山东省济宁市兖州区2021-2022学年高一上学期期中数学试题

2021—2022学年度第一学期期中质量检测

高一数学试题

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由交集的定义计算即可.

【详解】因为，

所以.

故选：D.

2. 化简结果为（    ）

A. a B. b C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据实数指数幂的运算法则运算，即可求解.

【详解】根据实数指数幂的运算公式，可得：

.

故选：A.

3. 下列各组函数是同一函数的是（    ）

A. 与

B. 与

C. 与

D. 与

【答案】C

【解析】

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．

【详解】对于A，，，对应关系不同，即不是同一函数，故A不正确；

对于B，定义域为，定义域为，

定义域相同，对应关系不同，函数不是同一函数，故B不正确；

对于C，，定义域为，，定义域为，

定义域、对应关系相同，故为同一函数，故C正确；

对于D，定义域为，定义域为，

定义域不同，函数不是同一函数，故D不正确；

故选：C

4. 设函数，若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：由题意得，当时，即，则

，解得（舍去）；当时，即，则，解得，故选D．

考点：分段函数的应用．

5. 将一根铁丝切割成三段,做成一个面积为、形状为直角三角形的工艺品框架,在下列4种长度的铁丝中，选用最合适（够用且浪费最少）的是（    ）（注：）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设直角三角形的两条直角边为，由面积可得，故周长，利用均值不等式以及，即得解

【详解】由题意，设直角三角形的两条直角边为

则

此时三角形框架的周长

当且仅当时等号成立

由于，

故选：C

6. 不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】将化为，即，所以不等式的解集为.故选C.

7. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，则的最小值为　　

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：令，得，即；在直线，；

则（当且仅当，即时，取等号）．

考点：1．函数过定点；2．基本不等式．

8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，为单调递增函数，且，则满足的的取值范围是（    ）

A.  B. （0，1） C. （1，＋∞） D. （－1，0）∪（0，1）

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇函数的性质画出满足题意的草图，数形结合即可得到结果.

【详解】∵函数是定义在上的奇函数，且，

∴，

又因为在（0，+∞）上为增函数且奇函数的图象关于原点对称．

∴函数的大致图象如图：

由可得： 或，

∴满足的的取值范围是（－1，0）∪（0，1）

故选：D

【点睛】本题考查函数性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想，属于常考题型.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列命题正确的是（    ）

A. “x<1，x2<1”的否定是“x≥1，x2≥1”

B. “a>”是“<2”充分不必要条件

C. “a=0”是“ab=0”的充分不必要条件

D. “x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的必要不充分条件

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据含量词命题的否定判断A，由等价于或确定B，ab=0等价或判断C，由不等式的性质判断D.

【详解】选项A：根据命题的否定可知：“，”的否定是“，”，A错误；

选项B：等价于或，由小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围可以判断B正确

选项C：由能推出，由不能推出，所以C正确；

选项D：根据不等式的性质可知：由且能推出，本选项是不正确的；

故选：BC.

10. 已知，则下列说法正确错误的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABCD

【解析】

【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当时，显然不等式不成立，故A选项错误；

对于B选项，当时，满足，不满足，故B选项错误；

对于C选项，由得同号，当时，，故C选项错误；

对于D选项，由得同号，故当时，等价于，故，故D选项错误.

故选：ABCD

11. 已知关于的不等式解集为，则（    ）

A.

B. 不等式的解集为

C.

D. 不等式的解集为

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.

【详解】因为关于的不等式解集为，

所以和是方程的两个实根，且，故错误；

所以，，所以，

所以不等式可化为，因为，所以，故正确；

因为，又，所以，故正确；

不等式可化为，又，

所以，即，即，解得,故正确.

故选：BCD.

【点睛】利用一元二次不等式的解集求出参数的关系是解题关键.本题根据韦达定理可得所要求的关系，属于中档题.

12. 关于x的方程的实数根情况，下列说法正确的有（    ）

A. 当时，方程有两个不等的实数根

B. 当时，方程没有实数根

C. ，方程有且只有三个不等的实数根

D. ，方程没有4个不等实数根

【答案】BD

【解析】

【分析】AB选项带入分析即可，CD选项，设，于是方程可转化成关于的方程：，可以实现转化求解.

【详解】选项A，当时，方程变为，即，此时无解，故A选项错误；选项B，当时，首先，显然不是方程的根，若方程有实根，则由得到，矛盾，于是当时，方程没有实数根，B选项正确；由B选项的过程，类似可知，当时方程无解，结合选项A，故当时，原方程均无解. 当时，，设，于是方程可转化成关于的方程：，，则关于的方程必定两个解，由韦达定理，，故两根一正一负，不妨设，那么有两解，无解，综上，原方程有根时，只可能有个根，于是C错误，D正确.

