湖南省三湘名校教育联盟2022-2023学年高三上学期第一次大联考数学试题（含答案）

三湘名校教育联盟·2023届高三第一次大联考

数学

本试卷共4页、全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则＝（    ）

A． B．{1，2} C．{－1，4} D．{1，4}

2．已知复数，则（    ）

A．z的虚部为1  B． 

C．为纯虚数  D．在复平面内对应的点位于第二象限

3．已知函数，则＝（    ）

A． B．4 C． D．8

4．“数列为等比数列”是“数列为等差数列”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．设，若，则n＝（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

6．沙滿是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（    ）

A．1：1 B．2：1 C．2：3 D．3：2

7．已知双曲线的左，右焦点分别为、，A双曲伐C的左顶点，以、为为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

8．定义在上的偶函数f（x）满足f（－x）＋f（x－2）＝0，当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门。某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．甲同学体温的极差为0.4℃

B．甲同学体温的第75百分位数为36.6℃

C．乙同学体温的众数，中位数、平均数相等

D．乙同学的体温比甲同学的体温稳定

10．若，，，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（    ）

A．  B．

C．  D．

11．已知正三棱柱的所在棱长均为2，P为棱上的动点，则下列结论中正确的是（    ）

A．该正三棱柱内可放入的最大球的体积为

B．该正三棱柱外接球的表面积为

C．存在点P，使得

D．点P到直线的距离的最小值为

12．已知，分别是椭圆的左，右焦点，M，N是椭圆C上的两点，且，，则下列结论中正确的是（    ）

A．M，，N三点共线 B．

C．为直角三角形 D．椭圆C的离心率为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线在点（1，0）处的切线与曲线相切，则a＝______．

14．将函数的图象先向右平移个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到函数的图象，则的一个可能取值是______．

15．已知函数3个零点，则a的取值范围是______．

16．已知圆O的半径为2，A为圆内一点，OA＝1，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是______．

四、解答题：本题共6题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知数列的前n项和为，且，．

（1）证明是等比数列，

（2）求数列的通项公式．

18．（12分）

2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划．强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拨尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立．若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率匀为，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次，，其中．

（1）若，求该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率；

（2）“强基计划”规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为决策依据，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．

19．（12分）

已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，S为△ABC的面积，．

（1）证明：B＝2A；

（2）若a＝3，，求c．

20．（12分）

如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为边AB的中点．以CM为折痕把△BCM折起，使点B到达点P的位置，且，连接PA，PB，PD．

（1）证明：平面PMC⊥平面AMCD；

（2）若E是线段DP上的动点（不与点P，D重合），二面角E－CM－P的大小为，试确定点E的位置

21．（12分）

在直角坐标系xOy中，已知抛物线，P为直线y＝－1上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B．当P在y轴上时，OA⊥OB．

（1）求抛物线C的方程；

（2）求点O到直线AB距离的最大值．

22．（12分）

已知函数．

（1）若a＝2，求函数f（x）的零点个数；

（2）若函数，是否存在a，使得g（x）在x＝0处取得极小值？说明理由．

高三数学参考答案

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．B解析：，∴．

2．C解析：，∴z的虚部为－1，，为纯虚数，在复平面内对应的点位于第一象限，故选C．

3．C解析：．

4．A解析：数列为等比数列，则也为等比数列，且，∴为等差数列，反之“数列为等差数列”推不出“数列为等比数列”（正负随取构不成等比数列），故选A．

5．C解析：展开式第项，∵，∴，即，∴，整理得，∴．

6．B解析：由题意漏下来的沙子是全部沙子的，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，∴可以单独研究下方圆锥，∴，∴，∴．

