高中数学选择性必修三 章末检测卷（一）

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章末检测卷(一)(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若A＝2A，则m的值为(　　)A．5    B．3  C．6   D．7解析　依题意得＝2·，化简得(m－3)·(m－4)＝2，解得m＝2或m＝5，又m≥5，∴m＝5，故选A.答案　A2．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是(　　)A．40   B．74  C．84   D．200解析　分三类：第一类，从前5个题目中选3个，后4个题目中选3个；第二类，从前5个题目中选4个，后4个题目中选2个；第三类，从前5个题目中选5个，后4个题目中选1个，由分类加法计数原理得共有不同选法的种数为CC＋CC＋CC＝74.答案　B3．若实数a＝2－，则a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　)A．32   B．－32  C．1 024   D．512解析　由二项式定理，得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝C(－2)0a10＋C(－2)1a9＋C(－2)2a8＋…＋C(－2)10＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32.答案　A4．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有(　　)A．A种   B．AA种C．CA种   D．CCA种解析　先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有CA种分配方案．答案　C5．(x＋2)2(1－x)5中x7的系数与常数项之差的绝对值为(　　)A．5   B．3  C．2   D．0解析　常数项为C·22·C＝4，x7的系数为C·C·(－1)5＝－1，因此x7的系数与常数项之差的绝对值为5.答案　A6．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数为(　　)A．AA   B．AAAC．CAA   D．AAA解析　先把每个品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有A种放法，再考虑4幅油画本身排放有A种方法，5幅国画本身排放有A种方法，故不同的排列法有AAA种．答案　D7．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为(　　)A．－   B．－  C．－   D．－1解析　令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，再令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.两式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，两式相减除以2可得a1＋a3＋a5＝－121.又由条件可知a5＝－1，故＝－.答案　B8．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的(　　)A．第9项   B．第10项C．第19项   D．第20项解析　∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是C＋C＋C＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20.故选D.答案　D二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列是组合问题的是(　　)A．10人相互通一次电话，共通多少次电话？B．10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？D．从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？解析　A是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．答案　ABC10．满足不等式A－n<7的n的值为(　　)A．3   B．4  C．5   D．6解析　由A－n＜7，得(n－1)(n－2)－n＜7，整理，得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又n－1≥2且n∈N*，即n≥3且n∈N*，所以n＝3或n＝4.答案　AB11．男、女学生共有8人，若从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，则女生有(　　)A．2   B．3  C．4   D．5解析　设男生有x人，则女生有(8－x)人．∵从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种不同的选法，∴C·C＝30，∴x(x－1)(8－x)＝30×2＝2×6×5，或x(x－1)(8－x)＝3×4×5.∴x＝6，8－6＝2，或x＝5，8－5＝3，∴女生有2人或3人．答案　AB12．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，则实数m＝(　　)A．－3   B．－1  C．1   D．3解析　令x＝1，由(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6可得，(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝64，所以1＋m＝2或1＋m＝－2，解得m＝1或m＝－3. 答案　AC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种．解析　分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A种种植方法；第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A种种植方法．由分步乘法计数原理得，不同的种植方法共有A·A＝240(种)．答案　24014．(1＋sin x)6的二项展开式中，二项式系数最大的一项为，则x在[0，2π]内的值为__________．解析　由题意，得T4＝Csin3x＝20sin3x＝，∴sin x＝.∵x∈[0，2π]，∴x＝或.答案　或15．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有__________种．解析　先把A，B放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C，D，若C，D在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；若C，D在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A或B的盒中，有2×2＝4(种)放法．故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．答案　3016．若二项式(2＋x)10按(2＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10的方式展开，则展开式中a8的值为__________，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝__________．(第一空3分，第二空2分)解析　由题意得，(2＋x)10＝(－2－x)10＝[－3＋(1－x)]10，所以展开式的第9项为T9＝C(－3)2(1－x)8＝405(1－x)8，即a8＝405.令x＝0，则a0＋a1＋…＋a10＝(2＋0)10＝1 024.答案　405　1 024四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{x||x－6|<3，x∈N*}．试问：(1)从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？(2)从A∪B中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？解　A＝{3，4，5，6，7}，B＝{4，5，6，7，8}．(1)A中元素作为横坐标，B中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)；B中元素作为横坐标，A中元素作为纵坐标，有5×5＝25(个)．又两集合中有4个相同元素，故有4×4＝16(个)重复了两次，所以共有25＋25－16＝34(个)不同的点．(2)A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，则这样的三位数共有C＝20(个)．18．(本小题满分12分)已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的倍，试求展开式中二项式系数最大的项．解　二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2k)x，由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的倍，∴解得n＝7.∴展开式中二项式系数最大的项是T4＝C(2)3＝280x或T5＝C(2)4＝560x2.19．(本小题满分12分)从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数．(1)A，B必须被选出；(2)至少有2名女生被选出；(3)让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．解　(1)除选出A，B外，从其他10个人中再选3人，选法数为C＝120.(2)按女生的选取情况分类：选2名女生、3名男生，选3名女生、2名男生，选4名女生、1名男生，选5名女生．所有选法数为CC＋CC＋CC＋C＝596.(3)选出1名男生担任体育委员，再选出1名女生担任文娱委员，从剩下的10人中任选3人担任其他3种职务．根据分步乘法计数原理，所有选法数为C·C·A＝25 200.20．(本小题满分12分)设＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，若a0，a1，a2成等差数列，(1)求展开式的中间项；(2)求展开式中所有含x的奇次幂项的系数和．解　(1)依题意a0＝1，a1＝，a2＝C.由2a1＝a0＋a2，得m＝1＋C，解得m＝8或m＝1(应舍去)，所以展开式的中间项是第5项，T5＝C＝x4.(2)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm，即＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8.令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝，所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝，所以展开式中所有含x的奇次幂项的系数和为.21．(本小题满分12分)把n个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数．(1)求1，2，3，4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；(2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数．解　(1)1，2，3，4的再生数的个数为A＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234.(2)需要考查5个数中相同数的个数．若5个数各不相同，有A＝120(个)；若有2个数相同，则有＝60(个)；若有3个数相同，则有＝20(个)；若有4个数相同，则有＝5(个)；若5个数全相同，则有1个．22．(本小题满分12分)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．解　(1)将所有的三位偶数分为两类：①若个位数为0，则共有A＝12(种)；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(种)．所以共有12＋18＝30(个)符合题意的三位偶数．(2)将这些“凹数”分为三类：①若十位数字为0，则共有A＝12(种)；②若十位数字为1，则共有A＝6(种)；③若十位数字为2，则共有A＝2(种)．所以共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”．(3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A·A＝12(种)；②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A·C·A＝8(种)；③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A·C·A＝8(种)．所以共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数.