最全数列综合讲义17讲

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最全数列综合讲义（17讲题型总结）
第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项............................
第2讲 已知前n项和求通项......................................
第3讲 构造辅助数列求通项......................................
第4讲 分组求和................................................
第5讲 裂项求和................................................
第6讲 倒序相加................................................
第7讲 等差绝对值求和..........................................
第8讲 错位相减求和............................................
第9讲 数列的通项与求和综合 ...................................
第10讲 数列单调性问题 ........................................
第11讲 数列的奇偶性问题......................................
第12讲 数列周期性问题 .......................................
第13讲 数列最值问题 .........................................
第14讲 数阵问题（数列群问题）................................
第15讲 创新型数列问题 .......................................
第16讲 存在性问题（整除问题） ...............................
第17讲 简单的数列与不等式证明 ...............................




第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项
题型1 累加法
1．已知数列满足，，若，则数列的通项　　．
【解析】，，
数列是等比数列，首项与公比都为2，
时，，则数列的通项
则数列的通项

2．若数列满足，且对于任意都有，则　　．
【解析】由，得，


则

3．已知数列满足，，且
（1）证明：数列是等比数列
（2）求数列的前项和
【解析】（1）证明：当且时，在两边同除以，
得，，为常数，且
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）设数列的前项和为
由（1）知，，，
又由，
所以

题型2 累乘法
1．已知数列满足，且，则　　
A． B． C． D．
【解析】数列满足，且
可得
可得
选

2．已知数列满足，且，则　　
A． B． C． D．
【解析】

，，
以上各式两边分别相乘得
由时也适合上式，所以
选

3．已知数列是首项为1的正项数列，且，若数列满足，且，则式子的值是　　
A． B． C． D．
【解析】根据题意，数列满足，变形可得
又由数列是首项为1的正项数列，则有，变形可得：
则有，则有，故
数列满足，即，则有
则有，故
则
设，则，①
则有，②
① ②可得：
变形可得：，选

4．设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则　　，　　．
【解析】，2，3，

又



，
故答案为：；
5．已知数列满足，，求通项公式．
【解析】，


．

6．已知数列满足，，求的通项公式．
【解析】数列满足，，
，


，当时也成立


题型3 差商法
1．已知数列中，，对所有，都有，则　　
A． B．3 C．9 D．
【解析】因为数列中，，对所有，都有，
所以时，，
时，，
所以．
选．

2．已知数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（Ⅲ）求证．
【解析】时，

时，
两式相减可得，

解：


两式相减可得，

证明：由可知，




3．已知数列满足．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）若求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）时，
（1）
时，．（2）
（1）（2）得即
又也适合上式，
（Ⅱ），（3）
（4）
（3）（4）可得



4．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，探求使恒成立的的最大整数值．
【解析】（1）当时，，
当时，，①
，②
①②得，，
；
，
（2）．，
，；
时，

；；
可化为：
；
即恒成立，
即恒成立，
故成立，
故的最大整数值为2．

5．已知数列满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，则求出的值；
（Ⅲ）已知是公比大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围
【解析】（Ⅰ）由题意，数列的前项和．
当时，有，所以．
当时，
．
所以，当时，；
又符合，时与的关系式，所以．
所以的值为3．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．
可令
因为
所以
所以的值为．
（Ⅲ）由，得．又，所以
所以，
因为是递减数列，所以，即．化简得
所以，恒成立
又是递减数列，所以的最大值为第一项
所以，即实数的取值范围是

6．已知数列满足，
（Ⅰ）求
（Ⅱ）求证：
【解析】（Ⅰ）由可得

所以当时，
因此，有，即
整理得
又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，求得
（Ⅱ）记，
故，
又，
所以．
综上可得：．

7．已知数列满足．
（1）求，和的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意得，
所以：，．解得：．
由，
所以，
相减得，
得，也满足上式．
所以的通项公式为．
（2）数列的通项公式为：
说以：该数列是以为首项，公差为的等差数列，
若对任意的正整数恒成立，
等价于当时，取得最大值，所以解得．
所以实数的取值范围是．
8．（1）设数列满足，，求数列的通项公式；
（2）已知等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式．
【解析】（1）由①，得
且②
①②得：，
验证时上式成立，
（2）设等比数列的公比为
由，，且，得，
解得：


第2讲 已知求
1．已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为　　
A． B．
C． D．
【解析】由，得，当时，
当时，
所以数列的通项公式为
选

2．已知为数列的前项和，，，那么　　
A． B． C． D．
【解析】时，，，可得：，化为
时，
数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为
那么
选

3．已知数列的前项和为，，，则数列的通项公式为　　
A． B． C． D．
【解析】因为数列的前项和为，，
当时，
把代入检验，只有答案成立，排除
当时，；排除
选
4．已知数列的前项和为，且，，，则的通项公式　　
A． B． C． D．
【解析】
①， ②
①②得：，整理得：

又，符合上式

选

5．已知各项均为正数的数列的前项和为，且，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
【解析】，
时，
化为：，
，即
时，，解得
数列为等差数列，首项为1，公差为1


对任意的，恒成立
，解得
实数的取值范围为，，选
6．已知数列满足：，，其中为的前项和．若对任意的均有恒成立，则的最大整数值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】当时，由条件
可得，整理得，化简得：
从而，故
由于：，所以：数列是以为首项，1为公差的等差数列
则：，整理得：
依题只须

则
故

选

7．已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式　　．设，则数列的前项和　　．
【解析】，
两式相减得：，即
又，，也符合上式，
又

8．已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式　　．
【解析】当时，①，②
②①得，即
故数列从第二项起为等比数列，又，则
当时，
故

9．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式　　
【解析】数列的的前项和为，且①
当时，②
①②得
所以
故（首项1符合通项）
故

10．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式　　．
【解析】
可得
当时，
则数列的通项公式
故答案为：
11．已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意的，均有，，成等差数列，则　　
【解析】各项均为正数的数列的前项和为
对任意，总有，，成等差数列，，
两式相减，得，
又，为正数，，，是公差为1的等差数列
当时，，得，或（舍


12．设各项均为正数的数列的前项和为满足，且，，恰好是等比数列的前三项．记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．
【解析】
时，，可得：，可得
，可得
数列是等差数列，公差为2，，解得
．，
等比数列的公比
数列的前项和
对任意的，不等式恒成立，
令，则，，时，
且，因此单调递减，
实数的取值范围是：
13．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足，则　　．
【解析】由题意知，，
当时，，
解得或（舍去），
当时，，①
，②，
① ②得，，
则，
所以，
因为数列各项均为正数，
所以，即，
则数列是以2为首项、公差的等差数列，
所以，

