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江苏省镇江市第三中学2022-2023学年八年级上学期第一次学情调研数学试题（含答案）
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这是一份江苏省镇江市第三中学2022-2023学年八年级上学期第一次学情调研数学试题（含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省镇江三中八年级（上）第一次调研
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共24分）
1．（3分）下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70° B．110° C．120° D．130°
4．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．48 B．96 C．84 D．42
5．（3分）如图，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D和点E，连接AD，BD＝CD，∠C＝30°，则∠BAD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
6．（3分）如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3＝7：2：1，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．108° C．110° D．126°
7．（3分）如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
8．（3分）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大題共10小题，共20分）
9．（2分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ．
10．（2分）角是轴对称图形， 是它的对称轴．
11．（2分）如图，CD＝CB，那么添加条件 能根据SAS判定△ABC≌△ADC．
12．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种．
13．（2分）如图，若△ABC≌△DEF，AF＝2，FD＝8，则FC的长度是 ．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 ．
15．（2分）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠BCD的大小是 °．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，S△ABC＝12，BC＝3，点D为边BC的中点，AC的垂直平分线EF分别交边AB，AC于点E，F．点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．
下列结论中正确的是 ．（填序号）
①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．
三、解答题（本大題共9小题，共76分）
19．（6分）如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．
20．（6分）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠A＝∠C，AE＝CF，AD＝CB．求证：BE∥DF．
21．（6分）已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E＝ ．
23．（8分）尺规作图（需保留作图痕迹）
（1）已知△ABC，将△ABC沿直线AD折叠，使得边AC落在边AB上，作折痕AD．
（2）已知∠MON，点A在其内部，在ON上作一点P，使得点P到点A的距离与点P到射线OM的距离之和最短．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E．
（1）若AC＝12，BC＝15，求△ABD的周长；
（2）若∠B＝20°，求∠BAD的度数．
25．（10分）如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，AD＝BC，∠ADC＝∠BCE，CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）问：CF与DE的位置关系，并说明理由．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC＝ 时，△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形，求∠BDA的度数．
27．（12分）（1）如图：已知D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连接AD，△ADE是等腰直角三角形，DE为斜边，连接CE，求∠ECD的度数．
（2）当（1）中△ABC、△ADE都改为等边三角形，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，试说明理由，并求出此时∠EDC的度数．
（3）在（2）的条件下，当点D运动到使△DCE的周长最小时，点M是此时射线AD上的一个动点，以CM为边，在直线CM的下方画等边三角形CMN，若△ABC的边长为4，请直接写出DN长度的最小值．
2022-2023学年江苏省镇江三中八年级（上）第一次调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，共24分）
1．（3分）下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．
【解答】解：
由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠BAC＝∠1，
∠1+∠2＝180°．
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70° B．110° C．120° D．130°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝40°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
故选：B．
4．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．48 B．96 C．84 D．42
【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形ODFC＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，S△ABC＝S△DEF，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S△DEF﹣S△EOC＝S△ABC﹣S△EOC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故选：A．
5．（3分）如图，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D和点E，连接AD，BD＝CD，∠C＝30°，则∠BAD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DA＝DC，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝60°，
∵DA＝DC，BD＝CD，
∴BD＝DA，
∴∠BAD＝∠B＝×（180°﹣∠BDA）＝60°，
故选：B．
6．（3分）如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3＝7：2：1，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．108° C．110° D．126°
