初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程教学设计

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【知识梳理】
1.方程的相关概念
方程：含有未知数的等式叫做方程．
方程的已知数和未知数．
已知数：一般是具体的数值，如 x  5  0 中（ x 的系数是 1，是已知数．但可以不说）．5 和 0 是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上用
a、b、c、m、n 等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用 x、y、z 等字母表示，如：关于 x、y 的方程
ax  2by  c 中， a、 2b、c 是已知数， x, y 是未知数．
方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
方程解的检验
要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边， 如果左、右两边数值
相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是． 2.一元一次方程的定义
(1)一元一次方程的概念
只含有一个未知数，未知数的最高次数是 1，这样的方程叫做一元一次方程． (2)一元一次方程的形式
标准形式： ax  b  0 （其中a  0, a,b 是已知数）．
最简形式： ax  b （其中 a  0, a,b 是已知数）．
注：一元一次方程的判断标准（首先化简为标准形式或最简形式）
①只含有一个未知数（系数不为零）．
②未知数的最高次数是 1．
③方程是整式方程． 3.等式的概念和性质
(1)等式的概念：用等号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式． (2)等式的性质
等式的性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个式子，所得结果仍是等式．若
a  b ，则
a  m  b  m. ．
等式的性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个数或同一个式子（除数不能是 O），
所得结果仍是等
式．若 a  b ，则 am  bm, a  b (m  0)
mm
(3)等式的其他性质
①对称性：若 a  b ，则b  a ，
②传递性：若 a  b,b  c ，则 a  c ．
【诊断自测】
1、下列叙述中，正确的是（） A．方程是含有未知数的式子
方程是等式
只有含有字母 x，y 的等式才叫方程D．带等号和字母的式子叫方程
2、下列说法中，正确的是（）
A．代数式是方程 B．方程是代数式 C．等式是方程D．方程是等式3、下列各式不是方程的是（）
A．3x2+4=5B．m+2n=0C．x=﹣3D．4y＞3
4、下列各式中：①x=0；②2x＞3；③x2+x﹣2=0；④+2=0；⑤3x﹣2；⑥x=x﹣1；⑦x
﹣y=0；⑧xy=4，是方程的有（）
A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个
【考点突破】
类型一：方程的概念
例 1、下列式子中，是方程的是（） A．x﹣1≠0B．3x﹣2C．2+3=5D．3x=6
例 2、在①2x+1；②1+7=15﹣8+1；③；④x+2y=3 中，方程共有（）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
例 3、下列判断正确的是（）
A．方程是等式，等式就是方程B．方程是含有未知数的等式C．方程的解就是方程的根D．方程 2x=3x 没解
例 4、已知下列式子：①6x﹣3=8；②6﹣2=4；③x+y；④；⑤3x﹣4y；
⑥ ；⑦x=3；⑧x+2＞3，其中方程的个数是（）
A．4B．6C．7D．8
例 5、下列四个式子中，是方程的是（） A．π+1=1+πB．|1﹣2|=1C．2x﹣3D．x=0
类型二：方程的解
例 6、方程 2x+a﹣4=0 的解是 x=﹣2，则 a 等于（） A．﹣8B．0C．2D．8
例 7、已知 x=2 是关于 x 的方程 3x+a=0 的一个解，则 a 的值是（） A．﹣6B．﹣3C．﹣4D．﹣5
