和BQ的长度：BP＝ ，BQ＝ ．
（2）若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成4：5两部分？
（3）若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点P、Q能与△ABC的一个顶点构成等边三角形？



A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】由题意，线段AB，向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到A1B1，求出a，b的值，可得结论．
【解答】解：由题意，线段AB，向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到A1B1，
∴a＝4，b＝6，
∴a+b＝10，
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离（ ）

A．3 B．4 C．5 D．
【分析】由将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，先求出AC'长度，再设CD＝C'D＝x，Rt△AC'D中用勾股定理列方程，即可得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，
∴BC'＝BC＝6，∠BC'D＝∠C＝90°，CD＝C'D，
∴AC'＝AB﹣BC'＝4，∠AC'D＝90°，
设CD＝C'D＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，
Rt△AC'D中，AC'2+C'D2＝AD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴C'D＝3，
∵∠BC'D＝90°，
∴点D到AB的距离为C'D＝3．
故选：A．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ）

A． B．﹣1 C．+1 D．1﹣
【分析】利用勾股定理求出AC，在判断出OE的值即可解决问题
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，
∴AC＝＝＝，
∴AE＝AC＝，
∴OE＝﹣1，
∴点E表示的实数为﹣1，
故选：B．

7．（3分）下列说法中正确的有（ ）
（1）如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形；
（2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；
（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；
（4）如果三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则ABC是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．
【解答】解：（1）不正确，因为根据三角形的内角和得不到90°的角；
（2）正确，由三角形内角和定理可求出∠C为90度；
（3）正确，设三边分别为6x，8x，10x，则有6x2+8x2＝10x2；
（4）正确，因为（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2．所以正确的有三个，
故选：C．
8．（3分）已知M（2，2）．规定“把点M先作关于x轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．（﹣2016，2） B．（﹣2016，﹣2） C．（﹣2017，﹣2） D．（﹣2017，2）
【分析】根据轴对称判断出点M变换后在x轴上方，然后求出点M纵坐标，再根据平移的距离求出点M变换后的横坐标，最后写出坐标即可．
【解答】解：由题可得，第2018次变换后的点M在x轴上方，
∴点M的纵坐标为2，横坐标为2﹣2018×1＝﹣2016，
∴点M的坐标变为（﹣2016，2），
故选：A．
9．（3分）如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（ ）


∴AB：AC＝BD：DC，即①正确；
∵DE⊥AB，DN⊥AC，
∴∠AED＝∠AMD＝90°，
在△AED和△AMD中，
，
∴△AED≌△AMD（AAS），
∴AE＝AM，
在Rt△DEF和Rt△DMG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DMG（HL），
∴EF＝MG，
∵AG＝AM+GM，AF＝AE﹣EF，
∴AG+AF＝AM+GM+AE﹣EF＝2AE，即②正确；
S△ADG＝S△ADM+S△DEF＝S△ADE+S△DEF＝S△ADF+S△DEF+S△DEF＝S△ADF+2S△DEF，即④正确；
③若AB＝AG，则E必为BF的中点，但无此条件，故错误，
故正确的命题有3个，
故选：C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（3分）点（﹣5，3）到y轴上的距离是 5 ．
【分析】确定点到y轴的距离，即为点的横坐标的绝对值．
【解答】解：点P（﹣5，3）到y轴的距离是|﹣5|＝5，
故答案为：5．
12．（3分）1.998精确到0.01的近似数是 2.00 ．
【分析】把千分位上的数字8进行四舍五入即可．
【解答】解：1.998精确到0.01的近似数是2.00．
故答案为2.00．
13．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 19 cm．

【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD＝CD，AC＝2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为19．
14．（3分）一支蜡烛长20cm，每分钟燃烧的长度是2cm，蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分）之间的关系为 y＝20﹣2x （不需要写出自变量的取值范围）．
【分析】根据燃烧速度和燃烧时间求出燃烧长度，根据题意列出函数关系式．
【解答】解：∵每分钟燃烧的长度是2cm，燃烧时间x分，
∴燃烧的长度为2x（cm），
∴蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（分）之间的关系为：y＝20﹣2x，
故答案为：y＝20﹣2x．
15．（3分）如图，在△ABC中∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则BD的长为 9 ．

【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据三角形面积公式得出AB×AC＝BC×AD，代入求出AD，再根据勾股定理求出BD即可．
【解答】解：利用勾股定理：BC＝＝25；
∵S△ACB＝×AB×AC＝×BC×AD，
∴15×20＝25×AD，
∴AD＝12，
利用勾股定理：BD＝＝9．
故答案为：9．
16．（3分）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 4.55 尺．

【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解答】解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：
x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面4.55尺．
故答案为：4.55．
17．（3分）为了抗击疫情，小明加强身体锻炼，他从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，沿原路返回．途中又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，如图，其中x表示时间，y