【分析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可．
【解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝7：2：1，
∴设∠1＝7x，∠2＝2x，∠3＝x，
由∠1+∠2+∠3＝180°得：
7x+2x+x＝180°，
解得x＝18°，
故∠1＝7×18°＝126°，∠2＝2×18°＝36°，∠3＝1×18°＝18°，
∴∠DCA＝∠E＝∠3＝18°，∠2＝∠EBA＝∠D＝36°，
∴∠EBC＝72°，∠DCB＝36°，
∴∠α＝∠EBC+∠DCB＝108°，
故选：B．
7．（3分）如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【分析】根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB＝，然后即可确定C点的位置．
【解答】解：如图，AB＝＝，
∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，
故选：C．
8．（3分）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①先证明△ABD≌△ACE得出∠B＝∠C，即可证明△EBM≌△DCM，即可判断①；
②根据垂直的定义和四边形的内角和可得结论，即可判断②；
③证明△AEM≌△ADM，得∠AME＝∠AMD，即可判断③；
④如图，延长CE至N，使EN＝EM，连接AN，BN，证明△AEN≌△BEM（SAS），得AN＝BM，根据三角形三边关系可判断④；
⑤根据面积相等可知：S△ADM＝S△CDM，由同高可知底边AD＝CD，从而判断⑤．
【解答】解：①在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
即BE＝CD，
在△EBM和△DCM中，
，
∴△EBM≌△DCM（AAS），
故①正确；
②∵AF⊥CE，AG⊥BD，
∴∠AFM＝∠AGM＝90°，
∴∠FAG+∠FMG＝180°，
∵∠FMG+∠EMB＝180°，
∴∠EMB＝∠FAG，
故②正确；
③由①知：△EBM≌△DCM，
∴EM＝DM，
在△AEM和△ADM中，
，
∴△AEM≌△ADM（SSS），
∴∠AME＝∠AMD，
∴MA平分∠EMD；
故③正确；
④如图，延长CE至N，使EN＝EM，连接AN，BN，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEN和△BEM中，
，
∴△AEN≌△BEM（SAS），
∴AN＝BM，
由①知：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
△ACN中，AC+AN＞CN，
∴BM+AC＞BD+EM，
故④正确；
⑤∵S△BEM＝S△ADM，S△EBM＝S△DCM，
∴S△ADM＝S△CDM，
∴AD＝CD＝AC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AE＝AB，
∴E是AB的中点；
故⑤正确；
本题正确的有5个；
故选：D．
二、填空题（本大題共10小题，共20分）
9．（2分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 15：01 ．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01，
故答案为：15：01．
10．（2分）角是轴对称图形， 角平分线所在的直线 是它的对称轴．
【分析】根据角的对称性解答．
【解答】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．
故答案为：角平分线所在的直线．
11．（2分）如图，CD＝CB，那么添加条件 ∠DCA＝∠BCA 能根据SAS判定△ABC≌△ADC．
【分析】CD＝CB，公共边AC＝AC，要利用SAS判定△ABC≌△ADC，需加条件∠DCA＝∠BCA．
【解答】解：添加条件：∠DCA＝∠BCA，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案为：∠DCA＝∠BCA
12．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 5 种．
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处．
故答案为：5．
13．（2分）如图，若△ABC≌△DEF，AF＝2，FD＝8，则FC的长度是 6 ．
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，AF＝2，FD＝8，
∴AC＝FD＝8，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 10 ．
【分析】根据垂直平分线性质得出AD＝BD，求出△BDC的周长等于BC+AC，代入求出即可．
【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点D，AC＝6，BC＝4，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝4+6＝10．
故答案为：10．
15．（2分）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 12 ．
【分析】先由AB∥CD，证明∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABF≌△DEF，再由S阴影＝S四边形ACEF+S△ABF＝S四边形ACEF+S△DEF＝S△ACD，求出图中阴影部分的面积即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，
在△ABF和△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF（ASA），
∴S△ABF＝S△DEF，
∵∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，
∴S阴影＝S四边形ACEF+S△ABF＝S四边形ACEF+S△DEF＝S△ACD＝×4×6＝12，
∴图中阴影部分的面积为12，
故答案为：12．
16．（2分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠BCD的大小是 115 °．
【分析】根据两边分别相等证明平行四边形，推AB∥CD，得∠B+∠BCD＝180°，∠BCD＝115°
【解答】解：由题意可知：AB＝CD．BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝115°．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，S△ABC＝12，BC＝3，点D为边BC的中点，AC的垂直平分线EF分别交边AB，AC于点E，F．点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 9.5 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝12，
解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝8+×3＝6+4＝9.5．
故答案为：9.5．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．
下列结论中正确的是 ②③④ ．（填序号）
①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．
