四川省内江市第六中学2022-2023学年高三上学期第二次月考理科数学试题（含答案）

内江六中2022-2023学年（上）高2023第二次月考

理科数学试题

考试时间：120分钟     满分：150分

第Ⅰ卷  选择题（满分60分）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．已知向量，若，且，则实数（    ）

A．     B．     C．     D．

2．复数的虚部为（    ）

A．     B．     C．     D．

3．若集合，则（    ）

A．     B．     C．     D．

4．若变量x、y满足约束条件，则目标函数取最大值时的最优解是（    ）

A．     B．     C．     D．

5．如图是函数的图象的一部分，则函数的解析式为（    ）

A．     B．

C．     D．

6．若已知的展开式中含的项的系数为（    ）

A．30     B．     C．25     D．

7．已知随机变量X的分布列为：

则随机变量X的方差的最大值为（    ）

A．     B．     C．1     D．2

8．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为（    ）

A．     B．     C．     D．

9．我国的“生肖”，指代表十二地支而用来记人的出生年的十二种动物，即鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，也叫属相某四人要对十二生肖选四个画图，每人画一个，每个生肖最多被选一次，且鼠和牛至少选一个，狗和猪都要选，则画图的种数为（    ）

A．17     B．204     C．408     D．864

10．已知函数，则函数的零点个数为（    ）．

A．2     B．3     C．4     D．5

11．已知是定义在R上的函数满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ）

A．函数的图象关于直线对称     B．函数的周期为2

C．函数关于点中心对称       D．

12．已知关于x的不等式有且仅有两个正整数解（其中e为自然对数的底数），则实数m的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

第Ⅱ卷  非选择题（满分90分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13．___________．

14．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为___________．

15．已知，则___________．

16．函数，已知且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为___________．

三、解答题（共70分）

（一）必考题（共60分）

17．（12分）在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求角B的大小；

（2）求的取值范围．

18．（12分）已知等差数列的前n项和为，．

（1）求及；

（2）若，求数列的前n项和．

19．（2分）的内角A，B，C所对的边分别为．

（1）求A的大小；

（2）M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．

请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．

①M为的外心，；

②M为的重心，；

③M为的内心，．

20．（12分）2022年2月4日北京冬奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，尤其在我国，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，为了了解人们对“冰墩墩”需求量，某电商平台采用预售的方式，预售时间段为2022年2月5日至2022年2月20日，该电商平台统计了2月5日至2月9日的相关数据，这5天的第x天到该电商平台参与预售的人数y（单位：万人）的数据如下表：

（1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台参与预售的人数y（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01）

（2）求参与预售人数y与预售的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测2022年2月20日该电商平台的预售人数（单位：万人）．

参考数据：，附：相关系数

21．（12分）已知函数（e为自然对数的底数）有两个零点．

（1）若，求在处的切线方程；

（2）若的两个零点分别为，证明：．

（二）选考题（10分）请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）

已知曲线的参数方程为（t为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程．

（1）求的极坐标方程；

（2）若曲线与曲线、曲线分别交于两点A，B，点，求的面积．

23．选修4-5：不等式选讲（10分）

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对于任意，都有，求实数a的取值范围．

高23届第二次月考理科数学试题解析

1．D  【分析】因为向量，所以，又，所以，解得．

2．A  【分析】复数，故z的虚部为．

3．D  【分析】把A中代入B中得：，即，则．

4．C  【分析】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）．

可化为，平移直线，当其经过点C时，目标函数取得最大值．联立，解得，故最优解是．

5．B  【详解】由图象可知：最小正周期，∴；

又，∴，

解得：，又，∴，∴，

∵，∴，∴．

6．A  展开式的第项为，令，得，故展开式中含的项的系数为．

7．A  【分析】由题意可得，则．

当有最大值为．

8．B  【分析】根据题意可得，则当时，．

所以，即当放电电流，放电时间为．

9．C  【解析】第一步：先选生肖，包含以下三种情况：第一种：鼠入选牛不入选，共可能，第二种：牛入选鼠不入选，共可能；第三种：鼠牛都入选，共1种可能；第二步：将所选生肖分配给4人，共种方法；所以画图的种数为：种．

10．B  【分析】由，得或．

当时，，所以当单调递减；当单调递增，所以时，有极小值．又时，，画出函数的图象如图所示，由图可知：函数的零点个数为3．

11．D  【详解】因为函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，A错误；

因为为奇函数，所以，所以，所以，所以函数关于点中心对称，故C错误，由与得，即，故，所以函数的周期为4，故B错误；，故D正确．

12．D  【详解】当时，由，可得，

显然当时，不等式在恒成立，不合题意；

当时，令，则在上单调递增，

令，则，故上上，

∴在上递增，在上递减，又且x趋向正无穷时趋向0，故，综上，图象如下：

由图知：要使有两个正整数解，则，即，

解得．

13．  【分析】．

14．  从5名同学中随机选3名的方法数为

甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率

15．  【详解】，而．

16．5  【详解】因为函数，且，

所以

在上单调，所以，所以，而，

当，所以，函数在不单调，舍去；

当，舍去；

当，所以，函数在不单调，舍去；

当，所以，函数在单调，

所以的最大值为5．

17．（1）  （2）

（1），∴∴∴

∴∴，又B为锐角∴

（2）由正弦定理

∴

∴

由锐角，故

故，∴，∴．

18．（1）设等差数列的公差为d，则，解得，所以，．

（2）由（1）得：，则．

所以

19．（1）∵，∴，即

由正弦定理得，，即，

∵，∴，

∴，又，∴，∴，

（2）设外接圆半径为R，则根据正弦定理得，，

若M为的外心，则为外接圆半径，，①与此矛盾，故不能选①；

若选②：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，

又，∴，

即，（*）

又由余弦定理得，即，（___________）

联立（*）（___________）解得，

∴；

若选③：∵M为的内心，∴，

由得，

∵，∴，即，

由余弦定理可得，即，∴，

即，∵，∴，

∴．

20．（1）具有较高的线性相关程度

（2），146.8万人

（1）由表中数据可得，所以

又，所以

所以该电商平台的第x天与到该电商平台参与预售的人数y（单位：万人）具有较高的线性相关程度即可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系．

（2）由表中数据可得，则

所以

令，可得（万人）故预测2022年2月20日该电商平台的预售人数146.8万人．

21．（1）当时，，

又，所以切点坐标为，切线的斜率为．

所以切线方程为，即

（2）由已知得有两个不等的正实根．

所以方程有两个不等的正实根，即有两个不等的正实根，①要证，只需证，即证，令，所以只需证，由①得，

所以，消去a得，只需证，设，令，则，则，即证

构建，则，

所以在上单调递增，则，即当时，成立，

所以，即，即，

所以，证毕．

22．（1）由消去参数t，得．因为，所以曲线的直角坐标方程为．

因为，所以曲线的极坐标方程为．

（2）由得：，所以曲线与曲线交于点．

由，得：，所以曲线与曲线交于点．

则．

23．（1）

当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得．所以不等式的解集为．

（2）因为，故．

所以

所以函数在上递减，在上递增．所以函数在R上的最小值为．

所以，即．解得或．