广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2022-2023学年高二上学期第一次统测数学试题（含答案）

这是一份广东省佛山市南海区狮山石门高级中学2022-2023学年高二上学期第一次统测数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
石门高级中学2022-2023学年度第一学期高二年级数学科
第一次统测试题
（全卷共6页，供高二1-19班使用）命题人：郑兆圣 成绩______
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.在有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
2.如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（ ）

A. B. C. D.1
3.某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表，假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.
办理业务所需要的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
则在某一天，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为（ ）
A.0.04 B.0.08 C.0.17 D.0.26
4.如图，在正方形内作内切圆，将正方形、圆绕对角线旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为，，则（ ）

A. B. C. D.
5.中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键，为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是（ ）

A.芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B.芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多
6.如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论正确的是（ ）

A. B.平面平面
C.直线平面 D.
7.电路从到上共连接了6个开关，每个开关闭合的概率为.若每个开关是否闭合相互之间没有影响，则从到连通的概率是（ ）

A. B. C. D.
8.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是（ ）
A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1
B.已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5
C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23
D.若样本数据，，…，的标准差为8，则数据，，…，的标准差为16
10.如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ）

A. B.
C. D.
11.某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况（该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主），随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据（单位：千克）统计如下：

“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾的总投放质量/千克
400
100
100
可回收物的总投放质量/千克
30
240
30
其他垃圾的总投放质量/千克
20
20
60
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（ ）
A.厨余垃圾投放正确的概率为
B.居民生活垃圾投放错误的概率为
C.该小区这三类垃圾中，其他垃圾投放正确的概率最低.
D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差是20000.
12.下列说法正确的有（ ）
A.若一个圆台的上、下底面半径分别为，，则其内切球的表面积为
B.正方体的棱长为1，，，分别为棱，，的中点，经过，，三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为
C.已知边长为1的菱形中，，则用斜二测画法画出的这个菱形水平放置时的直观图的面积为
D.正三棱锥的所有棱长均为2，其内切球体积为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%，现部门通过设计模拟实验的方法研究三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，其余6个数字表示不下雨，产生了20组随机数：
907
966
191
925
271
932
812
458
569
683
431
257
393
027
556
488
730
113
537
989
则这三天中恰有两天降雨的概率约为______.
14.若在两个成语中，一个成语的末字恰是另一成语的首字，则称这两个成语有顶真关系现从分别贴有成语“人定胜天”、“争先恐后”、“一马当先”、“天马行空”、“先发制人”的5张大小形状完全相同卡片中，任意抽取2张，则这2张卡片上的成语有顶真关系的概率为______.
15.正方体的棱长为1，点在线段上，且.点在平面上，且平面，则线段的长为______
16.如图，在矩形中，，为的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中，给出以下四个结论：

①与平面垂直的直线必与直线垂直；
②线段的长为；
③异面直线与所成角的正切值为；
④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是.
其中正确结论的序号是______.（请写出所有正确结论的序号）
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10.0分）
为了估计某校的一次数学考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在上，将这些成绩分成六段，，…，，后得到如图所示部分频率分布直方图.
（1）求抽出的60名学生中分数在内的人数；
（2）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校优秀人数；
（3）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数.

18.（本小题12.0分）
如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且，，设，，.
（1）试用，，表示向量；
（2）若，，，求的长

19.（本小题12.0分）
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试，在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，或5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫要参加科目二考试的原则为：通过科目二考试成者用完所有机会为止
（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率
20.（本小题12.0分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面
（1）证明：平面平面；
（2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积

21.（本小题12.0分）
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.

（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽2名作为组长，求甲，乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
22.（本小题12.0分）
已知梯形中，，，，、分别是、上的点，，，是的中点。沿将梯形翻折，使平面平面.

（1）当，求证：；
（2）若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值
（3）当取得最大值时，求二面角余弦值。


石门高级中学2022-2023学年度第一学期高二年级数学科第一次统测
试题答案和解析
【答案】
1.C 3.C 4.D 5.C 6.D 8.B
9.ACD 10.BD 11.ACD 12.AC
13. 14. 15. 16.①②④
17.解：（1）在频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，频率的和等于1，
成绩在内的频率
人数为人；
（2）估计该校的优秀人数为不小于85分的频率再乘以样本总量600，
即人；
（3）分数在内的频率为0.25，
∵分数在内的频率为，
∴中位数在内，
∵中位数要平分方图的面积，
∴中位数为
18.解：（1）

∴
（2）

∴，
即
19.解：（1）设这对夫囊中，“丈夫在科目二考试中第次通过”记为事件
“妻子在科目二考试中第次通过”为事件，
则，.
设事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”
事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”
事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”
则，


因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；
（2）设事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”
事件“妻子参加科目二考试需交补考带200元”
事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”
则，
，

因此，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补费用之和为200元的概率为
20.（1）证明：取的中点，连结，

因为为等边三角形，所
又因为平面，平面平面，平面平面.
所以平面，
因为平面，所以，
因为底面为正方形，所以
因为，，平面
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面
（2）解：由（1）得平面，所以到平面的距离，
因为底面为正方形，所以
又因为平面，平面，
所以平面
所以，两点到平面的距离相等，均为，
又为线段的中点，
所以到平面的距离
由（1）知，平面，因为平面，
所以，
所以
21.解：（1）设这人的平均年龄为，
则（岁）
设第80百分位数为，
由，解得
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙.
对应的样本空间为：，共15个样本点.
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点，
所以
（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为
则：

因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
22.
证明：（1）∵平面平面，，，
∴
又平面平面，平面，
∴平面，
又，平面，∴，，
又，故可如图建立空间坐标系，