【分析】延长EB至G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EDA，且AE＝AG，利用SAS证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以②是正确的，通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为CD∥AB，所以∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE＝90°，故③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故①是错误的．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠GAE，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大題共9小题，共76分）
19．（6分）如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠B＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵△ABC≌△DEF，ED＝10cm，
∴∠F＝∠ACB＝70°，DE＝AB＝10（cm）．
20．（6分）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠A＝∠C，AE＝CF，AD＝CB．求证：BE∥DF．
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得∠DFE＝∠BEF，可得结论．
【解答】证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠DFE＝∠BEF，
∴EB∥DF．
21．（6分）已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
【分析】由∠1＝∠2可得：∠EAD＝∠BAC，再有条件AB＝AE，∠B＝∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC＝ED．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即：∠EAD＝∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC＝ED．
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E＝ 45° ．
【分析】（1）将点A、B、C分别右移2个单位、下移2个单位得到其对应点，顺次连接即可得；
（2）分别作出点D、E、F关于直线l的对称点，顺次连接即可得；
（3）连接A′F′，利用勾股定理逆定理证△A′C′F′为等腰直角三角形即可得．
【解答】解：（1）△A′B′C′即为所求；
（2）△D′E′F′即为所求；
（3）如图，连接A′F′，
∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，
∴∠C+∠E＝∠A′C′B′+∠D′E′F′＝∠A′C′F′，
∵A′C′＝＝、A′F′＝＝，C′F′＝＝，
∴A′C′2+A′F′2＝5+5＝10＝C′F′2，
∴△A′C′F′为等腰直角三角形，
∴∠C+∠E＝∠A′C′F′＝45°，
故答案为：45°．
23．（8分）尺规作图（需保留作图痕迹）
（1）已知△ABC，将△ABC沿直线AD折叠，使得边AC落在边AB上，作折痕AD．
（2）已知∠MON，点A在其内部，在ON上作一点P，使得点P到点A的距离与点P到射线OM的距离之和最短．
【分析】（1）作∠BAC的平分线AD即可；
（2）根据轴对称的性质以及垂线段最短可知：作点A关于ON的对称点A1，过A1作OM的垂线交ON即为点P．
【解答】解（1）如图所示，作∠BAC的平分线AD即可，
（2）如图所示，作点A关于ON的对称点A1，过A1作OM的垂线交ON即为点P．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E．
（1）若AC＝12，BC＝15，求△ABD的周长；
（2）若∠B＝20°，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质求出AD＝DC，求出△ABD周长＝AB+BC即可；
（2）根据等腰三角形性质求出∠C，∠DAC，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD＝DC，
∵AB＝AC＝12，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC＝12+15＝27；
（2）∵AB＝AC，∠B＝20°，
∴∠C＝∠B＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝140°﹣20°＝120°．
25．（10分）如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，AD＝BC，∠ADC＝∠BCE，CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）问：CF与DE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A＝∠B，利用ASA定理证明△ACD≌△BEC；
（2）根据全等三角形的性质得到CD＝CE，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（ASA）；
（2）解：CF⊥DE，
理由如下：由（1）可知：△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）当DC＝ AD 时，△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形，求∠BDA的度数．
【分析】（1）由∠B＝∠C＝∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，得∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝25°，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝115°，点D从B向C运动，则∠DAC逐渐变小，所以∠DAC+∠C也逐渐变小，因而∠BDA逐渐变小，于是得到问题的答案；
（2）当DC＝AD时，由∠BAD＝140°﹣∠ADB，∠CDE＝140°﹣∠ADB，所以∠BAD＝∠CDE，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△BAD≌△CDE，于是得到问题的答案；
（3）分三种情况讨论，一是AD＝ED，则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，∠DAE＝（180°﹣∠ADE）＝70°，所以∠BAD＝30°，∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝110°；二是AE＝DE，则∠CAD＝∠ADE＝40°，所以∠BDA＝∠CAD+∠C＝80°；三是AD＝AE，可推导出AD与AB重合，则点D与点B重合，不符合题意．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝25°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝115°，
∵点D从B向C运动，
∴∠DAC逐渐变小，
∴∠DAC+∠C也逐渐变小，
∵∠BDA＝∠DAC+∠C，
∴∠BDA逐渐变小，
故答案为：25，115，小．
（2）当DC＝AD时，
∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝140°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝140°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△BAD和△CDE中，
，
∴△BAD≌△CDE（AAS），
故答案为：AD.