故选：BD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的定义域为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案

【详解】由题意得，解得且，

所以函数的定义域为，

故答案为：

14. 在，，，中最大的数是：___________；

【答案】

【解析】

【分析】可看出，且，然后根据指数函数的单调性即可得出最大的数．

【详解】解：，，

最大的数是．

故答案为：．

15. 函数的值域为____________.

【答案】

【解析】

【分析】

由根据的范围先求分母的范围，可得值域.

【详解】，

，，，

所以，则.

故答案：

【点睛】本题考查求函数的值域，属于基础题.

16. 已知，若在上单调递增，则的取值范围是_________；若，则不等式的解集是_________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据函数f（x）2的单调性得a的范围，将f（x化为>0，可得解集.

【详解】由于函数f（x）2 在（1，+∞）上为增函数，可得 a+2<0，所以a<-2．

又当a=1时，f（x）2则，即，化简得

>0，解得或

故答案为a<-2 

【点睛】本题主要考查分式函数的单调性的性质，属于基础题．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知非空集合．

（Ⅰ）当时，求   

（Ⅱ）若，求a的取值范围．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】

【分析】（Ⅰ）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算可得；

（Ⅱ）由得到不等式组，求出参数的取值范围即可；

【详解】解：（Ⅰ）当时，又

所以，

（Ⅱ）因为，

所以解得；

即

18. 已知函数．

（1）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义加以证明；

（2）求函数在上的值域．

【答案】(1) 减函数. 证明见解析；(2)

【解析】

【分析】（1）设﹣2＜x1＜x2＜2，通过作差可判断f（x1）与f（x2）的大小，根据函数单调性的定义可作出判断；

（2）由（1）可知函数f（x）在[，]上的单调性，利用单调性可求得函数的最值，从而可得值域；

【详解】（1）函数在上是减函数.

设，，

，

，

函数在上是减函数.

（2）由（1）知函数在上是减函数，所以函数在上也是减函数,,

所以函数在上的值域为．

【点睛】本题考查函数单调性定义的应用，应用单调性求函数的最值，属基础题，熟练掌握定义法证明单调性是解决问题的基础．

19 已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅.

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；

(2)若A∩B＝∅，求a取值范围．

【答案】（1）≤a≤2.（2）0＜a≤或a≥4.

【解析】

【分析】（1）根据条件可知，，列不等式求参数的取值范围；（2）根据，且，可知或，求的取值范围.

【详解】解:(1)∵x∈A是x∈B的充分条件，

∴A⊆B.,

解得a的取值范围为≤a≤2.

(2)由B＝{x|a＜x＜3a}且B≠∅，

∴a＞0.

若A∩B＝∅，∴a≥4或，所以a的取值范围为0＜a≤或a≥4.

【点睛】本题考查根据集合的关系求参数取值范围的问题，属于简单题型，一般涉及子集问题时，需考虑集合是空集或非空集两种情况，分析问题时还需借助数轴分析问题.

20. 设.

（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）原问题等价于对于一切实数恒成立.分，两种情况，分别讨论可得答案；

（2）整理不等式得.分，，，，，分别求解不等式即可.

【详解】解：（1）对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立.

当时，不等式可化为，不适合题意；

当时，，即，

整理得，解得；

故对于一切实数恒成立时，.

（2）不等式等价于.

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为或；

③当时，，不等式的解集为或.

综上：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或.

21. 自2019年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪肉价格连续暴涨.某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产，根据以往的养猪经验预估：在近期的一个养猪周期内，每养百头猪，所需固定成本为20万元，其它为变动成本：每养1百头猪，需要成本14万元，根据市场预测，销售收入（万元）与（百头）满足如下的函数关系：（注：一个养猪周期内的总利润（万元）=销售收入-固定成本-变动成本）.

（1）试把总利润（万元）表示成变量（百头）的函数；

（2）当（百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润.

【答案】（1）；（2），最大利润为109万元.

【解析】

【分析】

（1）根据题意即可求出函数的解析式；

（2）分段求出最大值，再比较即可求出当时，该企业所获得的利润最大，从而求出最大利润.

【详解】（1）由题意可得：

所以，总利润.

（2）当时，，当时，的值最大，最大值为，

当时，，当时，的值最大，最大值为，

综上所述，当时，该企业所获得的利润最大，最大利润为万元.

【点睛】本题主要考查了函数的实际运用，属于基础题.

22. 函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

【答案】（1）0；（2）见解析；（3）

【解析】

【详解】试题分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f(－x)和f(x)的关系；（3）先利用f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2得到f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).再根据单调性列出不等式求解即可.

(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.

(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.

∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．