14．数列满足，其前项和为，则
（1）　50　；
（2）　 　．
【解析】（1），
，．
两式相减得．
则，，，，
；
（2）由（1）得，，，
．
当时，；
当时，．
由已知可得，．
，．
．
设，
则为首项为10，公差为16的等差数列．
．

15．已知数列的前项和，对任意，且恒成立，则实数的取值范围是　　．
【解析】由，得；
当时，
．
若为偶数，则，为正奇数）；
若为奇数，则，
为正偶数）．
函数为正奇数）为减函数，最大值为，
函数为正偶数）为增函数，最小值为．
若恒成立，
则，即．

16．设数列前项和，且，为常数列，则　　．
【解析】为常数列，
时，，
，．

17．已知数列中，，是数列的前项和，对任意，均有、、成等差数列，则数列的通项公式　　．
【解析】数列中，，是数列的前项和，
对任意，均有、、成等差数列，
当时，，．
，解得，
，，，，，
，，，．

18．设，函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数单调区间．
【解析】（1）当时，，函数的定义域为，且，
（1），过点的切线方程为，即为；
（2），
当时，，函数在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，故在递增，在递减．
综上，当时，函数的增区间为，当时，函数的增区间为，减区间为．

19．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）由得，
，
，数列是首项且公比的等比数列，
（2）证明：根据（1），，，
数列是等差数列，，


故原命题成立．

20．已知各项均为正数的数列的前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．证明：．
【解析】（1）各项均为正数的数列的前项和满足①．
当时，解得，
当时，②，
①②得：，（首项符合通项），
故．
证明：（2）由（1）得，
所以
21．已知数列的前项和为，．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，，数列的前项和为，是否存在，使得？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）当时，．
当时，；
当时，．
经检验，不符合上式，
故数列的通项公式．
（2）当时，；
当时，．
因为数列是等差数列，
所以，解得，
因为，．
则，
故
，
所以
．
令，整理得，所以，
故存在满足题意．

22．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的前项和和通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使得的最小正整数．
【解析】（1），①
，，②
①②两式相减得，
故，，
又，从而，
易得，
．
（2）由（1）得，
故．
由得，
又当时，单调递增，
故所求最小正整数为8．

23．已知数列各项均为正数，是数列的前项的和，对任意的都有．数列各项都是正整数，，，且数列，是等比数列．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求满足的最小正整数．
【解析】（1）当时，，即，，
由得
当时，由得，
所以两式相减得，
所以
由知，所以，
所以数列是首项，公差的等差数列
（2）由（1）得，
由，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以
又，
所以，即
（3）由，
所以
设，
则，
令得，
由得，所以（1）（2）（3）（4）
又因为，，，，，
所以当时，，
所以满足的最小正整数为5
24．已知数列各项均为正数，为其前项和，且对任意的，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的恒成立，求实数的最大值．
【解析】（1）对任意的，都有．
当时，，
化为，
又各项均为正数，
，
又，解得．
数列是等差数列，
．
（2）对任意的恒成立，则．
令，单调递增，时，．
，，
．
，
实数的最大值为．

25．已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意的，有．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）由已知得，
当时，；
，即，
当时，；
数列为等比数列，且公比；
又当时，，
即，；
．
（2），
；
的前项和．

26．已知各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意的，有．
（1）求常数的值；
（2）求数列的通项公式．
【解析】（1）各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意的，
有．
当时，，解得：；
（2）由于，则：①，
当时，②，
①②得：，
整理得：（常数），
故：数列是以1为首项，为公差的等差数列，则：，
整理得：．
第3讲 构造辅助数列求通项
1．已知数列满，则数列的通项公式为　　．
【解析】知数列满，则设，整理得，
所以（常数），则数列是以为首项，4为公比的等比数列．
所以，整理得（首项符合通项）．
故数列的通项公式：．

2．已知数列的首项，，则的通项　　．
【解析】由两边同除以可得，，即，
所以数列以1为首项，1为公差的等差数列所以，
所以．

3．数列中，，，则的通项公式为　　．
变式：已知数列中，，，则的通项公式为　 　．
【解析】由，得
，
，
数列构成以为首项，以为公比的等比数列，
则，
则，
故答案为：；
变式：由，，可知，
两边取对数，得，，
，数列构成以为首项，以3为公比的等比数列，
则，
，则．

4．已知数列满足，且，则　　．
【解析】由，可得：，
于是，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，
故，
．

5．已知数列满足，．
（1）若数列是等差数列，求通项公式；
（2）已知，求证数列是等比数列，并求通项公式．
【解析】（1）数列是等差数列，，，
设数列的公差为，则．
，即对成立，于是．
，且，解得．；
证明：（2），，．
，
数列是以3为首项，公比为2的等比数列．
．．
6．已知数列满足：，且．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）设，求证：．
【解析】（1），且，，．
，．
故可得是以位首项，以为公比的等比数列，，．
．
（2），，
．
（3），现用数学归纳法证明，．
当时，．
假设当时，，
当时，．
要证明 2 ，只需证明，
只要证，，
即证，即证．
而 显然成立， 时，，
综上得．
又当时，，所以
第4讲 分组求和
1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴
趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列，2，1，6，9，10，17，，设数
列的前项和为．
（1）请计算，，．并依此规律求数列的第项　　．
（2）　 　．（请用关于的多项式表示，其中
【解析】（1）由题意得，，，，，，，
计算：，，，
可归纳得数列满足的递推关系式为，
由，，
两式相减得．
可得．
（2）由
可得
，

由得：，，，，，


．
2．求数列的前项和：．
【解析】设
将其每一项拆开再重新组合得
当时，
当时，

3．数列中，，为抛物线与直线的交点，过作抛物线的切线交直线于点，记的纵坐标为．
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．（附
【解析】（Ⅰ），由易得，，
，，
故，经检验时也符合，
故的通项公式为．
对两边取导数，可得，
，处切线斜率为，切线方程为，
与的交点的纵坐标为，
故的通项公式为．
（Ⅱ）

．
4．已知数列满足，．
（1）求证：数列为等比数列：
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）由，
两边同除以得，
．
，，
，
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）有，，
．
令，，
，
．
则前项和．