（3）当AD＝ED时，如图1，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，∠DAE＝（180°﹣∠ADE）＝70°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝110°；
当AE＝DE时，如图2，
∵∠CAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠CAD+∠C＝80°；
若AD＝AE，则∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝100°＝∠BAC，
∴AD与AB重合，点D与点B重合，不符合题意，
综上所述，∠BDA的度数是110°或80°．
27．（12分）（1）如图：已知D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连接AD，△ADE是等腰直角三角形，DE为斜边，连接CE，求∠ECD的度数．
（2）当（1）中△ABC、△ADE都改为等边三角形，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，试说明理由，并求出此时∠EDC的度数．
（3）在（2）的条件下，当点D运动到使△DCE的周长最小时，点M是此时射线AD上的一个动点，以CM为边，在直线CM的下方画等边三角形CMN，若△ABC的边长为4，请直接写出DN长度的最小值．
【分析】（1）由等腰直角△ABC、△ADE易证△ABD≌△ACD，即可得出∠ECA＝∠B＝45°，进而求出∠ECD＝90°，
（2）证明△BAD≌CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°推出CD+EC＝CD+BD＝BC，∠ECD＝60°+60°＝120°，由△ECD的周长＝DE+CD+CE＝DE+BC，BC为定值，推出DE定值最小时，△DCE得到周长最小，根据此线段最短即可解决问题．
（3）如图3中，取AC的中点H，连接DH，则△DCH是等边三角形．作HK⊥AD于K．证明△HCM≌△DCN（SAS），推出DN＝HM，推出HM定值最小时，DN的值最小，当HM与KH重合时，HM的值最小．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，
∴△BAD≌CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠ECD＝45°+45°＝90°．
（2）如图2中，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝60°，
∴△BAD≌CAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°
∴CD+EC＝CD+BD＝BC，∠ECD＝60°+60°＝120°，
∵△ECD的周长＝DE+CD+CE＝DE+BC，
∵BC为定值，
∴DE定值最小时，△DCE得到周长最小，
∵DE＝AD，
∴AD⊥BC时，AD定值最小，此时BD＝CD＝CE，
∴∠EDC＝（180°﹣120°）＝30°，
∴当点D运动到BC的中点时，△DEC是周长最小，此时∠EDC＝30°．
（3）如图3中，取AC的中点H，连接DH，则△DCH是等边三角形．作HK⊥AD于K．
∵CH＝CD，CM＝CN，∠DCH＝∠MCN，
∴∠HCM＝∠DCN，
∴△HCM≌△DCN（SAS），
∴DN＝HM，
∴HM定值最小时，DN的值最小，
当HM与KH重合时，HM的值最小，最小值HK＝AH•sin30°＝1，
∴DN的长度的最小值为1．
2022-2023学年江苏省镇江三中八年级（上）第一次调研
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共24分）
1．（3分）下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70° B．110° C．120° D．130°
4．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．48 B．96 C．84 D．42
5．（3分）如图，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D和点E，连接AD，BD＝CD，∠C＝30°，则∠BAD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
6．（3分）如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3＝7：2：1，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．108° C．110° D．126°
7．（3分）如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
8．（3分）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大題共10小题，共20分）
9．（2分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ．
10．（2分）角是轴对称图形， 是它的对称轴．
11．（2分）如图，CD＝CB，那么添加条件 能根据SAS判定△ABC≌△ADC．
12．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种．
13．（2分）如图，若△ABC≌△DEF，AF＝2，FD＝8，则FC的长度是 ．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 ．
15．（2分）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠BCD的大小是 °．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，S△ABC＝12，BC＝3，点D为边BC的中点，AC的垂直平分线EF分别交边AB，AC于点E，F．点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 ．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．
下列结论中正确的是 ．（填序号）
①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．
三、解答题（本大題共9小题，共76分）
19．（6分）如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．
20．（6分）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠A＝∠C，AE＝CF，AD＝CB．求证：BE∥DF．
