黑龙江省大庆铁人中学2022-2023学年高三数学上学期第一次月考试题（Word版附答案）

大庆铁人中学2020级高三上学期月考数学试题

试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。

2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷  选择题部分

一、选择题（每小题只有一个选项正确，共12小题，每小题5分，共60分。）

1.设集合，，若，则实数的取值范围是(  )

A.  B.  或   C. 或   D.  

2. 已知点，和向量，若，则实数的值为(  )

A.  B.  C.  D.    

3. 已知，则复平面内与对应的点在(  )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 

4. 某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：

则该单位党员一周学习党史时间的众数及第百分位数分别是(  )

A. ， B. ， C. ， D. ， 

5. 3名男生，2名女生站成一排照相，则名女生相邻且都不站在最左端的不同的站法共有(  )

1. 种 B. 种 C. 种 D. 种 

6.过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为    

A.  B.  C.  D.  

7.正四面体内放入一个可以自动充气的球，当球和四面体的面相切时，球的半径与该正四面体的高的比值为(    )

A.  B.  C.  D.  

8.已知，且，，则的值为(  )

A.  B.  C.  D.

9.的最小值为(  )

A.  B.  C.  D.     

10.已知函数，则方程的根的个数为(  )

A.  B.  C.  D.  

11. 将等比数列按原顺序分成项，项，项，，项的各组，再将公差为的等差数列的各项依次插入各组之间，得到新数列：，，，，，，，，，，，新数列的前项和为若，，，则(  )

A.    B.    C.    D.  

12.已知函数有两个零点、，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是(   )

A.  B.  C.  D.  

第Ⅱ卷 主观题部分

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.已知随机变量，，且，，则________

14. 已知，对于任意的，都存在，使得成立，其中，则的范围是______  

15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，点为椭圆上一点，且若，则椭圆的离心率为_______

16.已知，不等式对于恒成立，且方程有实根，则的最小值为_______ 

三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分．解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.本小题分

设是等比数列的前项和，，且，，成等差数列．

求的通项公式

求使成立的的最大值．

18. 本小题分

某公司对名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用．公司对名求职员工的测试得分测试得分都在内进行了统计分析，得分不低于分为“优”，得分低于分为“良”，得到如下的频率分布直方图和列联表．

完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联；

该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案，按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取个人的样本，并在人中再随机抽取人进行调查，记人中男性的人数为，求的分布列以及数学期望．

参考公式：．    

19.本小题分

在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足．

求角；

角的内角平分线交于点，若，，求．

20.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，．
 

若为的中点，求证：；

求二面角的正弦值．

21.本小题分

已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点．

求椭圆的方程；
若点关于轴的对称点为点，证明：直线与轴交于定点．

22.本小题分

已知函数．

若，求函数的单调性；   若函数有两个零点，求实数的取值范围．

参考答案

1-12 BCCAD ACBCA AB

13.    14.    15.    16.

17.本小题分

设是等比数列的前项和，，且，，成等差数列．

求的通项公式

求使成立的的最大值．

【答案】解：设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以的通项公式为．
由得，由，得，
即，当为偶数时，，舍去．当为奇数时，，
所以，即所以使成立的的最大值是． 

18.某公司对名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用．公司对名求职员工的测试得分测试得分都在内进行了统计分析，得分不低于分为“优”，得分低于分为“良”，得到如下的频率分布直方图和列联表．

完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联；

该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案，按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取个人的样本，并在人中再随机抽取人进行调查，记人中男性的人数为，求的分布列以及数学期望．

参考公式：．    

解：得分不低于分的人数为：，所以填表如下：

根据列联表中的数据，经计算得到，
所以依据小概率值的独立性检验，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联．

得分为优秀的男女比例为，所以人中男性有人，女性有人．
因此的可能值为，，，．
所以的分布列为：

的数学期望为：． 

19.本小题分

在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足．

求角；

角的内角平分线交于点，若，，求．

解：因为，在中，由正弦定理可得，
化简可得，因为，所以，所以．
由，得，
即，化简得．
又由余弦定理得，，化简得
联立，解得，，所以，或，．
当，时，
在中，由余弦定理得，所以．
由正弦定理得，代入算得．
当，时，
在中，由余弦定理得，所以．
由正弦定理得，代入算得．
也可在中，同理算得，然后推得 

20.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面底面，侧面是菱形，，，．
 

若为的中点，求证：；

求二面角的正弦值．

【答案】解：因为侧面底面，侧面底面，平面，，
所以平面．因为平面，所以．
又四边形是菱形，，所以是等边三角形，因为为的中点，
所以．因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以；
取中点，连结因为是等边三角形，所以．
因为侧面底面，侧面底面，，所以底面．
在底面中，过点作交于点，则．以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

因为，所以，，，，所以，．
设平面的法向量，则即
取，则，，即．取平面的法向量，
设二面角的大小为，则，所以，
所以二面角的正弦值为． 

21.本小题分

已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点．

求椭圆的方程；
若点关于轴的对称点为点，证明：直线与轴交于定点．

【答案】解：由双曲线得焦点，得，又，，联立解得，，
故椭圆的方程为；．
设直线，点，则点．由 ，
得，，
解得，从而，
直线的方程为，令得，
代入，化简得，即 ，故直线与轴交于定点． 

22.已知函数．

若，求函数的单调性；

若函数有两个零点，求实数a的取值范围．

解：，，
设，显然在上单调递增，又，
故时，单调递减，时，单调递增．

函数的定义域为，
由，

当时，，此时单调递增，最多只有一个零点；

当时，令，由，可知函数单调递增，
又，，可得存在，使得，有，可知函数的减区间为，增区间为．若函数有两个零点，必有，得．

又由．令，有，
令，可得，故函数的增区间为，减区间为，有．

当时，，．

可得此时函数有两个零点．

由上可知，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是．