5．已知正项数列的前三项分别为1，3，5，为数列的前项和，满足：，，．
（1）求，的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列满足，求数列的前项和．
（参考公式：
【解析】（1）正项数列的前三项分别为1，3，5，为数列的前项和，满足：，，．
分别令，2，可得：，，又，，，，．
，，化为：，解得，．
（2）由（1）可得：化为：．


，．
．
（3）由（2）可得：时，．
数列满足，即，
时，，解得．
当时，，
可得：，即．
数列的前项和．
，
，
时也成立）．

6．设等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项和．
参考公式：．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，知，即．
又由，得．
．
；
（2）由．



7．已知数列的前项和为，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．
参考公式：．
【解析】（1）数列的前项和为，
时，．时，．
．
（2）数列满足，，即．

．
（3）数列的前项和
．
8．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）数列满足，①
当时，，②
①②得：，
故，
当时，解得，首项符合通项，
故．
（2）由（1）得：，
所以

9．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）数列满足，①
当时，，②
①②得：，故，
当时，解得，首项符合通项，
故．
（2）设，
所以．
10．已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记，求．
【解析】（1），且．
，即，
数列是等差数列，首项为1，公差为1．
，
．
当时，．
当时也成立，
．
（2）时，
，

．

11．在数列中，，，．
（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的与前项和．
【解析】（1）证明：，，．
，
数列是等比数列，首项为4，公比为2．
．
（2）与前项和
12．单调递增数列满足．
（1）求，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1），①
当时，，解得，
当时，，②
①②并整理，得，
，解得或
又单调递增数列，故
是首项是1，公差为1的等差数列，

（2），


记③
④
由③④得，
，
，
，
，
．（13分）
13．已知数列和满足，若为等比数列，且，．
（1）求与；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）设数列的公比为
时，，，
时，，


（2）


（2）

第5讲 裂项求和
1．已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前20项的和为　　
A． B． C． D．
【解析】由及等差数列通项公式得，又，
，
，
，
数列的前20项的和为，选

2．已知数列的前项和满足，则数列的前10项的和为　　．
【解析】数列的前项和满足，
可得时，，
时，，上式对也成立，
故，，
，
则数列的前10项的和为．

3．数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则　　．
【解析】数列的各项均为正数，，，
，
，

，
，
，
，

由此猜想．
，若数列的前项和为5，


解得，
．

4．已知数列 中，，，且，3，4，．
（1）求、的值；
（2）设，试用表示并求 的通项公式；
（3）设，求数列的前项和．
【解析】（1）数列 中，，，
且，3，4，，
，
，
，
（2）当时，，
当时，，
故，
累乘得，
，，
（3）
，




5．已知等差数列的前项和为，且，，数列为等比数列，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和，并求使得恒成立的实数的取值范围．
【解析】（1）设等差数列的公差为，，，
，，
解得，．
．
设等比数列的公比为，，．
，，
解得，．
．
（2），
数列的前项和，
恒成立，化为，即，
解得：，或．

6．设等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，且，，，求证：的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，，，，，
解得，．
．
（2）证明：．
，，，
则：的前项和
，
根据，，，．
．
．

7．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的前项和和通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使得的最小正整数．
【解析】（1），①
，，②
①②两式相减得，
故，，
又，从而，
易得，
．
（2）由（1）得，
故．
由得，
又当时，单调递增，
故所求最小正整数为8．

8．已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，设数列的前项和为，若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由得，故，
，，
数列是首项为，公差为1的等差数列
，，
当时，，
又适合上式，
（Ⅱ）将代入，

，，
，（10分），
，，，

9．等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和．
【解析】设等比数列的公比为，，，成等差数列，，，
化为：，，解得．
又满足，，化为：，解得．
，．
，，
数列的前项和
，．

10．已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）数列满足，
当时，有，
因为，①
所以，②
①②可得：，
变形可得；
由于也满足上式，故．
（2）由（1）得，
则，
所以，
故．

11．已知数列前项和满足．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）解：时，，
当时，，，
，
当时，，，
，即，
即，
是以10为首项，以2为公比的等比数列，
．
（2）证明：，
，
，
，，
，即．

12．已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明：．
【解析】（1）证明：由题，两边同时除以，得，
又，
是首项为，公差为的等差数列，
，
；
（2）证明：由（1）得：．
，
，
，即．

13．已知是数列的前项和，并且，对任意正整数，；设，2，3，．
证明数列是等比数列，并求的通项公式
设的前项和，求
【解析】，
两式相减：，，
，
，是以2为公比的等比数列
，而，，



而


14．设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，，．
（1）求数列，的通项；
（2）若，数列的前项和，求证：．
【解析】（1）解：数列，其前项和

当时，
当时，上式也成立

为单调递增的等比数列，，

解得，或（舍

（2）证明：

是递增数列


15．设数列为等差数列，为单调递增的等比数列，且，，
（1）求的值及数列，的通项；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）由题意，得，
，，
所以，
设，，，，
得，解得或（舍去）
，
．
（2）


第6讲 倒序相加
1．已知函数，则的值为　　
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【解析】函数




选

2．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则　　
A． B．2017 C．4034 D．8068
【解析】用倒序相加法：
令①
则也有②
由，
，即有，
可得：，
于是由①②两式相加得，
所以．
选．

3．已知函数，正项等比数列满足且．则等于　　
A．1008 B． C． D．1009
【解析】．
函数，

．


．
选．

4．已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，且，则的值　　
A．恒为负数 B．恒为正数 C．恒为0 D．可正可负
【解析】函数是上的奇函数且是增函数数列，
，且当，； 当，．
数列是等差数列，，故．
再根据，．
同理可得，，，，
，
选．

5．已知函数，是公差不为0的等差数列，，则的值为　　
A．0 B．1 C．2 D．5
【解析】，可得
令
关于对称



为与轴的交点
因为关于对称，所以

选

6．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则　　
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
【解析】正数数列是公比不等于1的等比数列，且
可得，即
即有
，可得，即有
设
又
相加可得
解得
选

7．如果函数，那么的值为　0　．
【解析】，
，
（1）（2）（3）

8．已知函数，那么　1　，（1）（2）（3）　 　．
【解析】函数

（1）（2）（3）（1）

9．已知，数列为等比数列，，且，则　　．
【解析】

数列是等比数列

设①
②
①②得

选

10．设函数，数列是公差为2的等差数列，且满足，则　　．
【解析】函数，函数是增函数，则复合函数为常数）也是增函数，
设，
则为单调增函数，又数列是公差为2的等差数列，
则，
整理可得，
那么是的唯一零点，
而，
又，
所以函数是奇函数，
所以，
由是的唯一零点，所以，
可得．
故答案为：．

