高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合练习题

第六章计数原理

6.2　排列与组合

6.2.1　排列　6.2.2　排列数

课后篇巩固提升

基础达标练

1.等于(　　)

A.12 B.24 C.30 D.36

解析=36.

答案D

2.(2020山东济南高三月考)6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有(　　)

A.24种 B.36种 C.48种 D.60种

解析第1步,甲、乙两本书必须摆放在两端,有种不同的摆放方法;

第2步,丙、丁两本书视为整体与其他两本共三本,有种不同的摆放方法.

根据分步乘法计数原理,共有=24(种)不同的摆放方法,故选A.

答案A

3.已知=10,则n的值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

解析由=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得n=5.

答案B

4.将4名司机、4名售票员要分配到4辆汽车上,每辆汽车上有一名司机和一名售票员,则可能的分配方法有              (　　)

A.种 B.种 C.种 D.2种

解析司机、售票员各有种安排方法,由分步乘法计数原理知共有种不同的安排方法.

答案C

5.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有(　　)

A.504种 B.960种

C.1 008种 D.1 108种

解析甲、乙相邻的所有方案有=1 440(种).其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案有=240(种);

满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案有=240(种);

满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班,丁在10月7日值班的方案有=48(种).

故符合题设要求的不同安排方案有1 440-2×240+48=1 008(种),故选C.

答案C

6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除,且无重复数字的不同的五位数有(　　)

A.(2)个 B.(2)个

C.2个 D.5个

解析能被5整除,则个位需为5或0,有2个,但其中个位是5的含有0在首位的排法有个,故共有(2)个.

答案A

7.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不同排法　　　　种. 

解析(方法一)若第一节排数学,共有=6(种)排法;

若第一节不排数学,第一节有2种排法,最后一节有2种排法,中间两节任意排,有2×2×2=8(种)排法.

根据分类加法计数原理,共有6+8=14(种)排法,故答案为14.

(方法二　间接法)4节课全部可能的排法有=24(种),其中体育排第一节的有=6(种),数学排最后一节的有=6(种),体育排第一节且数学排最后一节的有=2(种),故符合要求的排法有-2×=14(种).

答案14

8.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.

(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案?

(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?

解(1)先排正、副班长,有种方案,再安排其余职务有种方案,由分步乘法计数原理,知共有=720(种)不同的分工方案.

(2)7人中任意分工,有种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有=3 600(种).

9.把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.

(1)43 251是这个数列的第几项?

(2)这个数列的第96项是多少?

(3)求这个数列的各项和.

解(1)先考虑大于43 251的数,分为以下三类:

第1类,以5开头的有=24(个);

第2类,以45开头的有=6(个);

第3类,以435开头的有=2(个).

故不大于43 251的五位数有-()=88(个),即43 251是第88项.

(2)数列共有=120(项),96项以后还有120-96=24(项),即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项,即为45 321.

(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有个五位数,所以万位上数字的和为(1+2+3+4+5)··10 000,同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个五位数,所以这个数列的各项和为(1+2+3+4+5)··(1+10+100+1 000+10 000)=15×24×11 111=3 999 960.

能力提升练

1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有              (　　)

A.120个 B.80个 C.40个 D.20个

解析当十位是3时,个位与百位从1,2中选,有种选法;

当十位是4时,个位与百位从1,2,3中选,有种选法;

当十位是5时,个位与百位从1,2,3,4中选,有种选法;

当十位是6时,个位与百位从1,2,3,4,5中选,有种选法.

故伞数有=2+6+12+20=40(个).

答案C

2.(多选)(2020山东临淄英才中学高二期中)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排,下列说法正确的是(　　)

A.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法有24种

B.最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有54种

C.甲、乙不相邻的排法种数为72种

D.甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

解析甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,可将甲、乙捆绑看成一个元素,则不同的排法有=24(种),故A正确;

最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有=42(种),故B不正确;

甲、乙不相邻的排法种数为=72(种),故C正确;

甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有=20(种),故D正确.

故选ACD.

答案ACD

3.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数,其中个位数字小于十位数字的六位数共有(　　)

A.300个 B.464个 C.600个 D.720个

解析(方法一)确定最高位有种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的5个数字中取3个排列,共有种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可,由分步乘法计数原理知,共有=300(个).

(方法二)由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数字的应各占一半,故有=300(个).

答案A

4.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是(　　)

A.1 205秒 B.1 200秒 C.1 195秒 D.1 190秒

解析由题意每次闪烁共5秒,所有不同的闪烁为个,相邻两个闪烁的时间间隔为5秒,因此需要的时间至少是5×+(-1)×5=1 195(秒).

答案C

5.3个人坐在有8个座位的一排上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为　　　. 

解析先排好5个空座位,再让3个人带着座位插到中间4个空中去,所以共有=24(种)坐法.

答案24

6.(2020天津高三月考)某老师一天上3个班级的课,每班一节,如果一天共9节课,且老师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有　　　种. 

解析从9节课中任意安排3节共有=504(种),

其中前5节课连排3节共有3=18(种);后4节课连排3节共有2=12(种).

故老师一天课表的所有排法共有504-18-12=474(种).

答案474

7.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中有2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种?

(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;

(2)2个唱歌节目互不相邻;

(3)2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.

解(1)先排唱歌节目有种排法,再排其他节目有种排法,所以共有=1 440(种)排法.

(2)先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目,有种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有种插入方法,所以共有=30 240(种)排法.

(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共有种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有种插入方法,最后将2个唱歌节目互换位置,有种排法,故所求排法共有=2 880(种)排法.

素养培优练

从数字0,1,3,5,7中取出三个不同的数作系数,可以组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个?

解先考虑组成一元二次方程的问题:

首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个,有种,然后从余下的4个数中任选两个作b,c,有种,

所以由分步乘法计数原理知,可以组成一元二次方程=48(个).

方程要有实根,必须满足Δ=b2-4ac≥0.

分类讨论如下:

当c=0时,a,b可在1,3,5,7中任取两个进行排列,有个.

当c≠0时,分析根的判别式知,b只能取5,7.当b取5时,a,c只能取1,3这两个数,有种;当b取7时,a,c可取1,3或1,5这两组数,有2种,此时共有(+2)个.

由分类加法计数原理知,有实根的一元二次方程共有+2=18(个).