数学九年级下册8 正多边形和圆达标测试

5.8 正多边形和圆

一．选择题

1．正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（　　）

A．2 B． C．1 D．

2．如果某正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，那么这个正多边形的边数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．无法确定

3．半径为2的圆内接正六边形的边心距的长是（　　）

A．2 B．1 C． D．

4．若一个正方形的周长为24，则该正方形的边心距为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．2

5．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（　　）

A．2 B． C．2 D．2

6．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）

A．30° B．40° C．45° D．50°

7．半径为R的圆内接正六边形边长为（　　）

A．R B．R C．R D．2R

8．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（　　）

A．cm B．2cm C．2cm D．cm

二．填空题

9．已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为　   　．

10．正四边形的边长为4，则它的边心距是　   　．

11．中心角为30°的正多边形边数为　   　．

12．已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为　   　．

13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为　   　．

14．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是　   　．

15．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，P为弧DE上的一点（点P不与点D、E重合），则∠CPD的度数为　   　．

三．解答题

16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．

（1）求证：△ABC是等边三角形．

（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．

17．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．

18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．

（1）∠CPD＝　   　°；

（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．

19．七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°

（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝　   　度，并说明理由．

（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝　   　，且∠EON＝　   　度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）

20．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．

（1）求证：FG是⊙O的切线；

（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．

参考答案

一．选择题

1．解：如图所示，连接OA、OE，

∵AB是小圆的切线，

∴OE⊥AB，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OAE＝45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，

∴OE＝OA＝×4＝2，

故选：A．

2．解：设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，

因为正多边形的外接圆半径是其内切圆半径的倍，

所以OA＝OC，

即＝，

在直角△AOC中，sin∠AOC＝＝，

∴∠AOC＝45°，

∴∠AOB＝90°，

则正多边形边数是：＝4．

故选：B．

3．解：边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，

而正多边形的边心距即为每个边长为2的正三角形的高，

∴正六多边形的边心距等于2×sin60°＝，

故选：C．

4．解：∵一个正方形的周长为24，

∴正方形的边长为6，

由中心角只有四个可得出360°÷4＝90°，

∴中心角是：90°，

∴边心距是边长的一半，为3，

故选：B．

5．解：如图，连接OM，

∵正六边形OABCDE，

∴∠FOG＝120°，

∵点M为劣弧FG的中点，

∴∠FOM＝60°，OM＝OF，

∴△OFM是等边三角形，

∴OM＝OF＝FM＝2．

则⊙O的半径为2．

故选：C．

6．解：连接AC、GE、EC，如图所示：

则四边形ACEG为正方形，

∴∠EAG＝45°，

故选：C．

7．解：如图，ABCDEF是⊙O的内接正六边形，连接OA，OB，

∴∠AOB＝60°，

又∵OA＝OB＝R，

∴三角形AOB是等边三角形，

∴AB＝OA＝R．

故选：B．

8．解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，

由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，

∴∠BCD＝∠BAC＝30°，

由AC＝3，得CD＝1.5，

Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，

∴BD＝AB＝a，

∴AD＝＝a，

即a＝1.5，

∴a＝（cm），

故选：A．

二．填空题

9．解：∵正六边形的半径等于边长，

∴正六边形的边长a＝2，

正六边形的周长l＝6a＝12，

故答案为：12．

10．解：连接OA，OB，作OE⊥AB于E，如图所示：

∵四边形ABCD是正四边形，

∴∠AOB＝360°÷4＝90°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等腰直角三角形，且OE⊥AB，

∴OE＝AB＝2，

故答案为：2．

11．解：因为360°÷30°＝12．

所以这个正多边形的边数为12．

故答案为：12．

12．解：如图所示，连接OA、OB，

∵多边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠OAM＝60°，

∴OM＝OA•sin∠OAM，

∴OA＝＝＝2，

∴⊙O的周长为4π，

故答案为：4π．

13．解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O，连接OA，OB，

∵∠ADB＝20°，

∴∠AOB＝2∠ADB＝40°，

而360°÷40°＝9，

∴这个正多边形为正九边形，

故答案为：九．

14．解：连接PA，PO，

∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，

∴∠OPA＝＝60°，PO＝PA，

∴△POA是等边三角形，

∴PO＝PA＝OA＝6，

过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝∠OPA＝30°，OH＝OA＝3，

∴PH＝＝＝3，

∴P的坐标是（3，3），

故答案为：（3，3）．

15．解：如图，连接OC，OD．

∵ABCDE是正五边形，

∴∠COD＝＝72°，

∴∠CPD＝∠COD＝36°，

故答案为：36°．

三．解答题

16．（1）证明：在⊙O中，

∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，

∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，

又∵∠APC＝∠CPB＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°，

∴△ABC为等边三角形；

（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，

则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，

∵OB＝2，

∴OD＝1，

∴等边△ABC的边心距为1．

17．解：（1）证明：连接CD，

∵AC为直径，

∴∠ADC＝90°，

∵∠E＝∠ACD，

∠E＝∠B．

∴∠ACD＝∠B，

∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，

∴∠ACB＝90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）如图，

连接OD、CE，

若∠E＝45°，

则∠AOD＝90°，

∵AC＝4，

∴OA＝OD＝2，

∴AD＝2．

∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．

18．解：（1）如图，连接BD，

∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，

∴∠DBC＝45°，

∵∠CPD＝∠DBC，

∴∠CPD＝45°．

故答案为：45；

（2）如图，作CH⊥DP于H，

∵CP＝2，∠CPD＝45°，

∴CH＝PH＝2，

∵DC＝4，

∴DH＝＝＝2，

∴DP＝PH+DH＝2+2．

19．（1）证明：∵△ABC是正三角形，

∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，

在△ABN和△BCM中，，

∴△ABN≌△BCM（SAS），

∴∠ABN＝∠BCM，

又∵∠ABN+∠OBC＝60°，

∴∠BCM+∠OBC＝60°，

∴∠NOC＝60°；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，

又∵AM＝BN，

∴△ABN≌△DAM（SAS），

∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，

又∵∠ADM+∠AMD＝90°，

∴∠BAN+∠AMD＝90°

∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；

（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠A＝∠B，AB＝AE，

又∵AM＝BN，

∴△ABN≌△EAM（SAS），

∴AN＝ME，

∴∠AEM＝∠BAN，

∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．

故答案为：90°，EM，108°．

20．（1）证明：连接OF，AO，

∵AB＝AF＝EF，

∴＝＝，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，

∵OB＝OF，

∴∠OBF＝∠BFO＝30°，

∴∠ABF＝∠OFB，

∴AB∥OF，

∵FG⊥BA，

∴OF⊥FG，

∴FG是⊙O的切线；

（2）解：∵＝＝，

∴∠AOF＝60°，

∵OA＝OF，

∴△AOF是等边三角形，

∴∠AFO＝60°，

∴∠AFG＝30°，

∵FG＝2，

∴AF＝4，

∴AO＝4，

∵AF∥BE，

∴S△ABF＝S△AOF，

∴图中阴影部分的面积＝＝．