＝3+．
20．（9分）求下列各式中的x．
（1）49x2﹣16＝0；
（2）（x+2）2＝16；
（3）．
【分析】（1）根据等式的性质得出x2＝，再利用平方根的定义求解即可；
（2）根据平方根的意义得出x+2＝±4，即x+2＝4或x+2＝﹣4，进而求出x的值；
（3）根据等式的性质和立方根的意义得出2x﹣1＝﹣2，进而求出x的值．
【解答】解：（1）49x2﹣16＝0，
49x2＝16，
x2＝，
x＝±，
即x＝±；
（2）（x+2）2＝16，
x+2＝±4，
即x+2＝4或x+2＝﹣4，
解得x＝2或x＝﹣6；
（3），
（2x﹣1）3＝﹣8，
2x﹣1＝﹣2，
解得x＝﹣．
21．（7分）已知y+3与x+2成正比例，且当x＝3时，y＝7；
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝﹣1时，求y的值；
（3）当y＝0时，求x的值．
【分析】（1）设y+3＝k（x+2）（k≠0），根据当x＝3时，y＝7，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值，将k值代入y+3＝k（x+2）中整理后即可得出结论；
（2）将x＝﹣1代入y＝2x+1中即可得出结论；
（3）将y＝0代入y＝2x+1中，求出x值即可．
【解答】解：（1）设y+3＝k（x+2）（k≠0），
∵当x＝3时，y＝7，
∴7+3＝k（3+2），
∴k＝2，
∴y+3＝2x+4，即y＝2x+1．
（2）当x＝﹣1时，y＝﹣1×2+1＝﹣1．
（3）当y＝0时，2x+1＝0，
解得：x＝﹣．
22．（7分）三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出三角形ABC各顶点的坐标：
A （1，3） ，B （2，0） ，C （3，1） ；
（2）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？
（3）求三角形ABC的面积．

【分析】（1）根据A，B，C的位置写出坐标即可．
（2）利用平移变换的性质判断即可．
（3）利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）A（1，3），B（2，0），C（3，1）．
故答案为：（1，3），（2，0），（3，1）．
（2）△A′B′C′先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△ABC．
（3）．
23．（6分）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．

【分析】Rt△ABC中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD＝BC﹣BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间＝路程÷速度；
【解答】解：由题意，得：AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．


【分析】（1）如图，过点A作AC⊥OB于点C，则∠ACO＝90°，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求出OC，AC，可得结论；
（2）由旋转的性质可知，△AOB≌△A′O′B，推出A′B＝AB＝10，O′B＝OB＝12，过点O′作O′D⊥A′B于点D，利用面积法求出O′D，再利用勾股定理求出BD，OD，可得结论．
【解答】解：（1）如图，过点A作AC⊥OB于点C，则∠ACO＝90°，

∵AO＝AB，AC⊥OB，
∴OC＝BC＝6，
在Rt△ACO中，∠ACO＝90°，
∴AC＝＝＝8，
∴点A的坐标为（6，8）；
（2）由旋转的性质可知，△AOB≌△A′O′B，
∴A′B＝AB＝10，O′B＝OB＝12，
过点O′作O′D⊥A′B于点D，
∵S△AOB＝S△A′O′B，
∴•AC•OB＝•A′B•O′D，
∴×8×12＝×10×O′D，
∴O′D＝，
∵O′D⊥A′B，
∴∠O′DA′＝90°，
在Rt△O′BD中，BD＝＝＝，
∴OD＝OB+BD＝12+＝，
∴O′（，）．

＝（90°+x）﹣（x+45°）＝45°；
（3）∠DAE＝∠BAC．
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，
则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，
∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x，
∴∠DAE＝∠BAC．
27．（9分）阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ 9 ，AB＝ 12 ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．

【分析】（1）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，根据垂直平分线的性质得到AB＝BD，∠A＝∠D，根据题意、三角形内角和定理得到∠CBD＝∠A，根据勾股定理计算即可；
（2）仿照（1）的作法解答．
【解答】解：（1）如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D，
∵3∠A+∠ABC＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝2∠A，
∵∠BCA＝∠D+∠CBD，
∴∠BCA＝∠A+∠CBD＝2∠A，
∴∠CBD＝∠A，
∴DC＝BC＝8，
∴AD＝DC+AC＝8+10＝18，
∴AE＝AD＝9，
∴EC＝AD﹣CD＝9﹣8＝1．
∴在直角△BCE和直角△AEB中，
由勾股定理得到：BC2﹣CE2＝AB2﹣AE2，即82﹣12＝AB2﹣92，
解得，AB＝12，
故答案是：9；12；
（2）作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，
则BE是边AD的垂直平分线，
∴AB＝BD，∠A＝∠D．
∵3∠A+2∠B＝180°，∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，
∴2∠A+∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠D+∠DBC，
∴2∠A+∠ABC＝∠D+∠DBC，
∵∠A＝∠D，
∴∠A+∠ABC＝∠DBC，BD＝AB＝c，即∠DCB＝∠DBC，
∴DB＝DC＝c，
由题意得，DE＝AE＝，
∴EC＝AE﹣AC＝﹣b＝，
在Rt△BEC中，BE2＝BC2﹣EC2，
在Rt△BEA中，BE2＝BA2﹣EA2，
∴BC2﹣EC2＝BA2﹣EA2，即a2﹣（）2＝c2﹣（）2，
整理得，b＝．

28．（10分）如图，在等边△ABC中，AB＝9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．
（1）请用t的代数式表示BP和BQ的长度：BP＝ 9﹣2t ，BQ＝ 5t ．
（2）若点Q在到达点A后继续沿三角形的边长向点C移动，同时点P也在继续移动，请问在点Q从点A到点C的运动过程中，t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成4：5两部分？
（3）若P、Q两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问在它们第一次相遇前，t为何值时，点P、Q能与△ABC的一个顶点构成等边三角形？