7．D解析：设以为直径的圆的方程为，，

则，由，解得或，

∴，．∵，，

∴，∴，

∴，即，∴，∴．

8．A解析：∵，，∴，∴的图象关于直线和点对称，∴的周期为4．求导易知在递增，由对称性知在 ，递咸，∴，，∵，，∴．

9．ACD解析：观察折线图知甲同学体温的极差为，A正确；将甲同学的体温从小到大排成一列：36.4℃，36.4℃，36.6℃，36.6℃，36.7℃，36.7℃，36.8℃，因为，所以甲同学体温的第75百分位数为，B错误；乙同学体温从小到大排成一列：36.5℃，36.5℃，36.6℃，36.6℃，36.6℃．36.7℃，36.7℃，乙同学体温的众数为，中位数为，平均数，C正确；乙同学的体温波动较甲同学的小，极差为，也比甲同学的小，因此乙同学的体温比甲同学的体温稳定，D正确．

10．ABC解析：由，，，

当且仅当时等号成立，∴ABC正确；，

当且仅当，即，时等号成立，∴，D错误．

11．BCD解析：该正三棱柱内可放入的最大球的半径为的内切圆半径，

体积为，故A错误；

该正三棱柱的外接球半径，表面积为，B正确；

当为中点时，易证平面，故正确；建立空间直角坐标系，根据点到直线的距离公式可求得当为中点时，点到直线的距离取得最小值为（或将点到直线的距离投影到底面易知），D正确．

12．ABC解析：∵，∴M，，N三点共线，设，则，，，∴，，∴，，

∴，故ABC正确．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．1      14．（答案不唯一）15．    16．

13．1解析：曲线在点处的切线方程为，由得，由，解得．

14．（答案不唯一）解析：函数的图象先向右平移个单位，得到的图象，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得到的图象，∴，，解得，故的一个可能取值为．

15．［0，1）解析：有2个零点和，有1个零点，由图可得当时，有3个零点．

16．解析：，易知，

∴，∴的取值范围是．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．解析：（1）由得，即，（3分）

又，∴是以3为首项，3为公比的等比数列．（4分）

（2）由（1）可得，即．（6分）

当时，（9分

又满足，∴．（10分）

18．解析：（1）该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率为

．（3分）

（2）甲通过的考试科目数，∴．（5分）

设乙通过的考试科目数为，则，（6分）

，（7分）

（8分

，（9分）

∴（10分）

∵该考生更希望通过乙大学的笔试，∴，∴，∴．

∴当该考生更希望通过乙大学的笔试时，的取值范围是．（12分）

19．解析：（1）∵，∴（2分）

由余弦定理得，（4分）

由正弦定理得，

即，

∴，∴．（6分）

（2）由已知及正弦定理得，∴．（8分）

由余弦定理得，解得或3．（10分）

当时，，，矛盾，舍去，∴．（12分）

20．解析：（1）取线段的中点，连接，

∵，，∴为等边三角形，

∴，，．（2分）

∵，

∴，

∴，∴（4分

∵，平面．

∵平面，∴平面平面．（5分）

（2）由（1）知，，相互垂直，以为坐标原点，

，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系．（6分）

设，则，，

连接，则，且，

∴，，，，

∴，，，

设，，

则，

设为平面的法向量，

则，

令得（9分）

∵平面的一个法向量分）

∴，

解得（舍）或，

∴当点在线段上，满足时，

二面角的大小为．（12分）

21．解析：（1）当在轴上时，即，

设过点的切线方程为，与联立得，

由直线和抛物线相切可得，，

，∴，，（3分）

由可得，解得，

∴抛物线的方程为．（5分）

（2），∴，

设，，则，

即，同理可得，（8分）

又为直线上的动点，设，

则，，

由两点确定一条直线可得的方程为，

即，（10分）

∴直线恒过定点，

∴点到直线距离的最大值为．（12分）

22．解析：（1）时，，（1分）

当时，，单调递减；（2分）

当时，单调递增，，

当时，显然大于0，

∴存在，使得，

∴在递减，在递增，（4分）

∵，，，

∴有两个零点．（5分）

（2），

，

显然是的极小值点的必要条件为，即分）

此时，

令，则，

显然在递增，，，

当时，，，，

∴，当时，，，，

∴，存在唯一的零点，且，

∴在递减，递增，（9分）

时，，，

∴在存在唯一的零点，（10分）

当时，，

∴在递增，在递减，在递增，

∴当时，是的极小值点．（12分）