21．（6分）已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E＝ ．
23．（8分）尺规作图（需保留作图痕迹）
（1）已知△ABC，将△ABC沿直线AD折叠，使得边AC落在边AB上，作折痕AD．
（2）已知∠MON，点A在其内部，在ON上作一点P，使得点P到点A的距离与点P到射线OM的距离之和最短．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E．
（1）若AC＝12，BC＝15，求△ABD的周长；
（2）若∠B＝20°，求∠BAD的度数．
25．（10分）如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，AD＝BC，∠ADC＝∠BCE，CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）问：CF与DE的位置关系，并说明理由．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 （填“大”或“小”）；
（2）当DC＝ 时，△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形，求∠BDA的度数．
27．（12分）（1）如图：已知D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连接AD，△ADE是等腰直角三角形，DE为斜边，连接CE，求∠ECD的度数．
（2）当（1）中△ABC、△ADE都改为等边三角形，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，试说明理由，并求出此时∠EDC的度数．
（3）在（2）的条件下，当点D运动到使△DCE的周长最小时，点M是此时射线AD上的一个动点，以CM为边，在直线CM的下方画等边三角形CMN，若△ABC的边长为4，请直接写出DN长度的最小值．
2022-2023学年江苏省镇江三中八年级（上）第一次调研数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，共24分）
1．（3分）下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）
A．150° B．180° C．210° D．225°
【分析】根据SAS可证得△ABC≌△EDC，可得出∠BAC＝∠DEC，继而可得出答案．
【解答】解：
由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠BAC＝∠1，
∠1+∠2＝180°．
故选：B．
3．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠DAE的度数为（ ）
A．70° B．110° C．120° D．130°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝40°，
∴∠DAE＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
故选：B．
4．（3分）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（ ）
A．48 B．96 C．84 D．42
【分析】根据平移的性质得出BE＝6，DE＝AB＝10，则OE＝6，则阴影部分面积＝S四边形ODFC＝S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，S△ABC＝S△DEF，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∴S四边形ODFC＝S△DEF﹣S△EOC＝S△ABC﹣S△EOC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48．
故选：A．
5．（3分）如图，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D和点E，连接AD，BD＝CD，∠C＝30°，则∠BAD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．80° D．100°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DA＝DC，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝60°，
∵DA＝DC，BD＝CD，
∴BD＝DA，
∴∠BAD＝∠B＝×（180°﹣∠BDA）＝60°，
故选：B．
6．（3分）如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3＝7：2：1，则∠α的度数为（ ）
A．90° B．108° C．110° D．126°
【分析】根据三角形的内角和定理和折叠的性质计算即可．
【解答】解：∵∠1：∠2：∠3＝7：2：1，
∴设∠1＝7x，∠2＝2x，∠3＝x，
由∠1+∠2+∠3＝180°得：
7x+2x+x＝180°，
解得x＝18°，
故∠1＝7×18°＝126°，∠2＝2×18°＝36°，∠3＝1×18°＝18°，
∴∠DCA＝∠E＝∠3＝18°，∠2＝∠EBA＝∠D＝36°，
∴∠EBC＝72°，∠DCB＝36°，
∴∠α＝∠EBC+∠DCB＝108°，
故选：B．
7．（3分）如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
【分析】根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB＝，然后即可确定C点的位置．
【解答】解：如图，AB＝＝，
∴当△ABC为等腰三角形，则点C的个数有8个，
故选：C．
8．（3分）如图，已知AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，下列结论：①△EBM≌△DCM；②∠EMB＝∠FAG；③MA平分∠EMD；④若点E是AB的中点，则BM+AC＞EM+BD；⑤如果S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点；其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①先证明△ABD≌△ACE得出∠B＝∠C，即可证明△EBM≌△DCM，即可判断①；
②根据垂直的定义和四边形的内角和可得结论，即可判断②；
③证明△AEM≌△ADM，得∠AME＝∠AMD，即可判断③；
④如图，延长CE至N，使EN＝EM，连接AN，BN，证明△AEN≌△BEM（SAS），得AN＝BM，根据三角形三边关系可判断④；
