四川省乐山市沫若中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

沫若中学2021级高二数学第一次月考

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．已知的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为(　　)

A．   B．   C．    D．

2. 已知，是空间中两个不重合的平面，a，b是空间中两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3．如图是一正方体被过棱的中点和顶点的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正(主)视图为（   ）

4. 如图是各棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1的直观图，则此三棱柱

侧（左）视图的面积为（   ）

A.    B. 4 C.    D.

5．，是空间两条不同直线，是两个不同平面，下面有四个命题：

①若，，，则；  ②若，，，则；

③若，，，则；  ④若，，，则．

其中真命题的编号是(   )   

A.①④    B.②③    C.①③     D.②④

6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A.     B.     C.     D.

7.长方体中，

为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）

A.    B.    C.     D.

8.一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面，圆柱的母

线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积为（    ）

A.     B.     C.      D.

9.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，

是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)

A.      B.        C.        D.

10．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为2的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(　　)

A．16   B．16   C.18     D．21

11. 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，

则该球的表面积为（   ）

A.          B．16π       C．9π        D.

12．如图，在四棱锥中，底面为正方形，且,

其中分别是的中点，动点在线段上运动时，

下列四个结论：①；②；③面；

④面，其中恒成立的为（     ）

A． ①③    B． ③④     C． ①④    D． ②③

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.

（i）当满足条件         时，有；（ii）当满足条件       时，有。

（填所选条件的序号）

14．在三棱锥中，顶点在底面内的投影为点，，

底面是正三角形，边长为，，分别是侧棱，

的中点，则四棱锥的体积为______.

15. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1 、C1C的

中点，P是线段A1B1上任意一点，则下列命题中：

① △PDC的面积为定值；② 三棱锥B－PDC的体积为定值；

③ EF∥平面PDC；④ PD⊥BC1 。正确的是           。

16.已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，

，若四面体ABCD的体积为，球心O恰好在棱DA上，

则这个球的体积为       ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

17.（本小题满分10分）

（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱.

(1)求圆锥的表面积和体积；

(2)为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出最大值。

18. （本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别为棱AA1，AB的中点．

(1)求证：四边形EFCD1是梯形；

(2)证明：直线D1E，DA，CF共点。

19. （本小题满分12分）

 在直三棱柱ABC—中，E是棱AB的中点，，。

(1)求证：BC1∥平面A1 EC;

(2)求异面直线与所成的角的余弦值。

20.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面，，，

   ．

（1）求证：⊥平面；

（2）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．

21.（本小题满分12分）

如图，在正方体中，，为棱的中点.

（1）求证：；

（2）求证：∥平面.

22. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，，

，E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设点G在PB上，且.

判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.

高二数学第一次月考参考答案

一 . 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

　   CBBDA  CBDAD  A A

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.  ③⑤    ②⑤     14．      15. ①②③④      16.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

17.（本小题满分10分）

解：(1)==,  2分

,

； 5分

(2)设圆柱底面圆半径为，

显然，∽，∴，， 7分

=(), 9分

∴时，圆柱的侧面积最大，最大值为。 10分

18. （本小题满分12分）

证明：（1）如图，连接EF，CD1，A1B，

∵AF＝BF，AE＝A1E，∴              

∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1    BC，

∴四边形A1BCD1为平行四边形，

∴     ，      ，∴             ，

∴四边形EFCD1是梯形；

(2)由(1)可知，与CF一定相交，设，

所以M∈D1E，，所以M∈平面AD1，

同理可得M∈平面AC，

所以M平面AC平面AD1，

又平面AC∩平面AD1＝AD，所以M∈AD，

所以直线D1E，DA，CF共点。

19. （本小题满分12分）

解：（1）连接交于O，则O是的中点，

连接OE，则OE是的中位线，

∴            ,∵，，

∴BC1∥平面A1 EC;

(2)平移法：由(1)可知，或其补角为异面直线

与所成的角，

由余弦定理，得，，

，，∴，

，∴异面直线与所成的角的余弦值为。

20.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面，，，

   ．（1）求证：⊥平面；

（2）若侧棱上的点满足，求三棱锥的体积．

解：（1）因，即为等腰三角形，

又，故.

因为底面，,所以.…3分

又∵,所以平面.…………5分

（2）三棱锥的底面的面积

.…6分

由底面，得，…………8分

由,得三棱锥的高为，

故，…………10分

所以.…………12分

21.（本小题满分12分）

如图，在正方体中，，为棱的中点.

（1）求证：；

（2）求证：∥平面.

解：(1)方法1：如图，连接，则∥，

∵四边形是正方形，∴.

∵平面，,∴.

又，∴平面.…………3分

∵平面，∴，∴.…………5分

方法2：三垂线定理，如图，连接，则∥，，

∵平面，，

∴，∴.…………5分

(2)取的中点，连接，，

则∥，∵平面，平面，∴∥平面；…6分

∵，分别是，的中点，∴∥.

又∥且，∴∥且，

∴四边形是平行四边形，∴∥.…………7分

∵平面，平面，

∴∥平面.…………9分

∵，∴平面∥平面.…………11分

又平面，∴∥平面.…………12分

22. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，，，，，

，E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设点G在PB上，且.

判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.

 解：（I）因为平面，，

所以.

又因为，，

所以.平面；

（Ⅱ）直线AG在平面AEF内，证明如下：

取H为FC的中点，则，

∴，∴，∴，

∵，∴，且，

∴四边形GHDA是平行四边形，∴，

∵EF是的中位线，∴，

∴，

∴直线AG在平面AEF内。