例 8、下列方程的根是 x=0 的是（）
A． =0B． =1C．﹣5x=0D．2（x﹣1）=0
例 9、已知关于 x 的方程 3x+2a=2 的解是 a﹣1，则 a 的值是（）
B．C．D．﹣1
例 10、下列方程的解是 x=2 的方程是（）
A．4x+8=0B．﹣ x+ =0C． x=2D．1﹣3x=5
例 11、已知 x=1 是方程 x+2a=﹣1 的解，那么 a 的值是（） A．﹣1B．0C．1D．2
例 12、已知是方程3x2  4my  9  0 的一个解，那么 m 等于（） A．﹣ B．C． D．﹣
类型三：等式的性质
例 13、已知方程 x﹣2y+3=8，则整式 x﹣2y 的值为（） A．5B．10C．12D．15
例 14、下列说法正确的是（）
A．如果 ac=bc，那么 a=bB．如果 ，那么 a=b
C．如果 a=b，那么D．如果 ，那么 x=﹣2y
例 15、下列各式说法错误的是（） A．如果 x=y，那么﹣3ax=﹣3ay
如果 = ，那么 x=y
如果 ac=bc，那么 a=b
如果 a=b，那么-a=-b
例 16、如果 a=b，那么下列结论中不一定成立的是（）
A． =1B．a﹣b=0C．2a=a+bD． a2  ab
例 17、已知等式 3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（） A．3a﹣5=2bB．3a+1=2b+6C．3ac=2bc+5D．a=
类型四：一元一次方程的定义
例 18、若方程(m2 1)x2  mx  x  2  0 是关于 x 的一元一次方程，则代数式|m﹣1|
例 19、若关于 x 的方程(m  2)x m 2  3  0 是一元一次方程，则 m 的值是（） A．±3B．3C．﹣3D．都不对
例 20、若方程(2a 1)x2  5xb5  7  0 是一元一次方程，则方程 ax+b=1 的解是（） A．x=6B．x=﹣6C．x=﹣8D．x=8
例 21、若(m  2)x 2m3  6 是一元一次方程，则 m 等于（）
B．2C．1 或 2D．任何数
例 22、已知(m  3)x m 2  18 是关于 x 的一元一次方程，则（） A．m=2B．m=﹣3C．m=±3D．m=1
【易错精选】
1、在下列方程中① x2  2x  1 ，② ﹣3x=9，③ x=0，④3﹣ =2 ，⑤ =y+是一元一次方程的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
2、下列方程=x，=2，x2﹣3x=1，x+y=2 是一元一次方程的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
的值为（
）
A．0
B．2
C．0 或 2
D．﹣2
3、已知关于 x 的方程ax2  2xb2  4  0 是一元一次方程，则 xab 的值为（） A．2B．﹣4C．6D．8
【精华提炼】
1、等式
用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、 运算法则.
2、方程
方程：含有未知数的等式叫方程，如 x  2  1，它有两层含义：
①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数 3、方程的解
方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
4、一元一次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
5、一元一次方程的形式：
最简形式：方程 ax  b （ a  0 ， a ， b 为已知数）叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程 ax  b  0 （其中 a  0 ，a ，b 是已知数）叫一元一次方程的标准形式．
【本节训练】
训练【1】在①2x+3y﹣1；②1+7=15﹣8+1；③1﹣ x=x+1；④x+2y=3 中方程有（） 个．
A．1B．2C．3D．4 训练【2】下列式子不是方程的是（）
A．x=0B．2x+3y=1C．5x+7D． （x+2）=0
训练【3】若(m  3)x m 2  8  2 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是（）
A．3B．﹣3C．±3D．不能确定
