2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷

这是一份2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∩B）＝（　　）
A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，3，4} D．{1，2，5，6}


2．（5分）下列对应不是映射的是（　　）
A． B．
C． D．

3．（5分）已知函数，则＝（　　）
A． B． C． D．


4．（5分）函数g（x）＝2x+5x的零点x0所在的一个区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）


5．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，0）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，0）∪（0，2）
6．（5分）函数y＝的图象是（　　）
A． B．
C． D．


7．（5分）若关于x的不等式|x﹣3|﹣|x﹣4|＜a无解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1


8．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b



9．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0，则（　　）
A．f（x）是奇函数，且在R上是增函数
B．f（x）是奇函数，且在R上是减函数
C．f（x）是奇函数，但在R上不是单调函数
D．无法确定f（x）的单调性和奇偶性




10．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（x+1），当x≥2时f（x）单调递减且f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[0，4]
C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪[4，+∞）



11．（5分）已知函数，g（x）＝kx+2，若对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣，1） B．（） C．（） D．以上都不对




12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）＝0；②f（）＝；③f（1﹣x）＝1﹣f（x），则f（）等于（　　）
A． B． C． D．


二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数y＝ax+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点　 　．


14．（5分）若是奇函数，则a＝　 　．

15．（5分）某同学在研究函数f（x）＝（x∈R）时，分别给出下面几个结论：
①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有　 　．



16．（5分）设定义域为R的函数，若关于x的函数f（x）＝，若关于x的函数y＝2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是　 　．





三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：（1）×




．



18．（12分）设函数f（x）＝，函数g（x）＝ax+5﹣2a（a＞0）．
（1）求函数f（x）＝的值域；
（2）若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，求实数a的取值范围．













19．（12分）已知函数f（x）＝loga（ax2﹣x）．
（1）若a＝，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围．









20．（12分）一片森林原面积为a．计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积的百分比相等．并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？























21．（12分）已知函数f（x）＝，且f（1）＝3．
（1）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调区间，并给出证明；
（2）设关于x的方程f（x）＝x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意的及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
