⑤根据面积相等可知：S△ADM＝S△CDM，由同高可知底边AD＝CD，从而判断⑤．
【解答】解：①在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，AE＝AD，
∴AB﹣AE＝AC﹣AD，
即BE＝CD，
在△EBM和△DCM中，
，
∴△EBM≌△DCM（AAS），
故①正确；
②∵AF⊥CE，AG⊥BD，
∴∠AFM＝∠AGM＝90°，
∴∠FAG+∠FMG＝180°，
∵∠FMG+∠EMB＝180°，
∴∠EMB＝∠FAG，
故②正确；
③由①知：△EBM≌△DCM，
∴EM＝DM，
在△AEM和△ADM中，
，
∴△AEM≌△ADM（SSS），
∴∠AME＝∠AMD，
∴MA平分∠EMD；
故③正确；
④如图，延长CE至N，使EN＝EM，连接AN，BN，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEN和△BEM中，
，
∴△AEN≌△BEM（SAS），
∴AN＝BM，
由①知：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
△ACN中，AC+AN＞CN，
∴BM+AC＞BD+EM，
故④正确；
⑤∵S△BEM＝S△ADM，S△EBM＝S△DCM，
∴S△ADM＝S△CDM，
∴AD＝CD＝AC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AE＝AB，
∴E是AB的中点；
故⑤正确；
本题正确的有5个；
故选：D．
二、填空题（本大題共10小题，共20分）
9．（2分）小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 15：01 ．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与10：21成轴对称，所以此时实际时刻为15：01，
故答案为：15：01．
10．（2分）角是轴对称图形， 角平分线所在的直线 是它的对称轴．
【分析】根据角的对称性解答．
【解答】解：角的对称轴是“角平分线所在的直线”．
故答案为：角平分线所在的直线．
11．（2分）如图，CD＝CB，那么添加条件 ∠DCA＝∠BCA 能根据SAS判定△ABC≌△ADC．
【分析】CD＝CB，公共边AC＝AC，要利用SAS判定△ABC≌△ADC，需加条件∠DCA＝∠BCA．
【解答】解：添加条件：∠DCA＝∠BCA，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案为：∠DCA＝∠BCA
12．（2分）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 5 种．
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，3处，7处，6处，5处，选择的位置共有5处．
故答案为：5．
13．（2分）如图，若△ABC≌△DEF，AF＝2，FD＝8，则FC的长度是 6 ．
【分析】根据全等三角形的对应边相等解答即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，AF＝2，FD＝8，
∴AC＝FD＝8，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6，
故答案为：6．
14．（2分）如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 10 ．
【分析】根据垂直平分线性质得出AD＝BD，求出△BDC的周长等于BC+AC，代入求出即可．
【解答】解：∵边AB的垂直平分线交AC于点D，AC＝6，BC＝4，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝4+6＝10．
故答案为：10．
15．（2分）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 12 ．
【分析】先由AB∥CD，证明∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABF≌△DEF，再由S阴影＝S四边形ACEF+S△ABF＝S四边形ACEF+S△DEF＝S△ACD，求出图中阴影部分的面积即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠FED，∠FAB＝∠D，
在△ABF和△DEF中，
，
∴△ABF≌△DEF（ASA），
∴S△ABF＝S△DEF，
∵∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，
∴S阴影＝S四边形ACEF+S△ABF＝S四边形ACEF+S△DEF＝S△ACD＝×4×6＝12，
∴图中阴影部分的面积为12，
故答案为：12．
16．（2分）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠BCD的大小是 115 °．
【分析】根据两边分别相等证明平行四边形，推AB∥CD，得∠B+∠BCD＝180°，∠BCD＝115°
【解答】解：由题意可知：AB＝CD．BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝115°．
17．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，S△ABC＝12，BC＝3，点D为边BC的中点，AC的垂直平分线EF分别交边AB，AC于点E，F．点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 9.5 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×3×AD＝12，
解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝8+×3＝6+4＝9.5．
故答案为：9.5．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．
下列结论中正确的是 ②③④ ．（填序号）
①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．
【分析】延长EB至G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EDA，且AE＝AG，利用SAS证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以②是正确的，通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为CD∥AB，所以∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE＝90°，故③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故①是错误的．
