四川省南部中学2023届高三上学期第一次月考（文科）数学试卷（含答案）
展开这是一份四川省南部中学2023届高三上学期第一次月考（文科）数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南部中学高2020级高三上学期第一次月考
文科数学总分: 150分
一 单选题（5分）
1. 设集合 , 则
A. B.
C. D.
2. 已知 , 则( )
A. B.
C. D.
3. 5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：
根据该统计图，下列说法错误的是( )
A.2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多
B.2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C.2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D.2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
4. 已知命题 , 那么为 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知平面直角坐标系内 三个顶点的坐标分别为为边的中点, 则( )
A. B. C. D.
6. 在 中,, 则的面积为 ( )
A. B.
C. D.
7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥表面上的点M、N、P、Q在三视图上对应的点分别为A、B、C、D，且A、B、C、D均在网格线上，图中网格上的小正方形的边长为1，则几何体MNPQ的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数 在上的图象大致为 （ ）
A. B.
C. D.
9. 函数 的部分图象如图所示, 则的值分别是. ( )
A. B.
C. D.
10. 设双曲线 的左、右焦点是为原点, 若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为, 且, 则的渐近线方程为 ( )
A. B.
C. D.
11. 已知三棱锥 的顶点都在球的表面上, 球的表面积为, 在中,, 则当三棱锥的体积最大时,（ ）
A.4 B. C.5 D.
12. 已知 是定义在上的奇函数, 且当时, 都有不等式成立, 若, 则, 的大小关系是 ( )
A. B.
C. D.
二 填空题（20分）
13 已知 为等差数列的前项和, 若, 则数列的通项公式为_________
14设函数 , 若, 则_________
15已知 , 则的值是___________
16 已知 是函数的所有零点之和, 则的值为____________
三 解答题（12分）
17 （12分）设 的内角所对的边分别为, 且.
(1)求内角 的大小;
(2) 已知点 在线段上, 且平分内角, 若的面积为, 求的周长.
18（12分）为了解某地区经济发展情况, 现对 2012 年 2021 年该地区生产总值 (单位: 百亿元)进行了统计, 制成如下散点图, 其中年份代码的值分别对应2012 年至 2021年.
(1)建立 关于的线性回归方程(系数精确到;
(2)若2021 年该地区生产总值为 2150 亿元，在此基础上根据(1)中的模型预测, 2022 年该地区生产总值能否实现 的增长目标?
参考数据: ,
参考公式：对于一组数据 ,, 回归方程中的斜率 和截距的最小二乘估计公式分别为
19 （12分）如图, 在直棱柱 中, 点分别为的中点, 线段与线段交于点.
(1) 求证: 平面 平面;
(2)若 , 求三棱锥的体积.
20（12分）已知函数 .
(1)求曲线 在点处的切线方程;
(2)证明: 当 时,.
21（12分）
已知椭圆 的长轴长是短轴长的 2 倍, 焦距为.
(1)求椭圆 的方程;
(2) 设过点 的动直线与椭圆交于两点, 是否存在定实数, 使得为定值? 若存在, 求出的值; 若不存在, 请说明理由.
请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。
22 （10分）
在直角坐标系 中, 曲线的参数方程为(为参数). 以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 直线的极坐标方程为.
(1) 写出曲线 和直线的普通方程;
(2) 已知点 , 直线与曲线交于点, 弦的中点为, 求的值.
23. 解答题（10分）
已知 . 求证:
(1) ;
(2) .
参考答案
一 1. A
由集合
则
2. D
【解析】
由已知得
所以 .
故选: .
3. D
对于 , 由柱状图可得五月出货量最高, 故正 确;
对于 , 根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波 动小，故正确;
对于 , 根据曲线上数据可得仅仅四月五月比同比 高, 其余各月均低于 2018 年, 且明显总出货量低 于 2018 年, 故正确;
对于 , 可计算的 2018 年 12 月出货量为, 8月出货量为, 故12月更高, 故错误,
故选: .
4. A
因为特称命题的否定为全称命题, 所以 ,
故选: .
5. B
为边的中点,
,
.
