初中数学沪科版九年级上册第22章 相似形综合与测试同步测试题

2022-2023年沪科版数学九年级上册

第22章《相似形》单元检测卷

一              、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1.在一张比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地实际距离为（　　）

A.3.5千米     B.35千米       C.350千米     D.3500千米

2.如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（       ）

 A.8cm                      B.12cm                        C.30cm                          D.50cm

3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：

第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；

第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；

第三步，连接DE、DF.

若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是(　　)

A.2         B.4         C.6         D.8

4.在下面的图形中，形状相似的一组是(    )

5.两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为（　　）

A.1：3        B.1：9         C.1：3        D.2：3

6.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠BAC度数为(     )

A.135°     B.125°      C.115°       D. 105°

7.如图,D、E分别是AB、AC上两点,CD与BE相交于点O,下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（     ）

  A.∠B=∠C     B.∠ADC=∠AEB        C.BE=CD，AB=AC      D.AD:AC=AE:AB

8.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A'B'C'，已知OB=3OB'，则△A'B'C'与△ABC的面积的比为(  )

A.1：3         B.1：4         C.1：5         D.1：9

9.如图在Rt△ABC中,∠C=90°.CD是斜边AB上的高,若得到CD2=BD•AD这个结论可证明（   ）

  A．△ADC∽△ACB                  B．△BDC∽△BCA                C．△ADC∽△CBD    D．无法判断

10.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（       ）

  A.1：16                      B.1：18                       C.1：20                       D.1：24

11.如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4m，梯上点D距墙DE=1.2m，

BD长0.5m，且△ADE∽△ABC， 则梯子的长为（　　） 

A.3.5m      B.3.85m      C.4m        D.4.2m

12.如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N.

下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD.

其中正确的结论的序号是(　　)

A.①③        B.②④        C.①②        D.③④

二              、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.已知=，则=________.

14.如图，AD∥BE∥CF，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，，DE=6，则EF=______.

15.若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的周长比等于______.

16.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝5，BC＝12，则AD的长为        .

17.如图，在平面直角坐标系中，已知C(1，)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，要使△DEF的面积是△ABC面积的5倍，则点F的坐标为　   　.

18.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H.

给出下列结论：

①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC

其中正确的是　   　(填序号)

三              、作图题（本大题共1小题，共8分）

19.如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3．

（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于   ；

（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；

（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？

（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为  ．

四              、解答题（本大题共7小题，共58分）

20.已知，求.

21.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B.若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长.

22.如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.

(1)求DB的长；

(2)在△ABC中，求BC边上高的长．

23.如图所示，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF=90°.

(1)求证：△ABE∽△DEF；

(2)若AB=4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长.

24.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.

已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1 m，DE=1.5 m，BD=8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.

25. (1)如图1，在△ABC中，点M为BC边的中点，且MA=BC，求证：∠BAC=90°.

(2)如图2，直线a、b相交于点A，点C、E分别是直线b、a上两点，ED⊥b，垂足为点D，点M是EC的中点，MD=MB，DE=2，BC=3，求△ADE和△ABC的面积之比.

26. (1)问题背景：

    如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E.请探究线段BD与CE的数量关系.(事实上，我们可以延长CE与直线BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题.)

结论：线段BD与CE的数量关系是       (请直接写出结论)；

(2)类比探索：

    在(1)中，如果把BD改为∠ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变(如图2)，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)拓展延伸：

    在(2)中，如果AB≠AC，且AB＝nAC(0＜n＜1)，其他条件均不变(如图3)，请你直接写出BD与CE的数量关系.

  结论：BD＝     CE(用含n的代数式表示).

答案

1.C.

2.B

3.D.

4.C.

5.A

6.A

7.A

8.C

9.D.

10.C

11.A．

12.A.

13.答案为：－.

14.答案为：9.

15.答案为：4：5.

16.答案为：.

17.答案为：(，).

18.答案是：①②④.