22．（12分）已知幂函数f（x）＝（p2﹣3p+3）满足f（2）＜f（4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，则∁U（A∩B）＝（　　）
A．{1，2} B．{3，4} C．{1，2，3，4} D．{1，2，5，6}
【分析】先求出A∩B，由此能求出∁U（A∩B）．
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5}，
∴A∩B＝{3，4}，
∴∁U（A∩B）＝{1，2，5，6}．
故选：D．
【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）下列对应不是映射的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由映射的定义，对选项一一判断，即可得到结论．
【解答】解：对于A，M中的元素与N中的元素一一对应，该对应为映射；
对于B，M中的元素都对应c，该对应为映射；
对于C，M中的元素都对应集合N中的一个元素，该对应为映射；
对于D，M中的1对应N中的两个元素，该对应不为映射．
故选：D．
【点评】本题考查映射的定义和运用，运用定义法解题是关键，属于基础题．
3．（5分）已知函数，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知中函数，将x＝，代入可得的值．
【解答】解：∵函数，
∴f（）＝﹣+3＝
∴＝f（）＝+1＝，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度中档．
4．（5分）函数g（x）＝2x+5x的零点x0所在的一个区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【分析】判断函数的单调性，根据函数零点的判断条件即可得到结论．
【解答】解：函数g（x）单调连续增函数，
∵g（﹣1）＝2﹣1﹣5＜0，g（0）＝1＞0，
∴g（﹣1）g（0）＜0，
即函数g（x）在（﹣1，0）内存在唯一的零点，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，根据函数零点存在的条件是解决本题的关键．
5．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，0）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，0）∪（0，2）
【分析】由对数的真数大于0，分式的分母不等于0，联立不等式组求解即可．
【解答】解：由，解得，即﹣1＜x＜0．
∴函数的定义域为（﹣1，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．
6．（5分）函数y＝的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】通过函数的解析式的变形，得到分段函数，然后判断函数的图象即可．
【解答】解：函数y＝＝．
所以函数的图象是C．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象的判断，分段函数的应用，是基础题．
7．（5分）若关于x的不等式|x﹣3|﹣|x﹣4|＜a无解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a≥﹣1 D．a＞﹣1
【分析】利用不等式的性质对|x﹣3|﹣|x﹣4|进行放缩和分类讨论，求出|x﹣3|﹣|x﹣4|的最小值，即可求解．
【解答】解：令f（x）＝|x﹣3|﹣|x﹣4|，
①x＜3，f（x）＝3﹣x﹣（4﹣x）＝﹣1；
②3≤x≤4，f（x）＝x﹣3﹣（4﹣x）＝2x﹣7，∴﹣1≤f（x）≤1；
③x＞4，f（x）＝x﹣3﹣（x﹣4）＝1，∴f（x）＝1，
综上f（x）≥﹣1，
∵关于x的不等式|x﹣3|﹣|x﹣4|＜a无解，
∴|x﹣3|﹣|x﹣4|≥a，
故a≤﹣1，
故选：A．
【点评】此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．
8．（5分）已知a＝，b＝，c＝，则（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b
【分析】利用指数与对数函数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵c＝＝，
a＝，b＝，
∵log43.6＝3.61＝log23.6
∴结合图象y＝log2x可知，log23.4＞log23.6，
∴结合y＝log2x和y＝log3x可知，log23.4＞log3＞log23.6，
∵函数y＝5x是增函数，
∴a＞c＞b
故选：C．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0，则（　　）
A．f（x）是奇函数，且在R上是增函数
B．f（x）是奇函数，且在R上是减函数
C．f（x）是奇函数，但在R上不是单调函数
D．无法确定f（x）的单调性和奇偶性
【分析】令x＝y＝0，再令y＝﹣x，分别代入f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R），化简可得；利用单调性的定义可证明函数f（x）为R上的增函数．
【解答】解：（1）证明：f（x+y）＝f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x＝y＝0，代入①式，得f（0+0）＝f（0）+f（0），即 f（0）＝0．
令y＝﹣x，代入①式，得 f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x），又f（0）＝0，
则有0＝f（x）+f（﹣x）．
即f（﹣x）＝﹣f（x）对任意x∈R成立，
则f（x）是奇函数．
设x1，x2∈R，且x1＞x2，则x1﹣x2＞0，从而f（x1﹣x2）＜0，
又f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2）＝f[x1+（﹣x2）]＝f（x1﹣x2）．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）为R上的减函数，
故选：B．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性的证明单调性的证明，属于基础题．
10．（5分）已知定义域为R的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（x+1），当x≥2时f（x）单调递减且f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．[0，4]
C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0）∪[4，+∞）