故选: .
6. B
解: ,
7. C
由题意, 三视图的直观图如图：该三棱锥表面上的点 、
在三视图上对应的点分别为
, 几何体如图:
几何体的体积为: .
8. A
函数 在为奇函数, 则其图象关于原点对称, 因为, 故选项错误, 又, 故选项错误.
9. A
由图象知函数周期 ,
, 把代入解析式, 得, 即.
又
10. A
解: 由题意可知 , 不妨设其中一条渐近线为在上, 设的倾斜角为, 则,
故在 中,, 即, 则, 故,
故 的渐近线方程为,
11. D
解: 因为 , 设是的外心, 则为的中点, 且,
由球的表面积为 , 即, 解得, 所以,
所以当 三点共线且平面和点位于点异侧时, 三棱锥的体积最大, 则
12. C
解: 令 ,
当时不等式成立,
,
在上是减函数.
又 是定义在上的奇函数, 故为定义域上的偶函数,
故选: C.
二 填空题部分
(1)(2)1 (3)(4)12
(1) 解: 为等差数列的前项和,, 由题意得, 解得,数列的通项公式为:故答案为:. (2) 解析:函数,则, 则. (3) 由得.(4) 解析: 将函数的零点转化为函数与图象交点的 横坐标. 在同一平面直角坐标系中, 画出函数与的图象, 如图, 因为函数与的 图象都关于直线对称, 俩个函数的图象共有 8 个交点, 所以函数的所有零,点之和.
17
(1)
(2)
【解析】
解: (1)由题意利用正弦定理可得: ,
所以 , 又, 所以,
又 , 所以.
(2) 由题意及(1) 可得 , 解得,
在 中, 由余弦定理可得:, 即,
又 , 即, 可得,
所以 , 可得的周长为.
18
(1)关于的线性回归方程为
(2)2022 年该地区生产总值能实现 的增长目标.
【解析】
(1) 由图中数据可得,
, 设回归方程为,
则
所以 关于的线性回归方程为.
(2)根据（1）中的回归模型, 2022 年该地区生产总
值的估计值为 百亿元）,
2021 年该地区生产总值为 百亿元,
增长率估计值为
所以 2022 年该地区生产总值能实现 的增长目标.
19
（1）见解析
（2）
【解析】
(1) 证明: 连接 , 因为在三棱柱中,分别为的中点, 所以, 且, 则四边形是平行四边形,
故 , 又CD平面平面,
所以 平面,
因为在三棱柱 中,分别为的中点,
所以 , 且, 四边形是平行四边形,
所以 , 又平面平面,
所以 平面, 又平面平面,
所以平面 平面;
解: (2)连接 , 因为,
所以 , 过点作于点, 连接, 则平面,
因为 是的中点, 所以, 且,
所以 , 其中, 所以, 因为是等腰直角三角形, 所以,
故三棱锥 的体积为.
20
(1)
(2)见解析
【解析】
解: (1) .
, 即曲线在点处的切线斜率,
曲线在点处的切线方程方程为.
即 为所求.
(2) 证明: 函数 的定义域为:,
可得 .
令 , 可得,
当 时,时,时,.
在递减, 在递增,
注意到 时, 函数在单调递增, 且
函数 的图象如下:
当时,.
21
(1) .
(2)见解析
【解析】
解: (1) 由题意得: , 所以,
解得: ,
所以椭圆 的方程为.
(2)设直线斜率存在时, 设为 ,
与 联立得:,
设 ,
则 ,
因为 ,
所以
当且仅当 , 即时,, 当直线斜率不存在时,, 若,
则 ，
故存在实数 , 使得为定值 5 .
22
(1) .
(2).
【解析】
由 得,.
将 代入上式得
直线的直角坐标方程为.
(2) 点在直线上
直线的参数方程可为(为参数)①
将①式代入曲线 , 得.
设点 对应的参数分别为, 则
.
23
【解析】
证明: (1) 因为 ,
所以 ,
则 ,
当且仅当 取等号.
(2)证明： ,
,
,
当且仅当 且, 即时取等号.
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