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初中数学华师大版八年级上册4 角边角示范课课件ppt
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这是一份初中数学华师大版八年级上册4 角边角示范课课件ppt，共23页。PPT课件主要包含了新课导入，探究新知，特别提醒，课堂小结，角边角，判定定理，角角边等内容，欢迎下载使用。
问题：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去呢？你能帮这位同学出主意吗？
前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到了全等三角形的一种判定方法.
现在，我们讨论两角一边的情况:如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？
如图，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角，这条线段为这两个角的夹边.
步骤:1.画一条线段AB，使它等于3 cm；2．画∠MAB = 60°，∠NBA = 40°，MA与NB 交于点 C.△ABC 即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合. 所画的三角形都全等吗？
△ABC与△A′B′C′ 重合，说明这两个三角形全等.
基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
“角边角”判定定理用符号语言表示为:
例如: 在△ABC 和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′ ()
如图，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB = ∠DBC．求证: △ABC ≌△DCB，AB = DC.
解：在△ABC 和△DCB 中，∵∠ABC =∠DCB （已知），BC = CB（公共边），∠ACB = ∠DBC（已知），∴△ABC≌△DCB（ ）.∴AB = DC（全等三角形的对应边相等）.
如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？
分析：因为三角形的内角和等于 180°，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等.
下面我们证明这个定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为 A.A.S（或角角边）.
已知:如图，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，BC = B′C′.求证: △ABC ≌ △A'B'C'.
证明: ∵ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′ (已知)，∠A′ +∠B′ +∠C′ = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∴∠A +∠B+∠C′ = 180°(等量代换).又∵∠A +∠B+∠C = 180°（三角形的内角和等于180°），∴∠C = ∠C′ (等式的性质).在△ABC和△A′B′C′中，∵∠ABC=∠A′B′C′，BC= B′C′，∠C =∠C′，∴△ABC≌△A′B′C′（）.
“角边角”中的边必须是两组对应相等的角的夹边．
“角角边”中的边是其中一组等角的对边．
1. 如图，∠A =∠B，CA =CB，△CAD和△CBE全等吗？ CD 和 CE 相等吗？试说明理由.
解: △CAD ≌△CBE，CD＝CE．理由: 在△CAD 和△CBE 中，∵∠C＝∠C，CA＝CB，∠A＝∠B，∴△CAD ≌△CBE ()，∴CD ＝CE.
2.已知四边形 ABCD，对角线 BD 将其分成两个三角形，其中 ∠ABD = ∠C，∠ADB = ∠DBC. 此时这两个三角形全等吗？请画出图形，并说说你的想法.
不一定全等．不满足全等的判定条件．
3. 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高. 这时数学老师走过来，笑着对他们说:“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同吗？你能运用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？(假定太阳光线是平行的)
解: 由于人站立时，垂直于地面，当太阳光线照射人头顶到落到地面上时，太阳光与地面所成的夹角相等，当影长相等时，由身高、影长、太阳光线所形成的两个三角形全等．所以两人身高相同．
如图，在△ABC中，D 是边 BC 的中点，过点C 画直线 CE，使 CE// AB，交 AD 的延长线于点 E．求证: AD = ED.
证明: CE // AB (已知)，∵∠ABD = ∠ECD，∠BAD = ∠CED (两直线平行，内错角相等).在△ABD 与 △ECD 中，∵∠ABD = ∠ECD，∠BAD = ∠CED (已证)，BD = CD (已知)，∴△ABD≌△ECD ( ) ，∴AD = ED (全等三角形的对应边相等).
要证明两条线段 AD、ED 相等，我们发现它们分别属于△ABD 与△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法.
可以采用类似的方法证明两个角相等.
求证: 全等三角形对应边上的高相等. 已知: 如图，△ABC ≌△A′B′C′，AD、A′D′ 分别是△ABC 的 BC 边和 △A′B′C′ 的 B′C′ 边上的高. 求证: AD = A′D′.
分析：从图中可以看出，AD、A′D 分别属于△ABD 与△A′B′D′，要证 AD = A′D′，只需证明这两个三角形全等即可.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′ (已知)，∴AB = A′B′ (全等三角形的对应边相等)，∠B = ∠B′ (全等三角形的对应角相等).在△ABD和△A′B′D′ 中，∵∠ADB = ∠A′D′B′ = 90°(已知)，∠B = ∠B′ (已证)，AB = A′B′ (已证)，∴△ABD≌A′B′D′ ( ) ， ∴AD =A′D′ (全等三角形的对应边相等).
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？
△ABC≌△A′B′C′
AD、AD′分别是对应边上中线
AD = AD′ 是中线
BD、BD′分别是对应角的平分线
BD = BD′ 是中线
1. 如图，∠1=∠2，∠C = ∠D. 求证: AC = AD.
证明:在△ABC 和△ABD 中，∵∠1＝∠2，∠C＝∠D ，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD ()，∴AC＝AD ．
2.如图，AB//CD，AE//CF ，BF = DE. 试找出图中 其他的相等关系，并给出证明.
解: AB = CD ；AE = CF；∠A=∠C.提示: 利用已知条件证明 △ABE≌△CDF.
应用角边角、角角边判定三角形全等
应用角边角、角角边解决问题
问题：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪一块去呢？你能帮这位同学出主意吗？
前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到了全等三角形的一种判定方法.