11．已如函数，，，则数列的通项公式为　　．
【解析】由于，
所以函数为奇函数，
故的图象关于对称，
由此得到，
所以
（1）

．
故答案为：．
12．任意实数，，定义，设函数，正项数列是公比大于0的等比数列，且，，则　　．
【解析】依题意有：，
正项数列是公比大于0的等比数列，且，
①当公比时，，，，，
，，，，
，．
所以数列的前2020项分别为：
，，，，，1，，，．
，
，
，
不成立；
②当公比满足时，，，，，
，，，，
，
．
所以数列的前2020项分别为：，，，，，1，，，．
，
所以
，
，
，
13．已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求的值．
【解析】（1）由题意得，解得，所以函数的定义域为
（2）因为在的定义域内恒有
所以为奇函数，即，所以

14．已知：，求（1）（1）（2）
【解析】，，，
（1）（1）（2）（1）（1）

15．已知函数．
（1）求（2）与，（3）与；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现与的关系吗？并证明你的发现；
（3）求（1）（2）（3）的值．
【解析】（1）（2），，（3），；
（2），
证明：；
（3）（1）（2）（3），
（1）（2）（3）
第7讲 等差绝对值求和
1．已知数列为等差数列，其前项和为，且，，数列
（1）求的通项公式
（2）求数列的前项和．
【解析】（1）数列为等差数列，其前项和为，
且，，设数列的首项为，公差为，
则：，解得：，，所以：．
（2）数列．
①当时，，
所以：．
②当时，，
所以：，

，

故：．

2．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求．
【解析】设的公差为，由题意，
即，
变形可得，
又由可得或（舍
；
由知当时，当时，
故当时，；
当时，
．
综合可得

3．在公差为的等差数列中，已知且．
（1）求，．
（2）若，求．
【解析】（1）在公差为的等差数列中且，
，整理可得，解得或，
当时，；
当时，；
（2）由（1）可得时，，
数列的前10项为正数，第11项为0，从第12项开始为负数，
当时，；
当时，




4．在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
（1）求，；
（2）若，求．
【解析】（1）公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
则：，解得：或，
①当时，．
②当时，．
（2）当时，．
①当时，，
所以：，
故：．
②当时，，
所以：，
，
，
．
故．

5．在公差为的等差数列中，已知，．
（1）求，；
（2）求．
【解析】（本小题满分10分）
解：（1）公差，数列的通项公式为．
（2）设数列的前项和为，当，
当时，，当时，，

，．
所以．

6．在公差为的等差数列中，已知，且，，成等比数列．
（1）求，；
（2）若，求
【解析】（1）由题意得，整理得．解得或．
当时，．
当时，．
所以或；
（2）设数列的前项和为，因为，由（1）得，．
则当时，．
当时，．
综上所述，．

第8讲 错位相减求和
1．已知为等比数列，，；为等差数列 的前 项和，，．
（1）求和 的通项公式；
（2）设数列 满足，求数列 的前 项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为，，；，解得．
．
设等差数列 的公差为，，．，解得．
．
（2）．
数列 的前 项和．
．
．
．

2．是等比数列，公比大于0，其前项和为是等差数列．已知，，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为；
（3）若则数列前项和
①求
②若对，任意，均有恒成立，求实数的取值范围
（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？
（5）将数列，项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，，求这个新数列前项和
（6）设，其中，求
（7）是否存在新数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．
（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？
【解析】（1）是等比数列，公比大于0，是等差数列，设公差为，
，，
，即，解得，
，，
，，即，，
解得，
．
（2），
当为奇数时，，
当为偶数时，．
数列的前项和为：





．
（3）①，
，
，
两式相减，得：

，
．
②由①可知若对任意，，均有恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
的最大值为，，
实数的取值范围是，．
（4）一般求数列最值的方法有：
单调法，图象法、基本不等式法、邻项比较法．
（5）数列的前项和为，数列的前项和为，
①当时，
．
②当时，
当时，，
当时，，
当时，也符合，
当时，，
③当时，
．
综上，．
（6），即，
，
，
设，前项和为，则：，
，
两式相减并化简，得：，
，
．
（7）设存在新数列，满足等式成立，
则，
当时，，
两式相减，得：
，
当时，，
当时，，
此时当时，也符合，
得到数列的通项公式为．
（8）数列求和的方法有公式法、错位相减法、裂项求和法、分组求和法，其本质还是看数列的通项公式．
3．已知公差的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式；
（3）令，，求数列的前项和．
【解析】（1）依题意，得，又，可得．
，即；
（2），
，
两式作差可得：．
又，
；
（3）当时，．
当时，．

．
令，
则，
两式作差得：．
．
则．

4．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求的值．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
，
，
，
，
又，，
，，
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
设，
，①
，②，
②①得：
，
．

5．设是公差大于零的等差数列，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设是以函数的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列的前项和．
【解析】（1）设数列的公差为，
则，解得或（舍，

（2），
其最小正周期为，故数列的首项为1，
公比，，（7分）
，
令，①，
两边都乘以2得，②
②①得，

故，

6．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列满足，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）求的值．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
等差数列的前项和为，且，，

解得，，
数列的通项公式．
等比数列满足，．
，，
，，
的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
令，
则，①
，②
①②，得：




，
．

7．已知在等差数列中，前7项和等于35，数列中，点，在直线上，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设，为数列的前项和，求并证明；．
【解析】（1）设数列的公差为，则由题意知：
得
（2）点．在直线上
①，②
①②得，
又当时，
数列是以为首项，为公比的等比数列
（3）由（2）知，，
③
④
③④得，

由③知的最小值是
（16分）

8．已知各项都为整数的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，
，，成等比数列，，
，，解得，，
又为整数，解得，，．
（2）证明：，
，
，
两式相减可得，
化简可得，．

9．已知等差数列的公差，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】（1），．
，是方程的两根，且，解得，．
，即，
．
（2）．
数列的前项和．

10．已知等差数列的公差，前项和为，是与的等比中项，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）由题意可得：，即，解得：．
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
．
．
．
两式作差可得：
．
．

11．已知数列是等差数列，其前项和为，数列是等比数列，且，，
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由，得，，．
由条件，得方程组，解得，所以，，．
（2）证明：由题意可得①
②
由①②，得，
．
第9讲 数列的通项与求和综合
1．已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，，，，，，，，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前28项的和　820　．
【解析】两集合中无公共项，的前28项由中的前7项及中的前21项构成．
所以．