【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥GE，
∴AB垂直平分GE，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠GAE，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠GAE＝∠CAD，
∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠GAC＝∠EAD，
在△GAC与△EAD中，
，
∴△GAC≌△EAD（SAS），
∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，
∴②是正确的；
∵AG＝AE，
∴∠G＝∠AEG＝∠AED，
∴AE平分∠BED，
当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，
当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，
∴①是不正确的；
设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，
∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣2x）＝90°﹣x，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，
∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，
∴AE⊥AD，
∴③是正确的；
∵△GAC≌△EAD，
∴CG＝DE，
∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，
∴DE＝CE+2BE，
∴④是正确的，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大題共9小题，共76分）
19．（6分）如图，已知△ABC≌△DEF，且∠A＝75°，∠B＝35°，ED＝10cm，求∠F的度数与AB的长．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB＝DE，∠F＝∠ACB，即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠B＝35°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵△ABC≌△DEF，ED＝10cm，
∴∠F＝∠ACB＝70°，DE＝AB＝10（cm）．
20．（6分）如图，已知点A、E、F、C在同一直线上，∠A＝∠C，AE＝CF，AD＝CB．求证：BE∥DF．
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得∠DFE＝∠BEF，可得结论．
【解答】证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠DFE＝∠BEF，
∴EB∥DF．
21．（6分）已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E．求证：BC＝ED．
【分析】由∠1＝∠2可得：∠EAD＝∠BAC，再有条件AB＝AE，∠B＝∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC＝ED．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，
即：∠EAD＝∠BAC，
在△EAD和△BAC中，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC＝ED．
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E＝ 45° ．
【分析】（1）将点A、B、C分别右移2个单位、下移2个单位得到其对应点，顺次连接即可得；
（2）分别作出点D、E、F关于直线l的对称点，顺次连接即可得；
（3）连接A′F′，利用勾股定理逆定理证△A′C′F′为等腰直角三角形即可得．
【解答】解：（1）△A′B′C′即为所求；
（2）△D′E′F′即为所求；
（3）如图，连接A′F′，
∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，
∴∠C+∠E＝∠A′C′B′+∠D′E′F′＝∠A′C′F′，
∵A′C′＝＝、A′F′＝＝，C′F′＝＝，
∴A′C′2+A′F′2＝5+5＝10＝C′F′2，
∴△A′C′F′为等腰直角三角形，
∴∠C+∠E＝∠A′C′F′＝45°，
故答案为：45°．
23．（8分）尺规作图（需保留作图痕迹）
（1）已知△ABC，将△ABC沿直线AD折叠，使得边AC落在边AB上，作折痕AD．
（2）已知∠MON，点A在其内部，在ON上作一点P，使得点P到点A的距离与点P到射线OM的距离之和最短．
【分析】（1）作∠BAC的平分线AD即可；
（2）根据轴对称的性质以及垂线段最短可知：作点A关于ON的对称点A1，过A1作OM的垂线交ON即为点P．
【解答】解（1）如图所示，作∠BAC的平分线AD即可，
（2）如图所示，作点A关于ON的对称点A1，过A1作OM的垂线交ON即为点P．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E．
（1）若AC＝12，BC＝15，求△ABD的周长；
（2）若∠B＝20°，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质求出AD＝DC，求出△ABD周长＝AB+BC即可；
（2）根据等腰三角形性质求出∠C，∠DAC，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD＝DC，
∵AB＝AC＝12，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC＝12+15＝27；
（2）∵AB＝AC，∠B＝20°，
∴∠C＝∠B＝20°，
∴∠BAC＝180°﹣20°﹣20°＝140°，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝140°﹣20°＝120°．
25．（10分）如图，C为线段AB上一点，AD∥EB，AD＝BC，∠ADC＝∠BCE，CF平分∠DCE．
求证：（1）△ACD≌△BEC；
（2）问：CF与DE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠A＝∠B，利用ASA定理证明△ACD≌△BEC；