现在，我们讨论两角一边的情况:如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？
如图，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角为其内角，这条线段为这两个角的夹边.
步骤:1.画一条线段AB，使它等于3 cm；2．画∠MAB = 60°，∠NBA = 40°，MA与NB 交于点 C.△ABC 即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，或将你画的三角形剪下，放到其他同学画的三角形上，看看是否完全重合. 所画的三角形都全等吗？
△ABC与△A′B′C′ 重合，说明这两个三角形全等.
基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
“角边角”判定定理用符号语言表示为:
例如: 在△ABC 和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′，则△ABC≌△A′B′C′ ()
如图，已知∠ABC=∠DCB，∠ACB = ∠DBC．求证: △ABC ≌△DCB，AB = DC.
解：在△ABC 和△DCB 中，∵∠ABC =∠DCB （已知），BC = CB（公共边），∠ACB = ∠DBC（已知），∴△ABC≌△DCB（ ）.∴AB = DC（全等三角形的对应边相等）.
如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？
分析：因为三角形的内角和等于 180°，因此有两个角分别对应相等，那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角”，便可证得这两个三角形全等.
下面我们证明这个定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为 A.A.S（或角角边）.
已知:如图，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，BC = B′C′.求证: △ABC ≌ △A'B'C'.
证明: ∵ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′ (已知)，∠A′ +∠B′ +∠C′ = 180° (三角形的内角和等于180°)， ∴∠A +∠B+∠C′ = 180°(等量代换).又∵∠A +∠B+∠C = 180°（三角形的内角和等于180°），∴∠C = ∠C′ (等式的性质).在△ABC和△A′B′C′中，∵∠ABC=∠A′B′C′，BC= B′C′，∠C =∠C′，∴△ABC≌△A′B′C′（）.
“角边角”中的边必须是两组对应相等的角的夹边．
“角角边”中的边是其中一组等角的对边．
1. 如图，∠A =∠B，CA =CB，△CAD和△CBE全等吗？ CD 和 CE 相等吗？试说明理由.
解: △CAD ≌△CBE，CD＝CE．理由: 在△CAD 和△CBE 中，∵∠C＝∠C，CA＝CB，∠A＝∠B，∴△CAD ≌△CBE ()，∴CD ＝CE.
2.已知四边形 ABCD，对角线 BD 将其分成两个三角形，其中 ∠ABD = ∠C，∠ADB = ∠DBC. 此时这两个三角形全等吗？请画出图形，并说说你的想法.
不一定全等．不满足全等的判定条件．
3. 课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高. 这时数学老师走过来，笑着对他们说:“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定它们的身高相同吗？你能运用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？(假定太阳光线是平行的)
解: 由于人站立时，垂直于地面，当太阳光线照射人头顶到落到地面上时，太阳光与地面所成的夹角相等，当影长相等时，由身高、影长、太阳光线所形成的两个三角形全等．所以两人身高相同．
如图，在△ABC中，D 是边 BC 的中点，过点C 画直线 CE，使 CE// AB，交 AD 的延长线于点 E．求证: AD = ED.
证明: CE // AB (已知)，∵∠ABD = ∠ECD，∠BAD = ∠CED (两直线平行，内错角相等).在△ABD 与 △ECD 中，∵∠ABD = ∠ECD，∠BAD = ∠CED (已证)，BD = CD (已知)，∴△ABD≌△ECD ( ) ，∴AD = ED (全等三角形的对应边相等).
要证明两条线段 AD、ED 相等，我们发现它们分别属于△ABD 与△ECD，若能证明这两个三角形全等，便可利用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论.这就是通常证明两条线段相等的一个重要方法.
可以采用类似的方法证明两个角相等.
求证: 全等三角形对应边上的高相等. 已知: 如图，△ABC ≌△A′B′C′，AD、A′D′ 分别是△ABC 的 BC 边和 △A′B′C′ 的 B′C′ 边上的高. 求证: AD = A′D′.
分析：从图中可以看出，AD、A′D 分别属于△ABD 与△A′B′D′，要证 AD = A′D′，只需证明这两个三角形全等即可.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′ (已知)，∴AB = A′B′ (全等三角形的对应边相等)，∠B = ∠B′ (全等三角形的对应角相等).在△ABD和△A′B′D′ 中，∵∠ADB = ∠A′D′B′ = 90°(已知)，∠B = ∠B′ (已证)，AB = A′B′ (已证)，∴△ABD≌A′B′D′ ( ) ， ∴AD =A′D′ (全等三角形的对应边相等).
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有什么关系呢？你能说明其中的道理吗？
△ABC≌△A′B′C′
AD、AD′分别是对应边上中线
AD = AD′ 是中线
BD、BD′分别是对应角的平分线
BD = BD′ 是中线
1. 如图，∠1=∠2，∠C = ∠D. 求证: AC = AD.
证明:在△ABC 和△ABD 中，∵∠1＝∠2，∠C＝∠D ，AB＝AB，∴△ABC≌△ABD ()，∴AC＝AD ．
2.如图，AB//CD，AE//CF ，BF = DE. 试找出图中 其他的相等关系，并给出证明.
解: AB = CD ；AE = CF；∠A=∠C.提示: 利用已知条件证明 △ABE≌△CDF.
应用角边角、角角边判定三角形全等
应用角边角、角角边解决问题
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