华师大版八年级上册3 角平分线评课课件ppt

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角平分线的性质定理角平分线的判定定理三角形的角平分线的性质(拓展点)
1. 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线的性质的两个必要条件：(1)点在角平分线上；(2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度.两者缺一不可.
2. 几何语言 如图13.5-13，∵ OP 平分∠ AOB，PD ⊥ OA 于点D，PE ⊥ OB 于点E，∴ PD=PE.
特别提醒1. 角平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).2. 利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
如图13.5-14，OD 平分∠ EOF，在OE，OF 上分别取点A、B，使OA=OB，P 为OD 上一点，PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，垂足分别为M，N.求证：PM=PN.
解题秘方：在图中找出符合角平分线的性质的模型，利用角平分线的性质证线段相等.
方法点拨：在证明两条线段相等时，若两条线段分别在两个三角形中，可考虑使用三角形全等或角平分线的性质；若条件中有垂直和角平分线，则优先考虑使用角平分线的性质.
证明：∵ OD 平分∠ EOF，∴∠ BOD= ∠ AOD.在△ BOD 和△ AOD 中，∴△ BOD ≌△ AOD().∴∠ BDO= ∠ ADO，即DO 平分∠ BDA.又∵ P 为DO 上一点，且PM ⊥ BD，PN ⊥ AD，∴ PM=PN.
1-1. 如图，AD 是∠ BAC的平分线，DE ⊥ AB，交AB 的延长线于点E，DF ⊥ AC 于点F， 且DB=DC. 求证：BE=CF.
如图13.5-15， 在△ ABC 中， ∠ C=90 °，AC=BC，AD 平分∠ CAB，交BC 于点D，DE ⊥ AB，垂足为E. 若AB=8 cm，求△ DEB 的周长.
解题秘方：运用角平分线的性质及全等三角形的性质，将△ DEB 的周长转化为线段AB 的长.
解法提醒：求三角形的周长时，若三角形各边的长不易求解，可考虑找出题中的相等线段进行等量替换，而角平分线的性质能起到等量替换的作用，使三角形的周长等于一条线段长，从而整体求出.
解：在△ ABC 中，∠ C=90°，∴ DC ⊥ AC.又∵ DE ⊥ AB，AD 平分∠ CAB，∴ DC=DE.在Rt △ ACD 和Rt △ AED 中，∴ Rt △ ACD ≌ Rt △ AED(H.L.). ∴ AC=AE.∵ AC=BC，∴ AE=BC.∴△ DEB 的周长为DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8 cm.
2-1. 如图，在△ ABC 中，∠ C=90 °，AD 平分∠ BAC，DE ⊥ AB 于点E.
有下列结论：① CD=ED；② AC+BE=AB；③∠ BDE= ∠ BAC；④ DA 平分∠ CDE.其中正确的结论的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4
如图13.5-16，BD 是△ ABC 的角平分线，DE ⊥ AB于点E，S △ ABC=90 cm2，AB=18 cm，BC=12 cm，求DE 的长.
解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解.
解：过点D作DF ⊥BC，垂足为F，如图13.5-16.∵ BD 是∠ ABC 的平分线，DE ⊥ AB，∴ DE=DF.又∵S△ ABC=S△ ABD+S△ BDC= ×18×DE+ ×12×DF=90 cm2，∴ DE=6 cm，即DE 的长为6 cm.
3-1.[中考·湖州] 如图，已知在四边形ABCD中，∠ BCD=90°，BD平分∠ ABC，AB=6，BC=9，CD=4， 则四边形ABCD的面积是( )A.24 D.42
1. 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.2. 几何语言 如图13.5-17 所示.∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上.
3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系(1)如图13.5-17，都与距离有关，即条件PD ⊥ OA，PE ⊥ OB 都具备；(2)点在角平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等.
特别提醒1. 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2. 角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3. 角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷.
如图13.5-18，BE=CF，BF ⊥ AC 于点F，CE ⊥ AB于点E，BF 和CE 交于点D. 求证：AD 平分∠ BAC.
解题秘方：利用角平分线的判定定理证明角平分线时，紧扣点在角的内部且点到角两边的距离相等进行证明.
方法点拨：证明角平分线的方法思路：1. 从数量上证明被角平分线分成的两个角相等.2. 从形状上证明角的内部的点到角两边的距离相等，即只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想.
证明：∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，∴∠ DEB= ∠ DFC=90°.在△ BDE 和△ CDF 中，∴△ BDE ≌△ CDF().∴ DE=DF.又∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB，∴ AD 平分∠ BAC.
4-1. 如图，在△ABC中，BD ⊥ AC 于D，CE ⊥AB 于E， 且BO=CO.求证：AO 平分∠ BAC.
4-2. 如图，D，E，F分别是△ ABC 三边上的点，CE=BF，△ DCE 和△ DBF 的面积相等.求证：AD 平分∠ BAC.
三角形的角平分线的性质(拓展点)
1. 性质定理 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 这一点叫三角形的内心.
2. 几何语言 如图13.5-19， 在△ ABC 中，AD，BM，CN 分别是∠ BAC，∠ ABC，∠ ACB 的平分线，AD，BM，CN 交于一点O，且点O 到三边BC，AB，AC 的距离(OE，OG，OF 的长)相等，即OE=OG=OF.
要点解读三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
如图13.5-20， 在△ ABC 中， 点O 是∠ ABC，∠ ACB 的平分线的交点，AB+BC+AC=20. 过O 作OD ⊥ BC于点D，且OD=3, 求△ ABC 的面积.
解题秘方：紧扣三角形内角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等解题.
解：如图13.5-20，过点O 作OE ⊥ AB于点E，OF ⊥ AC 于点F, 连结OA.∵点O 是∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的平分线的交点，∴ OE=OD, OF=OD，即OE=OF=OD=3.∴ S △ ABC=S △ ABO+S △ BCO+S △ ACO= AB·OE+ BC· OD+ AC·OF= ×3×( AB+BC+AC)= ×3×20=30.
5-1. 如图. 有一块三角形的空地ABC，其三边长AB，AC，BC 分别为30 m，40 m，50 m. 现要把它分成面积比为3∶4 ∶5的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由.
解：方案如图所示．(方案不唯一)分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连结AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地．
理由：易知P为△ABC的三个内角平分线的交点，∴点P到AB，AC，BC的距离均相等．∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为它们的底边AB，AC，BC的长度的比．即△ABP，△ACP，△BCP的面积比为3∶4∶5.