鲁教版 (五四制)九年级上册第三章 二次函数综合与测试精练

一、选择题(每小题3分,共36分)

1.下列函数不是二次函数的是(　D　)

A.y=(x-1)2   B.y=1-x2

C.y=-(x+1)(x-1) D.y=2(x+3)2-2x2

2.在函数y=中,自变量x的取值范围是(　B　)

A.x≥1 B.x>1 

C.x<1  D.x≤1

3.下列函数:①y=-3x2;②y=-3(x+3)2;③y=-3x2-1;④y=-2x2+5;⑤y=-(x-1)2.其中,图象形状、开口方向相同的是(　D　)

A.②⑤ B.③④ C.①③④ D.①②③

4.将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线的表达式是(　C　)

A.y=2(x-6)2 B.y=2(x-6)2+4

C.y=2x2  D.y=2x2+4

5.已知二次函数y=-x2+2x+4,则下列关于这个函数图象和性质的说法,正确的是(　C　)

A.图象的开口向上     B.图象的顶点坐标是(1,3)

C.当x<1时,y随x的增大而增大 D.图象与x轴有唯一交点

6.一次函数y=acx+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　B　)

7.一只葡萄酒杯如图①所示,酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成,且成轴对称图形.从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线,以顶点C为原点建立如图②所示的平面直角坐标系,若AB=4,CD=3,则抛物线的表达式为(　A　)

①        ②

A.y=x2 B.y=x2 C.y=-x2 D.y=-x2

8.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h=at2+bt,若小球在发射后第2 s与第6 s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是(　B　)

A.第3 s B.第3.9 s C.第4.5 s D.第6.5 s

9.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是(　D　)

A.没有交点

B.只有一个交点,且它位于y轴右侧

C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧

D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧

10.(2022岱岳模拟)下表给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是(　B　)

A.1.08 B.1.18 C.1.28 D.1.38

11.某旅游景点的收入受季节的影响较大,有时候出现赔本的经营状况.因此,公司规定:若无利润时,该景点关闭.经跟踪测算,该景点一年中的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W=-x2+16x-48,则该景点一年中处于关闭状态有(　A　)

A.5个月 B.6个月 C.7个月 D.8个月

12.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是(　D　)

A.若(-2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2

B.3a+c=0

C.方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根

D.当x≥0时,y随x的增大而减小

二、填空题(每小题3分,共18分)

13.(2022淄博实验中学模拟)若y=(m2-1)是二次函数,则      m=　2　.

14.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-4,1),B(2,1),若函数值y随x的值的增大而减小,则x的取值范围是　x≥-1　. 

15.抛物线y=(k-1)x2-x+1与x轴有交点,则k的取值范围是　k≤且k≠1　. 

16.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于C(0,3),且此抛物线的顶点坐标为 M(-1,4),则此抛物线的表达式为　y=-x2-2x+3　.

17.已知抛物线y=x2-k的顶点为P,与x轴交于点A,B,且△ABP是正三角形,则k的值是　3　. 

18.如图所示,抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2-4x,其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为　8　. 

三、解答题(共46分)

19.(6分)已知抛物线y=ax2-2ax-3+2a2(a≠0).

(1)求这条抛物线的对称轴;

(2)若该抛物线的顶点在x轴上,求其表达式;

(3)设点P(m,y1),Q(3,y2)在抛物线上,若y1<y2,求m的取值范围.

解:(1)∵y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3.

∴抛物线的对称轴为直线x=1.

(2)∵抛物线的顶点在x轴上,

∴2a2-a-3=0,

解得a1=,a2=-1.

∴抛物线的表达式为y=x2-3x+或y=-x2+2x-1.

(3)∵抛物线的对称轴为直线x=1,

则Q(3,y2)关于x=1对称的点的坐标为(-1,y2),

∴当a>0,-1<m<3时,y1<y2.

当a<0,m<-1或m>3时,y1<y2.

20.(8分)某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是多少元?