【分析】由题意可得f（x）的图象关于直线x＝2对称，当x≥2时f（x）单调递减，可得x≤2时f（x）单调递增，即有f（2）为最大值，即可得到所求不等式的解集．
【解答】解：定义域为R的函数f（x）满足f（3﹣x）＝f（x+1），
可得f（x）的图象关于直线x＝2对称，
当x≥2时f（x）单调递减，
可得x≤2时f（x）单调递增，
即有f（2）为最大值，
则f（a）≥f（0），
又f（0）＝f（4），
可得0≤a≤2或2≤a≤4，
即为0≤a≤4．
故选：B．
【点评】本题考查函数的对称性和单调性的应用，考查不等式的解法，属于基础题．
11．（5分）已知函数，g（x）＝kx+2，若对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），则实数k的取值范围是（　　）
A．（﹣，1） B．（） C．（） D．以上都不对
【分析】对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），可得g（x1）min＞f（x2）min，
根据基本不等式求出f（x2）min＝1，再分类讨论，求出g（x）min，即可求出k的范围．
【解答】解：对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2]，使得g（x1）＞f（x2），
∴g（x1）min＞f（x2）min，
∵f（x）＝x2+﹣3≥2﹣3＝4﹣3＝1，当且仅当x＝时取等号，
∴f（x2）min＝1，
当k＞0时，g（x）＝kx+2，在x∈[﹣1，2]为增函数，
∴g（x）min＝f（﹣1）＝2﹣k，
∴2﹣k＞1，解得0＜k＜1
当k＜0时，g（x）＝kx+2，在x∈[﹣1，2]为减函数，
∴g（x）min＝f（2）＝2k+2，
∴2k+2＞1，解得﹣＜k＜0，
当k＝0时，g（x）＝2，2＞1成立，
综上所述k的取值范围为（﹣，1）
故选：A．
【点评】本题考查了函数恒成立问题和存在性问题，以及基本不等式，属中档题．
12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）＝0；②f（）＝；③f（1﹣x）＝1﹣f（x），则f（）等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】推导出f（1）＝1，f（）＝，f（）＝，f（）＝f（）＝，f（）＝＝，进而推导出f（）＝f（）＝，f（）＝＝，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），，从而f（）≤f（）≤f（），由此能求出f（）．
【解答】解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）＝0；③f（1﹣x）+f（x）＝1，
∴f（1）＝1，
令x＝，有f（）＝，
又∵②f（）＝f（x），令x＝1，有f（）＝f（1）＝，
令x＝，有f（）＝f（）＝，
∴f（）＝f（）＝，
f（）＝＝，
f（）＝＝，
f（）＝＝，
f（）＝f（）＝，
又f（）＝＝，
∴，
f（）＝＝，
f（）＝，
f（）＝＝，
f（）＝＝，
∵当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），，
∴f（）≤f（）≤f（），
∴f（）＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及新定义的理解，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数y＝ax+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点　（0，4）　．
【分析】令指数函数的幂指数等于零，求得x、y的值，可得指数函数的图象经过定点的坐标．
【解答】解：对于函数y＝ax+3（a＞0且a≠1），令x＝0，可得y＝4，故它的图象恒过定点（0，4），
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
14．（5分）若是奇函数，则a＝　﹣1　．
【分析】根据奇函数的定义：在定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x）．可以用这一个定义，采用比较系数的方法，求得实数m的值．
【解答】解：∵
∴
∵是奇函数
∴f（﹣x）＝﹣f（x）＝
∴恒成立
即恒成立
∴2+a＝1⇒a＝﹣1
故答案为：﹣1
【点评】本题着重考查了函数奇偶性的定义、基本初等函数的性质等知识点，属于基础题．请同学们注意比较系数的解题方法，在本题中的应用．
15．（5分）某同学在研究函数f（x）＝（x∈R）时，分别给出下面几个结论：
①f（﹣x）+f（x）＝0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（﹣1，1）；
③若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）；
④函数g（x）＝f（x）﹣x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有　①②③　．
【分析】由奇偶性的定义来判断①，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；由②结合①对称区间上的单调性相同说明③正确；由数形结合来说明④不正确．
【解答】解：①∴正确
②当x＞0时，f（x）＝∈（0，1）
由①知当x＜0时，f（x）∈（﹣1，0）
x＝0时，f（x）＝0
∴f（x）∈（﹣1，1）正确；
③则当x＞0时，f（x）＝反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
再由①知f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，正确
④由③知f（x）的图象与y＝x只有（0，0）这一个交点．不正确．
故答案为：①②③
【点评】本题考查函数的定义域，单调性，奇偶性，值域，考查全面，方法灵活，这四个问题在研究时往往是同时考虑的．
16．（5分）设定义域为R的函数，若关于x的函数f（x）＝，若关于x的函数y＝2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是　﹣＜b　．
【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．结合函数f（x）的图象，从而确定b的取值范围．
【解答】解：令t＝f（x），则原函数等价为y＝2t2+2bt+1．做出函数f（x）的图象如图，
图象可知当由0＜t＜1时，函数t＝f（x）有四个交点．
要使关于x的函数y＝2f2（x）+2bf（x）+1有8个不同的零点，则函数y＝2t2+2bt+1有两个根t1，t2，
且0＜t1＜1，0＜t2＜1．
令g（t）＝2t2+2bt+1，则由根的分布可得，
解得，即，
故实数b的取值范围是﹣＜b．
故答案为：﹣＜b