（2）根据全等三角形的性质得到CD＝CE，根据等腰三角形的三线合一证明即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥EB，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BEC（ASA）；
（2）解：CF⊥DE，
理由如下：由（1）可知：△ACD≌△BEC，
∴CD＝CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
26．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变 小 （填“大”或“小”）；
（2）当DC＝ AD 时，△ABD≌△DCE；
（3）在点D的运动过程中，若△ADE是等腰三角形，求∠BDA的度数．
【分析】（1）由∠B＝∠C＝∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，得∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝25°，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝115°，点D从B向C运动，则∠DAC逐渐变小，所以∠DAC+∠C也逐渐变小，因而∠BDA逐渐变小，于是得到问题的答案；
（2）当DC＝AD时，由∠BAD＝140°﹣∠ADB，∠CDE＝140°﹣∠ADB，所以∠BAD＝∠CDE，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△BAD≌△CDE，于是得到问题的答案；
（3）分三种情况讨论，一是AD＝ED，则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，∠DAE＝（180°﹣∠ADE）＝70°，所以∠BAD＝30°，∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝110°；二是AE＝DE，则∠CAD＝∠ADE＝40°，所以∠BDA＝∠CAD+∠C＝80°；三是AD＝AE，可推导出AD与AB重合，则点D与点B重合，不符合题意．
【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝25°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝115°，
∵点D从B向C运动，
∴∠DAC逐渐变小，
∴∠DAC+∠C也逐渐变小，
∵∠BDA＝∠DAC+∠C，
∴∠BDA逐渐变小，
故答案为：25，115，小．
（2）当DC＝AD时，
∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝140°﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝140°﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
在△BAD和△CDE中，
，
∴△BAD≌△CDE（AAS），
故答案为：AD.
（3）当AD＝ED时，如图1，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，∠DAE＝（180°﹣∠ADE）＝70°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝110°；
当AE＝DE时，如图2，
∵∠CAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠CAD+∠C＝80°；
若AD＝AE，则∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝100°＝∠BAC，
∴AD与AB重合，点D与点B重合，不符合题意，
综上所述，∠BDA的度数是110°或80°．
27．（12分）（1）如图：已知D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连接AD，△ADE是等腰直角三角形，DE为斜边，连接CE，求∠ECD的度数．
（2）当（1）中△ABC、△ADE都改为等边三角形，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，试说明理由，并求出此时∠EDC的度数．
（3）在（2）的条件下，当点D运动到使△DCE的周长最小时，点M是此时射线AD上的一个动点，以CM为边，在直线CM的下方画等边三角形CMN，若△ABC的边长为4，请直接写出DN长度的最小值．
【分析】（1）由等腰直角△ABC、△ADE易证△ABD≌△ACD，即可得出∠ECA＝∠B＝45°，进而求出∠ECD＝90°，
（2）证明△BAD≌CAE（SAS），推出BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°推出CD+EC＝CD+BD＝BC，∠ECD＝60°+60°＝120°，由△ECD的周长＝DE+CD+CE＝DE+BC，BC为定值，推出DE定值最小时，△DCE得到周长最小，根据此线段最短即可解决问题．
（3）如图3中，取AC的中点H，连接DH，则△DCH是等边三角形．作HK⊥AD于K．证明△HCM≌△DCN（SAS），推出DN＝HM，推出HM定值最小时，DN的值最小，当HM与KH重合时，HM的值最小．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，
∴△BAD≌CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠ECD＝45°+45°＝90°．
（2）如图2中，
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝60°，
∴△BAD≌CAE（SAS），
∴BD＝EC，∠ACE＝∠B＝60°
∴CD+EC＝CD+BD＝BC，∠ECD＝60°+60°＝120°，
∵△ECD的周长＝DE+CD+CE＝DE+BC，
∵BC为定值，
∴DE定值最小时，△DCE得到周长最小，
∵DE＝AD，
∴AD⊥BC时，AD定值最小，此时BD＝CD＝CE，
∴∠EDC＝（180°﹣120°）＝30°，
∴当点D运动到BC的中点时，△DEC是周长最小，此时∠EDC＝30°．
（3）如图3中，取AC的中点H，连接DH，则△DCH是等边三角形．作HK⊥AD于K．
∵CH＝CD，CM＝CN，∠DCH＝∠MCN，
∴∠HCM＝∠DCN，
∴△HCM≌△DCN（SAS），
∴DN＝HM，
∴HM定值最小时，DN的值最小，
当HM与KH重合时，HM的值最小，最小值HK＝AH•sin30°＝1，
∴DN的长度的最小值为1．
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