解:设每份A种快餐降价a元,则每天卖出(40+2a)份,每份B种快餐提高b元,则每天卖出(80-2b)份,

由题意可得,40+2a+80-2b=40+80,

解得a=b,

∴总利润W=(12-a)(40+2a)+(8+a)(80-2a)

=-4a2+48a+1 120

=-4(a-6)2+1 264.

∵-4<0,

∴当a=6时,W取得最大值1 264,

即两种快餐一天的总利润最多为1 264元.

21.(10分)如图所示,某农户计划用长12 m的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽,生物园的一面靠墙,且墙的可利用长度最长为7 m.

(1)若生物园的面积为9 m2,则这个生物园垂直于墙的一边长为多少?

(2)若要使生物园的面积最大,该怎样围?

解:设这个生物园垂直于墙的一边长为x m.

(1)由题意,得x(12-3x)=9,

解得x1=1(不符合题意,舍去),x2=3,

∴这个生物园垂直于墙的一边长为3 m.

(2)设围成生物园的面积为y m2.

由题意,得y=x(12-3x)=-3(x-2)2+12.

∵解得≤x<4.

∴当x=2时,y最大=12,12-3x=6.

∴生物园垂直于墙的一边长为2 m,平行于墙的一边长为6 m时,围成生物园的面积最大,最大面积为12 m2.

22.(10分)(2022泰山模拟)有一辆宽为2 m的货车(如图①所示),要通过一条抛物线形隧道(如图②所示).为确保车辆安全通行,规定货车车顶左右两侧离隧道内壁的垂直高度至少为0.5 m.已知隧道的跨度AB为8 m,拱高为4 m.

(1)若隧道为单车道,货车高为3.2 m,该货车能否安全通行?为什么?

(2)若隧道为双车道,且两车道之间有0.4 m的隔离带,通过计算说明该货车能够通行的最大安全限高.

①                    ②

解:(1)货车能安全通行.理由如下:依题意建立平面直角坐标系如图所示.

设抛物线表达式为y=ax2+4,将B(4,0)代入,得16a+4=0,解得a=-,

∴抛物线表达式为y=-x2+4.令x=1可得y=3.75.

∵3.75-0.5=3.25>3.2,∴货车能够安全通行.

(2)令x=0.2+2=2.2,可得y=2.79.

∵2.79-0.5=2.29,∴货车能够通行的最大安全限高为2.29 m.

23.(12分)如图所示,△OAP是等腰直角三角形,∠OAP=90°,点A在第四象限,点P坐标为(8,0),抛物线y=ax2+bx+c经过原点O和A,P两点.

(1)求抛物线的函数表达式.

(2)点B是y轴正半轴上一点,连接AB,过点B作AB的垂线交抛物线于C,D两点,且BC=AB,求点B坐标;

(3)在(2)的条件下,点M是线段BC上一点,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,求△CBN面积的最大值.

解:(1)△OAP是等腰直角三角形,∠OAP=90°,点P坐标为(8,0),

则点A在抛物线的对称轴上,故点A(4,-4),

故抛物线的表达式为y=a(x-4)2-4,

将点P的坐标代入上式并解得a=,

故抛物线的表达式为y=x2-2x.

(2)设点B(0,m),过点C作CH⊥y轴于H,过点A作AQ⊥y轴于点Q,如图所示.

∵∠BAQ+∠QBA=90°,∠QBA+∠HBC=90°,∴∠HBC=∠BAQ.

又∵BC=AB,∠CHB=∠BQA=90°,

∴△CHB≌△BQA(AAS),

∴BH=AQ=4,CH=BQ=4+m,

故点C(m+4,m+4).

将点C的坐标代入抛物线表达式并解得m=8,

故点B(0,8).

(3)由(2)知点B(0,8),点C(12,12),

设直线BC的表达式为y=kx+n.

将点B,C的坐标代入,得

解得

∴直线BC的表达式为y=x+8.

设点N(x,x2-2x),则点M(x,x+8),

∴△CBN的面积S=×MN×CH=×(x+8-x2+2x)×12=-x2+14x+48= -(x-)2+.

∵-<0,故S有最大值.