【点评】本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，换元是解决问题的关键，属中档题．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：（1）×
．
【分析】（1）根据指数的运算性质，及根式与分数指数幂的互化及其化简运算法则，可得答案．
（2）根据对数的运算性质，及换底公式的推论，可得答案．
【解答】解：1）×＝﹣4﹣1+0.5×4＝﹣3
＝lg5+lg2﹣lg0.1﹣2＝1+﹣2＝﹣．
【点评】本题考查的知识点是根式与分数指数幂的互化及其化简运算，对数的运算性质，难度中档．
18．（12分）设函数f（x）＝，函数g（x）＝ax+5﹣2a（a＞0）．
（1）求函数f（x）＝的值域；
（2）若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）分x＝0、x＞0及x＜0利用基本不等式求解；
（2）设f（x）的值域为A，求出x∈[0，1]时g（x）的值域B，把对于任意的x1∈R，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，转化为A⊆B，由此列关于a的不等式组求解．
【解答】解：（1）当x＝0时，f（x）＝0，
当x≠0时，f（x）＝＝，
若x＞0，则f（x）＝（当且仅当x＝1时取“＝”），
若x＜0，则f（x）＝（当且仅当x＝﹣1时取“＝”）．
∴函数f（x）＝的值域为{y|﹣1≤y≤1}；
（2）由（1）得：A＝{f（x）|x∈R}＝[﹣1，1]，
又B＝{g（x）|x∈[0，1]}＝[5﹣2a，5﹣a]．
依题意A⊆B，即，
解得：3≤a≤4，
∴实数a的取值范围是[3，4]．
【点评】本题考查函数的值域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
19．（12分）已知函数f（x）＝loga（ax2﹣x）．
（1）若a＝，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围．
【分析】（1）若a＝，令 t＝x2﹣x＞0，求得函数的定义域，f（x）＝g（t）＝．求得t的单调性，可得f（x）的单调性．
（2）若f（x）在区间[2，4]上是增函数，分类讨论a的范围，利用二次函数的性质以及复合函数的单调性规律，求得a的取值范围．
【解答】解：（1）∵a＝，函数f（x）＝loga（ax2﹣x）＝g（t）＝logat＝（x2﹣x），
令 t＝x2﹣x＞0，求得x＜0，或x＞2，
故函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞），且函数f（x）＝g（t）＝．
由于t的减区间为（﹣∞，0），故函数f（x）的增区间为（﹣∞，0）；
由于t的增区间为（2，+∞），故函数f（x）的减区间为（2，+∞）．
（2）若f（x）在区间[2，4]上是增函数，
由于真数t＝ax2﹣x过原点O（0，0）、（，0），
①当a＞1时，0＜＜1，在区间[2，4]上，t＞0且t是增函数，f（x）单调递增，满足条件．
②当0＜a＜1时，要使f（x）单调递增，需在区间[2，4]上，t＞0且t是减函数，这不可能．
综上，a＞1，即实数a的取值范围为{a|a＞1}．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．
20．（12分）一片森林原面积为a．计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积的百分比相等．并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的．已知到今年为止，森林剩余面积为原面积的．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，设每年砍伐面积的百分比为x 可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；
（2）设经过m年剩余面积为原来的 ．根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的 ．可列出关于m的等式，解之即可；
（3）根据题意设从今年开始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面积，由题意，建立关于n的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年．
【解答】解：（1）设每年降低百分比为x（0＜x＜1）．
则a（1﹣x）10＝a，即（1﹣x）10＝，解得x＝1﹣（），
（2）设经过n年剩余面积为原来的
则a（1﹣x）n＝a，即（）＝（），＝，n＝5
到今年为止，已砍伐了5年
（3）设从今年开始，以后砍伐了n年，则n年后剩余面积为a（1﹣x）n，
令a（1﹣x）n≥a，
即，，，n≤15．
故今后最多还能砍伐15年．