∵，∴，
又∵为的中点，，∴
则，，，，，
∴，，则
∴
（2）∵平面，
所以
，
即时有最大值为.
（3）设平面的法向量为
∵，，，，
∴，
则，即，，
取，，，
∴，
∵面，
∴面的一个法向量为，
则，
由于所求二面的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为
【解析】
1.解：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次分析各项即可。
A、可以同时发生，如：两个都是黑球，则这两个事件不是互斥事件，故本选项错误；
B、可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故本选项错误；
C、不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，则两个事件是互斥事件但不是对立事件，故本选项正确；
D、不能同时发生，但一定会有一个发生，则这两个事件是对立事件，故本选项错误；
故选C
2.解：
，
所以，，，则，
故选B
3.解：设表示居民办理业务所需的时间，用频率估计概率，如下：

1
2
3
4
5

0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
设表示事件“第三个居民恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件对应三种情形：
①第一个居民办理业务所需时间为1分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为3分钟；
②第一个居民办理业务所需的时间为3分钟，且第二个居民办理业务所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个居民办理业务所需的时间均为2分钟
所以.
故选C.
4.解：设，则正方形旋转后得到两个底面半径为1，高为1的圆锥形成的组合体，
故，圆绕对角线旋转一周得到一个半径为的球，
故，.
故选D
5.解：对于选项A，芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的55%，故选项A正确；
对于选项B，芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的，故选项B正确；
对于选项C，芯片、软件行业中从事技术岗位的“90后”占总人数的，“80后”占总人数的40%，但从事技术岗位的“80后”占总人数的百分比不知道，故无法确定二者人数多少，故选项C错误；
对于选项D，芯片、软件行业中从事市场岗位的“90后”占总人数的，“80前”占总人数的5%，故选项D正确，综上，选项C符合题意，
故选C.
6.解：若，由于，，，平面，
则平面，平面，则，但与成60°角，A项错误；
因为平面与平面垂直，所以平面一定不与平面垂直，B项错误；
与是相交直线，所以一定不与平面平行，C项错误；
因为平面，直线与平面所成角为，
连接，则，，所以，
又因为，
所以在中，，
所以，
则，D项正确.
故选D
7.解：∵电路从到上共连接着6个开关（如图），每个开关闭合的概率为，则断路的概率为，
整个电路的连通与否取决于开关是否断路，
则从到连通的概率是

故选C
8.解：如图，所在圆即为的外接圆.
设圆的半径为，则，解得.
因为为等边三角形，所以，，
由正弦定理可得，解得
所以
如图，当，，三点共线时，三棱锥的体积最大，最大值为，
此时平面，
三棱锥的高最大，且有，
解得
在中，，
解得
则
故选B

9.解：A.根据题意，简单随机抽样中每个个体被抽到的概率是相等的，
若在含有50个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率为，故A正确；
B.由平均数的公式得：，解得，
∴方差，故B错误；
C.该组数据从小到大排列为：12，14，15，17，19，23，27，30，且，
所以第70百分位数是23；
D.已知样本数据，，…，的标准差为，
则，数据，，…，的方差为，
所以其标准差为
故选ACD.
10.解：，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项正确.
故选：BD.
11.解：厨余垃圾投放正确的概率为，所以A正确；
居民生活垃圾投放错误的概率为，所以B不正确；
该市三类垃圾中投放正确的概率分别，，，，所以C正确，
厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别400，100，100，
∴平均数为200.
∴，D正确.
故选ACD.
12.解：对于A，∵圆台的上、下底面圆半径分别为，，且圆台有内切球，
∴圆台的母线长，
∴圆台的内切球的直径即为圆台的高，
故圆台的内切球的半径为，
∴球的表面积为，正确：

对于B，取中点，中点，中点，连结、、、、，
则，，，
且，
∴六边形是正六边形
∴过，，三点的平面截正方体所得截而为正六边形，
∴过，，三点的平面截正方体所得截面面积为：，错误：
对于C，菱形中，，，

则菱形的面积为；
所以用斜二测面法画出这个菱形的直观图面积，正确
对于D，设内切球半径为，
正三棱锥的所有棱长均为2，则高为，
由等体积法得，，
解得，
则内切球的体积为，错误.
故选AC.
13.解：在20组随机数中，表示三天中恰有两天降雨随机数有：
191，271，932，812，393，共5个，
∴这三天中恰有两天降雨的概率约为
故答案为：
14.解：从这5张卡片中随机抽取2张，共有：（人定胜天，争先恐后），（人定胜天，一马当先），（人定胜天，天马行空），（人定胜天，先发制人），（争先恐后，一马当先），（争先恐后，天马行空），（争先恐后，先发制人），（一马当先，天马行空），（一马当先，先发制人），（天马行空，先发制人）共10种，
其中有顶真关系的为：（人定胜天，天马行空），（一马当先，先发制人），（先发制人，人定胜天），共有3种情况，
故所求概率为，故答案为.
15.解：在正方体中，
以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，
因为点在线段上，且，则，
设
故，，，
因为平面，
所以，
解得，
故，
所以，
所以.
故答案为.
16.解：取的中点，的中点，连接，，，，

则，，
又，
则，，则四边形为平行四边形.
故
又平面，平面，
故平面，
则与平面垂直的直线必与直线垂直，故①正确
，故②正确；
即为异面直线与所成的角（或其补角），
，故③错误；
当平面平面时，三棱锥的体积最大，
∵，取中点，则
∵平面平面，平面，
则平面，平面
则，计算得，
则
此时，显然为三棱锥外接球球心，
且，三棱锥外接球表面积是，故④正确.
其中正确结论的序号是①②④.
故答案为①②④