训练【4】在 x=1，y=5x， x2  0 ，xy=2 这四个方程中，是一元一次方程的是（）
A．x=1B．y=5xC． x2  0
D．xy=2
基础巩固
下列各式中，是方程的个数为（）
（1）﹣3﹣3=﹣7；（2）3x﹣5=2x+1；（3）2x+6（4）x﹣y=0；（5）a+b＞3；（6） a2+a﹣6=0．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个2．下列方程中，以 x=2 为解的方程是（）
A．4x﹣1=3x+2B．4x+8=3（x+1）+1C．5（x+1）=4（x+2）﹣1D．x+4=3（2x﹣1） 3．下列方程中，2 是其解的是（）
A． x2  4  0
B．C．D．x+2=0
关于 x 的方程（k﹣3）x﹣1=0 的解是 x=﹣1，那么 k 的值是（） A．k≠3B．k=﹣2C．k=﹣4D．k=2
如果 x=﹣2 是方程 2x+m﹣4=0 的解，那么 m 的值为（） A．﹣8B．0C．2D．8
下列方程，以﹣2 为解的方程是（）
A．3x﹣2=2xB．4x﹣1=2x+3C．5x﹣3=6x﹣2D．3x+1=2x﹣1 7．已知 x=3 是关于 x 的方程 ax+2x﹣3=0 的解，则 a 的值为（）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．1 8．将 3x﹣7=2x 变形正确的是（）
A．3x+2x=7B．3x﹣2x=﹣7C．3x+2x=﹣7D．3x﹣2x=7 9．下列等式变形正确的是（）
A．如果 s=ab，那么 b= B．如果 x=6，那么 x=3
C．如果 x﹣3=y﹣3，那么 x﹣y=0D．如果 mx=my，那么 x=y 10．下列运用等式的性质，变形正确的是（）
A．若 x=y，则 x﹣5=y+5B．若 a=b，则 ac=bc C．若，则 2a=3bD．若 x=y，则
11．等式 2x﹣y=10 变形为﹣4x+2y=﹣20 的依据为（） A．等式性质 1B．等式性质 2
C．分数的基本性质D．乘法分配律
12．运用等式性质进行的变形，不正确的是（）
A．如果 a=b，那么 a﹣c=b﹣cB．如果 a=b，那么 a+c=b+c
C．如果 a=b，那么 D．如果 a=b，那么 ac=bc
巅峰突破
等式 y  ax3  bx  c 中，当 x=0 时，y=3；当 x=﹣1 时，y=5；求当 x=1 时，y 的值．
2．已知等式（x﹣4）m=x﹣4 且 m≠1，求 2x2  (3x  x2  2) 1的值．
说出下列各等式变形的依据：
（1）由 3=x﹣2，得 3+2=x
（2）由 3x﹣4=6，得 3x=4+6
（3）由 3x﹣2=2x+1，得到 3x﹣2x=2+1．
当 x 取何值时，代数式的值等于 1．（利用等式性质解）
5．已知等式（a﹣5）c=a﹣5，其中 c≠1，求 a2  2a 1的值．
1 a2
6．巳知： (a  2b) y2  y 3
5  0 是关于 y 的一元一次方程：
求 a，b 的值．
若 x=a 是﹣ +3= 的解，求丨 5a﹣2b 丨﹣丨 4b﹣2m|的值．
已知方程(3m  4)x2  (5  3m)x  4m  2m 是关于 x 的一元一次方程，
求 m 和 x 的值．
若 n 满足关系式|2n+m|=1，求 n 的值．
已知方程(m  2)x m 1  3  m  5 是关于 x 的一元一次方程，求这个方程的解．
已知方程 3（x﹣m+y）﹣y（2m﹣3）=m（x﹣y）是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值，并求此时方程的解．
关于 x 的方程(m  2)xn  3  0 是一元一次方程．
则 m，n 应满足的条件为：m ，n ；
若此方程的根为正整数，求整数 m 的值．
已知(a 1)x2  (a 1)x  8  0 是关于 x 的一元一次方程，求代数式 60（2x+2a）
（x﹣a）+208 的值．
已知方程 2kx2  2kx  3k  4x2  x 1 是关于 x 的一元一次方程，求 k 值，并求出这个方程的根．
13．（1）已知(m 1)xm2  2  0 是关于 x 的一元一次方程，则 m= ；
（2）若方程( m  3)x2  (m  3)x  4  0 是关于 x 的一元一次方程，则 m= ；
14．已知： (a  2b) y2  ya1  3 是关于 y 的一元一次方程．
（1）求 a、b 的值；
（2）若 x=a 是方程﹣+3=x﹣的解，求|a﹣b﹣2|﹣|b﹣m|的值．