【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解法及指数式与对数式的互化．解决实际问题通常有四个步骤：
（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
21．（12分）已知函数f（x）＝，且f（1）＝3．
（1）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调区间，并给出证明；
（2）设关于x的方程f（x）＝x+b的两根为x1，x2，试问是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意的及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据f（1）＝3．求解a，可得解析式，利用定义即可证明；
（2）由f（x）＝x+b，可得x2﹣bx+1＝0，利用韦达定理求解|x1﹣x2|的范围，转化为一个新函数在t∈[﹣1，1]恒成立，即可求解m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（1）＝3，
∴a＝1，
∴则．
证明：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2＜0
则
1°当时，，∴，又x2﹣x1＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在上单调递增
2°当时，，
∴，又x2﹣x1＞0
∴f（x2）﹣f（x1）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在上单调递减，
∴f（x）在（﹣∞，0）上的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）∵f（x）＝x+b，∴x2﹣bx+1＝0，
那么：，
又，
∴0≤|x1﹣x2|≤3．
故只须当t∈[﹣1，1]，使m2+mt+1≥3恒成立，记g（t）＝mt+m2﹣2
只须：，
∴
∴
∴m≤﹣2或m≥2，
故存在实数m符合题意，其取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
【点评】本题主要考查函数单调性的证明以及最值的求解，以及不等式恒成立问题，属于中档题．
22．（12分）已知幂函数f（x）＝（p2﹣3p+3）满足f（2）＜f（4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，是否存在实数m使得g（x）的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
（3）若函数h（x）＝n﹣f（x+3），是否存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据幂函数f（x）是幂函数，可得p2﹣3p+3＝1，求解p，可得解析式；
（2）由函数g（x）＝f2（x）+mf（x），x∈[1，9]，利用换元法转化为二次函数问题求解最小值，可得m的值；
（3）由函数h（x）＝n﹣f（x+3），求解h（x）的解析式，判断其单调性，根据在[a，b]上的值域为[a，b]，转化为方程有解问题求解n的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是幂函数，
∴得p2﹣3p+3＝1，解得：p＝1或p＝2
当p＝1时，f（x）＝，不满足f（2）＜f（4）．
当p＝2时，f（x）＝，满足f（2）＜f（4）．
∴故得p＝2，函数f（x）的解析式为f（x）＝；
（2）由函数g（x）＝f2（x）+mf（x），即g（x）＝，
令t＝，
∵x∈[1，9]，
∴t∈[1，3]，
记k（x）＝t2+mt，
其对称在t＝，
①当≤1，即m≥﹣2时，则k（x）min＝k（1）＝1+m＝0，解得：m＝﹣1；
②当13时，即﹣6＜m＜﹣2，则k（x）min＝k（）＝＝0，解得：m＝0，不满足，舍去；
③当时，即m≤﹣6时，则k（x）min＝k（3）＝3m+9＝0，解得：m＝﹣3，不满足，舍去；
综上所述，存在m＝﹣1使得g（x）的最小值为0；
（3）由函数h（x）＝n﹣f（x+3）＝n﹣在定义域内为单调递减函数，
若存在实数存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]
则h（x）＝
两式相减：可得：＝（a+3）﹣（b+3）．
∴③
将③代入②得，n＝a+＝a+1
令，
∵a＜b，
∴0≤t，
得：n＝t2﹣t﹣2＝（t﹣）2﹣
故得实数n的取值范围（，﹣2]．
【点评】本题主要考查幂函数解析式，函数最值的求解，方程与不等式的性质，讨论思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/10/23 0:40:53；用户：陈元；邮箱：17666135761；学号：42949630