初中数学鲁教版 (五四制)九年级下册第五章 圆5 确定圆的条件练习

5.5 确定圆的条件

一．选择题

1．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（　　）

A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．24秒

2．下列命题正确的个数有（　　）

①过两点可以作无数个圆；

②经过三点一定可以作圆；

③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；

④任意一个圆有且只有一个内接三角形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是（　　）

A．40° B．30° C．20° D．35°

4．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（　　）

A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°

5．如图，一只花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C，要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，这只花猫最好蹲守在（　　）

A．△ABC的三边高线的交点P处 

B．△ABC的三角平分线的交点P处 

C．△ABC的三边中线的交点P处 

D．△ABC的三边中垂线的交点P处

6．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，那么这个三角形是（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

7．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（　　）

A． B． C． D．

8．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是（　　）

A．8或6 B．10或8 C．10 D．8

9．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC＝，BC＝2，则⊙O的半径为（　　）

A．3 B．6 C．4 D．2

10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC交于点P，OP＝4，则⊙O的半径为（　　）

A．8 B．12 C．8 D．12

11．若点B（a，0）在以A（1，0）为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（　　）

A．a＜﹣1 B．a＞3 C．﹣1＜a＜3 D．a≥﹣1且a≠0

二．填空题

12．当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件　   　．

13．已知⊙O的半径为1，点P与点O之间的距离为d，且关于x的方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，则点P在　   　（填“圆内”“圆上”或“圆外”）．

14．如图，△ABC是圆O的内接三角形，连接OA、OC，若∠AOC＝∠ABC，弦AC＝6，则圆O的半径为　   　．

15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O的半径为　   　．

三．解答题

16．如图，⊙O是△ABD的外接圆，AB为直径，点C是弧AD的中点，连接OC，BC分别交AD于点F，E．

（1）求证：∠ABD＝2∠C．

（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．

17．如图，⊙O是△BC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，联结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：

（1）边BC的长；

（2）⊙O的半径．

参考答案

一．选择题

1．解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，

∵∠QON＝30°，OA＝240米，

∴AC＝120米，

当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，

∵AB＝200米，AC＝120米，

∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，

∵72千米/小时＝20米/秒，

∴影响时间应是：320÷20＝16秒．

故选：B．

2．解：①过两点可以作无数个圆，正确；

②经过三点一定可以作圆，错误；

③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；

④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，

正确的有2个，

故选：B．

3．解：由题意知A、B、C三点在以O为圆心的圆上，

∵AB＝OA＝OB＝OC，

∴∠AOB＝60°，

∵∠ACB＝∠AOB＝30°，

故选：B．

4．解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，

∴∠A＝40°，∠A′＝140°，

故∠BAC的度数为：40°或140°．

故选：C．

5．解：三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．

故选：D．

6．解：∵根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，

∴该三角形是直角三角形．

故选：B．

7．解：连接OA，并作OD⊥AB于D，则

∠OAD＝30°，OA＝2，

∴AD＝OA•cos30°＝，

∴AB＝2．

故选：C．

8．解：由勾股定理可知：

①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；

②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝＝20，

因此这个三角形的外接圆半径为10．

综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．

故选：B．

9．解：如图：连接OB，OC．作OD⊥BC于D

∵OB＝OC，OD⊥BC

∴CD＝BC，∠COD＝∠BOC

又∵∠BOC＝2∠A，BC＝2

∴∠COD＝∠A，CD＝

∵sin∠BAC＝

∴sin∠COD＝

∴OC＝3

故选：A．

10．解：连接OA，OC

∵∠B＝60°，∠AOC＝2∠B

∴∠AOC＝120°

∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

∵OP⊥AC，且∠OAC＝30°

∴AO＝2OP＝2×4＝8

故选：C．

11．解：∵点B（a，0）在以点A（1，0）为圆心，以2为半径的圆内，

∴|a﹣1|＜2，

∴﹣1＜a＜3．

故选：C．

二．填空题

12．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∵A（1，2），B（3，﹣3），

∴

解得：k＝﹣，b＝，

∴直线AB的解析式为y＝﹣+，

∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，

∴点C不在直线AB上，

∴5m+2n≠9，

故答案为：5m+2n≠9．

13．解：∵方程x2﹣2x+d＝0没有实数根，

∴△＝b2﹣4ac＝4﹣4d＜0，

∴d＞1，

∵⊙O的半径为1，

∴d＞r；

∴点P在⊙O的外部，

故答案为：圆外．

14．解：作所作的圆周角∠APC，过O点作OH⊥AC于H，如图，

∵∠P＝∠AOC，∠P+∠ABC＝180°，

∴∠AOC+∠ABC＝180°，

∵∠AOC＝∠ABC，

∴∠AOC+∠AOC＝180°，解得∠AOC＝120°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣120°）＝30°，

∵OH⊥AC，

∴AH＝CH＝AC＝×6＝3，

在Rt△AOH中，OH＝AH＝×3＝3，

∴OA＝2OH＝6，

即圆O的半径为6．

故答案为6．

15．解：如图，连接OA，OB，

∵∠ACB＝45°，

∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴OA＝OB＝AB＝3，

即⊙O的半径是3，

故答案为：3．

三．解答题

16．（1）证明：∵C是的中点，

∴＝，

∴∠ABC＝∠CBD，点F是AD的中点，

∵OB＝OC，

∴∠ABC＝∠C，

∴∠ABC＝∠CBD＝∠C，

∴∠ABD＝∠ABC+CBD＝2∠C；

（2）解：连接AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝＝6，

∵C是的中点，

∴OC⊥AD，

∴OA2﹣OF2＝AF2＝AC2﹣CF2，

∴52﹣OF2＝62﹣（5﹣OF）2，

∴OF＝1.4，

又∵O是AB的中点，F是AD的中点，

∴OF是△ABD的中位线，

∴BD＝2OF＝2.8．

17．解：（1）∵E点为的中点，CE为直径，

∴CE⊥AB，

∴AD＝BD，

即CD垂直平分AB，

∴CB＝CA＝4；

（2）连接OB，如图，

∵AB＝BC＝AC，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠A＝60°，

∴∠BOC＝2∠A＝120°，

∴∠BOD＝60°，

在Rt△BOD中，BD＝AB＝2，

∴OD＝BD＝，

∴OB＝2OD＝，

即⊙O的半径为．