19.解：（1））△ABC与△A1B1C1的位似比等于=；

（2）如图所示

（3）△A3B3C3是由△A2B2C2沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到；

（4）点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，

点P的对应点的坐标为（﹣2x﹣2，2y+2）．

故答案为：；（﹣2x﹣2，2y+2）．

20.解：令，

∴，，，

∴原式.

21.解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC，

∴=，

∵AE=5，AB=9，CB=6，

∴=，解得DE=

22.解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，

∴BD＝＝3；

(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，

∵DB⊥BC，AE⊥BC，

∴AE∥DB，

∵D为AC边的中点，

∴BD＝AE，

∴AE＝6，即BC边上高的长为6.

23.解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A=∠D=90°.

∴∠ABE＋∠AEB=90°.

∵∠BEF=90°，∴∠AEB＋∠DEF=90°.

∴∠ABE=∠DEF.∴△ABE∽△DEF.

(2)∵AB=AD=4，E为AD的中点，

∴AE=DE=2.

由(1)知，△ABE∽△DEF，

∴=，即=.

∴DF=1.∴CF=3.

∵ED∥CG，

∴△EDF∽△GCF.

∴=，即=.

∴GC=6.

∴BG=BC＋GC=10.

24.解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，

∴△ABC∽△ADE，

∴=，即=，

解得AB=17(m).

经检验，AB=17是原分式方程的解.

答：河宽AB的长为17 m.

25.(1)证明：∵点M为BC的中点，

∴BM=CM=BC.

∵MA=BC，

∴BM=CM=MA，

∴∠BAM=∠B，∠CAM=∠C，

∴∠BAM+∠B+∠CAM+∠C=180°，

∴2∠BAM+2∠CAM=180°，

∴∠BAM+∠CAM=90°，即∠BAC=90°.

(2)解：∵点M为EC的中点，ED⊥AC于点D，

∴DM=EC.

∵BM=DM，

∴BM=EC，

∴∠EBC=90°.

∴∠ADE=∠ABC=90°.

又∵∠DAE=∠BAC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=()2=.

26.解：(1)BD＝2CE.理由如下：如图1，延长CE、BA交于F点.

∵CE⊥BD，交直线BD于E，

∴∠FEB＝∠CEB＝90°.

∵BD平分∠ABC，

∴∠1＝∠2，

∴∠F＝∠BCF，

∴BF＝BC，

∵BE⊥CF，

∴CF＝2CE.

∵△ABC中，AC＝AB，∠A＝90°，

∴∠CBA＝45°，

∴∠F＝67.5°，∠FBE＝22.5°，

∴∠ADB＝67.5°，

∵在△ADB和△AFC中，

，

∴△ADB≌△AFC(AAS)，

∴BD＝CF，

∴BD＝2CE；

 (2)结论BD＝2CE仍然成立.理由如下：如图2，延长CE、AB交于点G.

∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴∠3＝∠4，

又∵BE＝BE，∠GEB＝∠CEB＝90°，

∴△GBE≌△CBE(ASA)，

∴GE＝CE，

∴CG＝2CE.

∵∠D+∠DCG＝∠G+∠DCG＝90°，

∴∠D＝∠G，

又∵∠DAB＝∠GAC＝90°，

∴△DAB∽△GAC，

∴BD：CG＝AB：AC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CG＝2CE；

(3)BD＝2nCE.理由如下：如图3，延长CE、AB交于点G.

∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴∠3＝∠4，

又∵BE＝BE，∠GEB＝∠CEB＝90°，

∴△GBE≌△CBE(ASA)，

∴GE＝CE，

∴CG＝2CE.

∵∠D+∠DCG＝∠G+∠DCG＝90°，

∴∠D＝∠G，

又∵∠DAB＝∠GAC＝90°，

∴△DAB∽△GAC，

∴BD：CG＝AB：AC，

∵AB＝nAC，

∴BD＝nCG＝2nCE.