2．已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，数列的前项和为，求证：．
【解析】（Ⅰ）解：由题意，当时，，解得，
当时，由，可得
，
两式相减，可得，
整理，得，
当时，也满足上式，
，．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），知
，


，
，
，即．
3．已知数列满足．
（1）求
（2）求数列的前项和
（3）已知是公比大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围
【解析】（1）数列满足．
当时，．
当时，，
，
，
故：（首项符合通项），
故：．
（2）由于，
所以：，
故：，
，
，

（3）已知是公比大于1的等比数列，且，，
所以：．
所以：．
，
由于是递减数列，
故：，
即：，
化简得：，
所以：恒成立，
由于：数列是递减数列，
所以当时，的最大项为，
所以：，
故的取值范围是：，．

4．（1）已知数列的前项和，求通项公式；
（2）在数列中，，，求数列的通项；
（3）在数列中，，前项和，求的通项公式．
（4）已知在每项均大于零的数列中，首项，且前项和满足，，求．
【解析】（1），
时，；
时，．
由时，，
．
（2），，
时，

．
时，也成立．
．
（3），前项和，
时，，
化为：，

，
．时也成立．
．
（4），，
，
数列是等差数列，首项为1，公差为2，
，
，
时，，
．

5．（1）在数列中，，，求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和，求数列的通项公式；
（3）已知数列满足，，求数列的通项公式；
（4）已知数列满足，且，求数列的通项公式．
【解析】（1），，变形为：，
数列是等比数列，公比为3，，即．
（2）由，可得：时，，
解得．时，，化为：，
数列是等比数列，公比为，通项公式．
（3）数列满足，，
时，；时，，
，时也成立．数列的通项公式．
（4）为奇数时，；
为偶数时，，，
变形为：，
数列是等比数列，首项为5，公比为2，
可得：，可得：，
．
．

6．已知为正项数列的前项和，并且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）已知数列满足，求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ）由题意，当时，
，
化简整理，得，
解得（舍去），或，
当时，由，可得
，①
则，②
①②，可得
，
化简整理，得
，
，
，即，
数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
，，
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得
，




．

7．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“型数列”．
（1）若数列为“型数列”，且，，，求实数的取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列为“型数列”，且其前项和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由．
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“型数列”， ，，当数列不是“型数列”时，试判断数列是否为“型数列”，并说明理由．
【解析】（1）由题意得，，，即，解得或．
实数的取值范围时，．
（2）假设存在等差数列为“型数列”，设公差为，则，由，可得：，由题意可得：对都成立，即都成立．，且，，与矛盾，因此不存在等差数列为“型数列”．
（3）设等比数列的公比为，则，且每一项均为正整数，且，
，．，即在数列中，“”为最小项．
同理在数列中，“”为最小项．由为“型数列”，可知只需，
即，又因为不是“型数列”，且“”为最小项，，即
，由数列的每一项均为正整数，可得，，或，，
①当，时，，则，令，则，令，则
，
为递增数列，
即，
即，
，所以，对任意的都有，
即数列为“型数列”．②当，时，，
则，显然，为递减数列，，
故数列不是“型数列”；
综上：当时，数列为“型数列”，
当时，数列不是“型数列”．

8．已知数列，，，且，．若是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列．
（Ⅰ）已知，，，试写出二阶等差数列的前五项；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：；
（Ⅲ）若的首项，且满足，判断是否为二阶等差数列．
【解析】（Ⅰ）数列，，，且，．
由于是一个非零常数列，则称是一阶等差数列，若是一个非零常数列，则称是二阶等差数列．
已知，，，所以：，，，，．
证明：（Ⅱ），，2，3，，
．
又，，2，3，，
．
解：（Ⅲ）不是二阶等差数列．理由如下：
数列满足
又，
由，
数列是首项为，公比为4的等比数列
．
，显然非常数列不是二阶等差数列．

9．在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若，求的值．
【解析】（1）设公差为的等差数列中，已知，．
所以，解得，
由于，所以．故．
（2）由于，
所以，
则，
整理得，解得．

10．设数列满足：，点均在直线上．
（1）证明数列等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）证明：点均在直线上，
，变形为：，
又．数列等比数列，首项与公比都为2．
，解得．
（2）解：，
．
数列的前项和，
，
相减可得：，
．

11．已知正项数列满足．若数列满足且
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：；
（3）求证：．
【解析】（1）解：


，
，
为首项为2，公比为2的等比数列
，
；
（2）证明：
①
②
②①可得

，时也成立


（3）由（2）知


，
当时，

原不等式成立．
12．已知正项数列的前项和为，且满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）正项数列的前项和为，且满足：，．①
整理得：，②
①②得：，
由于数列为正项数列，整理得（常数），
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列．所以，首项符合通项，
所以．
（2）由（1）得：．
所以．

13．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和；
（Ⅲ）若对于，恒成立，求范围．
【解析】（Ⅰ）等差数列的公差为2，
，，成等比数列，，解得，．
（Ⅱ）由于．
所以：
．
（Ⅲ）由于：，
故：；
或．
14．已知等比数列的前项和为，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1），
当时，；
当时，，即，
为等比数列，，则，，的通项公式为．
（2）由（1）得，
，①，②
①②得：，
．

15．已知等比数列的前项和为，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
【解析】（1）等比数列满足，当时，；
当时，．，
时也成立，，解得，；
（2）．
当为奇数时，；
当为偶数时，．
综上，．
16．已知等比数列的前项和为，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）等比数列的前项和为，且．
可得，时，，
可得，即，则，；
（2），
前项和，
设，
，
相减可得，
则，
可得．

17．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1），，成等差数列．，
当时，，当时，．
数列是等比数列，，则，解得，数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
，
数列的前项和．
18．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1），，成等差数列．，
当时，，
当时，．
数列是等比数列，
，则，解得，
数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
，
数列的前项和

第10讲 数列单调性问题
1．已知数列与满足，，在数列中，，设数列中的最小项是第项，则等于　　
A．30 B．28 C．26 D．24
【解析】数列与满足，，在数列中，，
叠加可得，
，
，最小，
选．

2．在数列中，，则此数列最大项的值是　　
A．103 B． C． D．108
【解析】对应的抛物线开口向下，对称轴为，
是整数，当时，数列取得最大值，此时最大项的值为，选

