第13节：抛物线的标准方程和性质(2)学案-江苏省对口高考数学一轮复习

这是一份第13节：抛物线的标准方程和性质(2)学案-江苏省对口高考数学一轮复习，共5页。学案主要包含了学习目标，课前知识整理，自主复习单，考点探析单，方法点拨，能力提升单等内容，欢迎下载使用。

1. 了解直线和抛物线的位置关系，直线和抛物线的交点.弦长.弦中点.焦点半径等问题．
2. 灵活运用抛物线的定义和几何性质分析和解决问题．
【课前知识整理】
1.直线与抛物线有_____________________三种关系，直线方程与抛物线方程联立，消去或得到关于或的方程，根据方程组的解来确定交点的个数，也可以通过图像直接来判定.
2.直线和抛物线相交的弦长公式（直线斜率）：__________________________________．
3.过焦点的弦：充分利用焦点的几何特征和抛物线的定义来解题．
【自主复习单】
1. 过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则的值为（ ）
A． B． C． D．
(本题知识点：______________________)
2.．已知直线与抛物线相切，则 _ ．
(本题知识点：____________________)
3. 过抛物线的焦点作直线交抛物线与两点，若，则____ ．
(本题知识点：____________________________)
4. 直线交抛物线于两点，则线段的中点坐标为_____________．
(本题知识点：_________________)
【考点探析单】
活动一：解决直线和抛物线的交点问题．
1. 已知直线与曲线恰有一个公共点，求实数的值.
2. 当为何值时，直线与抛物线有两个交点？有且只有一个交点？没有交点？
【分析】首先要考虑曲线是否是抛物线，当时直线，因此要对进行讨论，然后就时，联立直线与抛物线组成的方程组求解.
【解】1. 将直线方程和曲线的方程联立成方程组
（1）当时，此方程组恰有一组解为.
（2）当时，消去，得，若，即，方程变为，此方程组有一组解，若，即，由，得，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点.
综上所述，当或或时，直线与曲线只有一个公共点.
【方法点拨】联立方程组，用根的判别式等方程的思想来解这类问题是常见方法，解题时要特别注意抛物线中与坐标轴平行的直线，与曲线有一个交点，但又不是切线，要单独考虑，在对交点情况的分析处理中，韦达定理是个十分有用的工具，要善于灵活运用.
【解】2.
活动二：求直线与抛物线相交的弦长和弦中点.
1. 直线过抛物线焦点，与抛物线交于点，且两点的横坐标之和为，求弦长.
2. 已知抛物线方程为，一斜率为的动直线与此抛物线交于不同的两点.
(1) 若，求直线与轴交点横坐标的范围
(2) 设直线过抛物线焦点时，弦的垂直平分线交于，交轴于，试求△的面积.
【分析】可由抛物线的定义得出焦点弦长公式
【解】1. 由题意为焦点弦，抛物线中，，
【方法点拨】求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式=＝，再结合韦达定理解决，焦点弦的长也可以直接利用焦半径公式处理，可以使运算简化.
【解】2.
活动三：利用抛物线的性质解决最值问题，内积问题.
1. 已知抛物线和直线，在抛物线上求一点，使之到直线的距离最小，并求出最小距离.
2. 若一直线与抛物线交于两点，且，点在直线上的射影为，求抛物线的方程.
【分析】可设出点，用点到直线的距离公式表示出到直线的距离，利用二次函数配方即可，也可先求于直线平行且与抛物线相切的直线方程，再利用平行线间的距离公式得出结论.
【解】1. 设，点到直线的距离设为，则
=，当且仅当时，由最小值
∴当点为（2,1）时距直线最短为.
【方法点拨】挖掘数学表达式的几何特征构造出式子进而求解，二次函数配方法是一个常见的求最值的方法.
【解】2.
【能力提升单】
1．抛物线上到直线的距离最短的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2．过抛物线焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
3．设斜率为的直线过抛物线的焦点，且与轴交于点，（为坐标原点）的面积为4，则此抛物线的方程为 .
4. 已知点，在轴上截距为正的直线交抛物线于两点，且.
(1)求证：三点共线.
(2)若是弦的中点，求以原点为圆心，为半径的最小圆的方程.