3．设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解析】函数，
数列满足，，且数列是递增数列
，解得：，
即：，选．
4．已知是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是　　．
【解析】对于任意的，恒成立，
，
是递增数列，，
又
当时，最小，
，．

5．已知数列是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是　　．
【解析】是递增数列，且对于任意的，都有成立，
数列是递增数列，对于任意，，
，化为：，恒成立．
数列单调递减，恒成立．

6．数列满足，对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围　　．
【解析】，，
两式相减得：，
对于任意的，都有恒成立，
对于任意的，都有恒成立，
对于任意的恒成立，
当时，；
当时，；
综上所述，实数的取值范围是：，．
7．数列满足．数列满足，则中的最大项的值是　　．
【解析】由，得，
取，求得；
由，得，
两式作差得，即，
又，
数列构成以为公比的等比数列，
则，
则，
当时，，当时，，当时，，
而当时，，
中的最大项的值是．

8．已知数列，，前项和满足，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由已知，且，
当时，，也适合，
当时，，且也适合，
．
（Ⅱ），设，
当为偶数时，，
，
当为奇数时，，且也适合．
综上得
（Ⅲ），使数列是单调递减数列，
则，对都成立，
则，
，
当或2时，，
．

9．已知数列中，为非零常数），其前项和满足：
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，求、的值；
（3）是否存在实数、，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由已知，得，，
则有，
，即，
，
两式相加得，，
即，
故数列是等差数列．
又，，．
（2）若，则，．
由，得，即，
．
是质数，，，
，解得，．
（3）由，得．
若，则，不合题意，舍去；
若，则．不等式成立的最大正整数解为，
，
即，对任意正整数都成立．
，解得，
此时，，解得．
故存在实数、满足条件，与的取值范围是，．

10．设数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列中的最大项的值．
【解析】（1），．
当时，
，
则，
，
．
当时也成立，
．
（2），
，
由于，
可得，2，3时，；当时，．
数列中的最大项为，可得．

11．已知是定义在实数集上的不恒为0的函数，对任意实数，有，当时，有．
（Ⅰ）求的值，并证明恒正；
（Ⅱ）判断在实数集上单调性；
（Ⅲ）设为数列的前项和，，为正整数）．令，问数列中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．
【解析】（Ⅰ）由，令，，则，
当时，有，
当时，，，
由于
所以，综上可知，恒正；
（Ⅱ）设，则，
又由（1）可知
所以
故在实数集上是减函数
（Ⅲ）由题意，，
，
数列为以首项，公比为的等比数列，
由此可知，随着的增大而增大，再根据（2）可得随着的增大而减小，
所以数列为递减数列，
从而存在最大项，其为

12．已知数列满足：，，2，3，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，2，，求数列的最大项的值；
（3）对第（2）问中的数列，如果对任意，都有，求实数的取值范围．
【解析】（1）证明：由题可知：，①，
，②，②①可得
即：，又（5分），
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列
（2）解：由（1）可得，故，
设数列的第项最大，则有，，，
故数列的最大项是
（3）解：由（2）可知有最大值是，所以，对任意，都有，
对任意，都有，即成立，
，解得或
实数的取值范围是，，
13．已知无穷数列满足：，，．对任意正整数，记对任意，2，3，，，对任意，．
（Ⅰ）写出，；
（Ⅱ）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；
（Ⅲ）求集合．
【解析】（Ⅰ）解：根据题意可得，，，，；
（Ⅱ）证明：当时，对任意，都有，
所以，
所以数列是递增数列，
因为，
所以，
令，
则，
所以，
所以存在正整数，使得；
解：由题意得，对任意，都有且．
由（Ⅱ）可得，当时，存在正整数，使得，所以，
所以若，则，
又因为，，
所以若，则，
所以若，则，即．
下面证明．
①当时，对任意，都有．
下证对任意，．
假设存在正整数，使得．
令集合，则非空集合存在最小数．
因为，所以．
因为，所以．
所以，与矛盾．
所以对任意，．
所以当时，．
②当时，．
下证对任意，．
假设存在正整数，使得．
令集合，则非空集合存在最小数．
因为，所以，所以．
因为，
所以．，且，
所以，与矛盾．
所以当时，．
所以当时，对任意，都有．
所以，即．
因为，且，
所以．

14．设数列的前项和为，，，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前项和满足．
①若，求证：；
②若数列为递增数列，求的范围．
【解析】（Ⅰ）解：，
当时，，
两式作差得，，，
当时，，则，
数列是等比数列，，．
；
（Ⅱ）①证明，，若，则，
当时，，
；
当时，，
综上，；
②解：，，
当时，，
，
由，得，
当时，函数在时取得最小值为12，
又，．
数列为递增数列时，的范围为．
15．若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有为常数），则称数列为“类等比数列”．已知数列满足：，对于任意的，都有．
（1）求证：数列是“类等比数列”；
（2）求通项公式；
（3）若是单调递增数列，求实数的取值范围．
【解析】（1）证明：因为，所以，
所以，
所以数列是“类等比数列”．
（2）由已知得，故．
结合（1）可知，该数列的奇数项、偶数项分别构成以，为首项，且公比皆为2的等比数例．
故，．
（3）若是单调递增数列，则满足，
即，即，
解得．

16．已知数列的前项和为．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）试讨论数列的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．
【解析】（1）由已知，得，

又，
所以，数列为公差为的等差数列
（2）由，得
当时，数列为递增数列
当时，数列为常数列
当时，数列为递减数列

17．已知函数，．
（1）求证：对任意，；
（2）试判断数列是否是递增数列，或是递减数列？
【解析】（1）证明：由题意，可知
，
，
，则，
，
则，
对任意，都有恒成立，
故命题得证．
（2）由题意，可知
，
则
，
，
即，
数列是递增数列．

18．已知数列满足：，，，为数列的前项和．
（1）若是递增数列，且，，成等差数列，求的值；
（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，令，求数列的前项和．
【解析】（1）因为是递增数列，所以．
因为，，，成等差数列，所以，
则，即，解得或．
当时，，这与是递增数列矛盾，
所以．
（2）由于是递增数列，因而，
所以．
因为，所以．
所以，
因此．
因为是递减数列，同理可得，，
所以．
所以．
于是，
，
所以数列的通项公式为．
（3），
所以，
两边同乘可得：，
两式相减可以得到：．

第11讲 数列的奇偶性问题
1．已知数列满足，，则　　
A． B． C． D．
【解析】数列满足，，可得，
则
，选．

2．满足，， ，则数列的前2017项的和为　　
A． B． C． D．
【解析】由，，，
得，
，
，

，
，
累加得：
，

．
则


选
3．数列满足，则的前60项和为　　
A． B． C． D．
【解析】根据题意，数列满足，当为奇数时，有，
其中当时，有，
当时，有，
当时，有，

当时，有，
则的前60项和

；
选．

4．数列满足，则数列的前60项和为　　
A．1860 B．5100 C．3720 D．930
【解析】数列满足，
为偶数时，，即．
为奇数时，，即．
相减可得：．
由，可得：．
可得：．
则数列的前60项和


．
选．
5．已知数列满足，，是数列的前项和，则　　
A． B． C． D．
【解析】数列满足，，
当时，解得，
所以（常数），
所以数列，，，是以1为首项，2为公比的等比数列，
同理数列，，，是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以．
选．

6．已知数列满足，若，则　1　，前60项的和为　 　．
【解析】数列满足，，，解得．
，解得．
，
有，，，，，，．
从而可得，，，，，，，，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
的前60项和为，

7．已知数列的前项和为，，，则的值为　　．
【解析】由，得，，，，．
把以上各式相加得：，
，，
则．
8．已知数列满足，则的前50项的和为　1375　．
【解析】当是奇数时，；当是偶数时，．
则，
的前50项的和，
，
，
，
，

9．已知函数，数列满足，则　　．
【解析】函数，数列满足，
．
．
．
．

10．已知数列满足：，，，．
（1）求、、、的值；
（2）设，，试求；
（3）比较、、、的大小关系．
【解析】（1）因为，，，
所以，
，
，
，
，
，
所以、、、的值分别为：3，5，5，8；
（2）由，
可得，
可得，
可得，
，
，
两式相减可得
，
化简可得，；
（3）
，
，
，
，
则．

11．已知数列的通项公式为．
（1）写出这个数列的前6项，并画出图象；
（2）判断7是该数列的第几项？
【解析】（1）数列的通项公式为．
这个数列的前6项，分别为：1，1，1，3，1，5．
画出图象；
（2）令，解得．
则7是该数列的第8项．


12．已知数列满足：．
（Ⅰ）问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；
（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和．
【解析】（Ⅰ），，，
因为，，，所以数列不是等差数列．
又因为，所以数列也不是等比数列
（Ⅱ）（解法一）因为对任意正整数，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列
从而对．
所以数列的通项公式是

（解法二）因为对任意正整数，，
得，
所以数列是每项均为0的常数列，
从而对，
所以数列的通项公式是
，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列
（Ⅲ），，，也适合上式．
所以数列的通项公式为
（解法一）设数列的前项和为，则当，，时，，，
，

（解法二）利用待定系数法可得：对，有，

从而，，（13分）
所以
13．已知数列满足：，，；
（1）求、、；
（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（3）求和；
【解析】（1），，
可得；
，；
（2）证明：，
可得数列为公比为，首项为等比数列，
即；
（3）由（2）可得，
．

14．（1）设函数，且数列满足，，；求数列的通项公式．
（2）设等差数列、的前项和分别为和，且，，；求常数的值及的通项公式．
（3）若，其中、即为（1）、（2）中的数列、的第项，试求．

【解析】（1）由题意：，
变形得：
数列是以为公比，为首项的等比数列
，
即
（2）由等差数列、知：，；
由得：
，
，
，解得
，和分别是等差数列、的前项和；
可设，；
，
，即
当时，
当时，．
综上得：
（3）当时，

当时，


第12讲 数列周期性问题
1．已知数列满足，，等于的个位数，则　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】，，等于的个位数，
，，，，，，，
该数列从第二项起构成周期为6的周期数列，
．
选．
2．满足：，，，为数列的前项和，则　　
A．3 B．4 C．1 D．0
【解析】，，，
可得，，，，
，，，可得数列为周期6的数列，
且，则．
选．

3．数列满足，，其前项的积为，则　　
A．1 B． C．2 D．3
【解析】由，，
可得，则，，
，，，，
可得数列是周期为4的数列，且，
而，
则，
选．
4．已知满足，，，为数列的前项和，则的值为　　
A． B． C． D．
【解析】，，，
，，，，，，，
．则，
选．

5．已知数列满足且，若，，，则下列结论中正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解析】数列满足且，，，
，，，，，，，
，
．
．
选．

6．已知数列满足，，，，则的值等于　　
A．3 B．1 C． D．
【解析】数列满足，，，，
，，
，，，，，，
数列是周期为6的周期数列，
，
．
选．
7．已知数列满足，，，记，则下列结论正确的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解析】由，得
，
所以6为数列的周期，
又，，，，
所以，
，
选．

8．已知数列的前项和为，满足，，，则　3　．
【解析】由，，，
，同理可得，，，，，．
．
．

9．已知数列满足条件：，，则对任意正整数，的概率为　　．
【解析】由，
，
得，
，
，
易见是周期为3的数列，且，
故的概率为．
10．若数列满足，，，3，4，，且有一个形如的通项公式，其中、均为实数，且，，则　　，　 　．
【解析】数列满足，，
，，，
则数列的取值具备周期性，周期，
则三角函数的周期，解得，
此时，
则当时，，
即，
，

第13讲 数列最值问题
1．设等差数列的前项和为，且满足，，则，，，中最大的项为　　
A． B． C． D．
【解析】设等差数列的公差为，，，，，
，，因此．
若视为函数，则对称轴在和之间，
，最大值是，
故最大值为．
又，递减，前8项中递增，
故最大且取最小正值时有最大值，
最大．
选．

2．设等差数列的前项和，若，，则数列的前15项中最大的项是　　
A．第1项 B．第8项 C．第9项 D．第15项
【解析】等差数列前项和，
由，，得，，
，，，
若视为函数则对称轴在和之间，
，最大值是，
分析，知为正值时有最大值，故为前8项，
又，递减，前8项中递增，
前8项中最大最小时有最大值，
最大．
选．
3．已知等差数列的公差，前项和为，若，，成等比数列，则　　
A．， B．， C．， D．，
【解析】等差数列的公差，若，，成等比数列，
可得，即，
化为，
由，可得，，
，则，
选．

4．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】，，
，，
，，
即：，，
两式相加得：

则的最大值为4．
选．

5．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值是　　
A．2 B．1 C．0 D．
【解析】等差数列的前项和为，，，
，即，得，，即，，
则，
即最大值是，
选．
6．设等差数列的前项和为，，，．其中且，则数列的前项和的最大值为　　
A． B． C． D．
【解析】，，，
，，
又数列为等差数列，
公差，
，解得
，
当时，即，
当时，即，
数列的前7项为正数，

数列的前项和的最大值为，选．

7．设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．
【解析】等差数列满足，


，
，
，，，．
由．
对称轴方程为，
由题意当且仅当时，数列的前项和取得最大值，
，解得：．
首项的取值范围是．
选．

8．设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是　　
A．310 B．212 C．180 D．121
【解析】等差数列满足，，设公差为，则，
其前项和为，
，，，，
数列也为等差数列，
，
，解得．
，
，
，
由于为单调递减数列，
，
选．
9．设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是　　
A．310 B．212 C．180 D．121
【解析】设等差数列的公差为，，，
，．
，，，
数列也为等差数列，，
，化为，解得．
，．，
数列单调递减，的最大值是，选．

10．已知数列，，的前项和分别为，，且，，若恒成立，则的最大值为　　
A． B． C．9 D．
【解析】由①令得，所以或（舍
当时，②
① ②得，即
因为，上式可化为
故数列是以3为首项，公差为3的等差数列，所以．
所以，所以
因为，随着的增大而增大，故时最小，
所以若恒成立，则的最大值为，选
11．若不等式对任意的正整数恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解析】当为偶数时，恒成立，
由递增，可得时，取得最小值，则；
当为奇数时，恒成立，由，可得，即
综上可得，的取值范围是，，选．

12．已知有穷数列中，，2，3，，729．且．从数列中依次取出，，，．构成新数列，容易发现数列是以为首项，为公比的等比数列．记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则　　
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
【解析】．
由，，解得：，可取，
，，选

13．已知为等差数列，其前项和，，则下列结论一定正确的是　　
A．若，则公差 B．若，则最小
C． D．
【解析】、当时，因为，所以，故正确．
、当，时，满足，无最小值，故错误．
、当，，且满足时，，此时，当，，且满足时，的符号无法确定，故错误．
、，故正确．
选．
14．已知是等差数列，其前项和为，，，则的最大值为　30　．
【解析】设等差数列的公差为，，，
，，
解得，．
，
令，解得．
则的最大值为．

15．已知是等差数列的前项和，且，，则当　25　时，取得最大值．
【解析】根据题意，设出等差数列的公差，
若，则有，
变形可得：，则，
则等差数列的通项公式为，
分析可得：当时，，
则当时，取得最大值；

16．在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为　4　．
【解析】在各项都为正数的等比数列中，，
．
当且仅当时，取等号，
的最小值为4．

17．若公差为的等差数列，满足，则公差的取值范围是　，，　．
【解析】公差为的等差数列，满足，
即有，
化为，
由方程有解的条件可得，
△即，
解得或，

18．设为数列的前项和，已知，对任意、，都有，则的最小值为　　．
【解析】对任意、，都有，令，，可得，则，
数列是等差数列，公差为2．
．
则，
令，则，可得，时，函数单调递减；时，函数单调递增．
又（7），（8）．
（7）（8）．
的最小值为．

19．设为数列的前项和，已知，对任意，，都有，则且的最小值为　32　．
【解析】依题意，由，，及，的任意性，
可令，，则
，即为．
数列是以2为首项，2为公比的等比数列．
，．
．
．
当且仅当，即时，等号成立．
且的最小值为32．

20．已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若任意，恒成立，则的最小值为　　．
【解析】由于且，，①，
当时，解得．
所以②，
①②得：，
故（常数）．
所以．
故．
所以，
由于，恒成立，
所以的最小值为．

21．已知数列的通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围为　，　．
【解析】由，因为，且对任意，，故，
特别地，于是，，此时对任意，．
当时，，，
由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，
由题意，的最大值及最小值分别为和．
由及，解得．
综上所述，的取值范围为，，

22．已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是　2　．
【解析】由，得，
，，
取，得，即，
，解得．，

．
由对任意恒成立，
得对任意恒成立，可得对任意恒成立，
，即．
实数的最小值是2．

23．已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且．若对成立，则实数的取值范围是　，　．
【解析】圆的圆心为，半径，
可得圆心到直线的距离，
则，
所以，
当时，，解得，
当时，，又，
两式相减可得，
化为，
则为首项和公比均为2的等比数列，可得，
设，
则，
上面两式相减可得
，
可得，
对成立，等价为，
即恒成立，
设，，
可得（1）（2）（3）（4）（5），
所以的最大值为（2）（3），
则，即实数的取值范围是，，

24．在等差数列中，设为它的前项和，若，，且点与都在斜率为的直线上．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）指出中哪个值最大，并说明理由．
【解析】（Ⅰ）由已知可得，则公差，
；
（Ⅱ）最大的值是
，
，即最大
又当时，；当时，，数列递减
所以，最大．

25．设等差数列的前项和为，已知，，，
（1）求公差的取值范围；
（2）指出，，，中哪一个最大？说明理由．
【解析】（1）因为，，
所以，，
又因为，所以，即，
代入上两式得到，
（2）因为，，
所以，，
所以，，
所以，，
所以
所以最大
26．已知数列的前项和．是公差不为0的等差数列，其前三项和为3，且是，的等比中项．
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为①，
当时，，解得，，
当时时，，②
①②，得，即，所以，
由数列的前三项和为3，得，所以，
设数列的公差为，则，，
又因为，所以，
解得或（舍去），所以；
（2）由（1），可知，，，从而，
令，
则：，
，
两式做差可得：
则，
故题设不等式可化为，
当时，不等式可化为，解得；；
当时，不等式可化为，此时；
当时，不等式可化为，因为数列是递增数列，所以，
综上，的取值范围是，．

第14讲 数阵问题（数列群问题）
1．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，，依次循环的规律分为（1），，，9，，，，，21，，，，则第50个括号内各数之和为　　
A．98 B．197 C．390 D．392
【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，
则由，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，
因为每组中有6个数，
所以第48个括号的最后一个数为数列的第项，
第50个括号的第一个数为数列的第项，
即，第二个数是，
所以第50个括号内各数之和为，
选．

2．把数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，，循环分为：（3），，，11，，，17，19，，，，，31，，，37，39，，，，则第60个括号内各数之和为　　
A．1112 B．1168 C．1176 D．1192
【解析】括号里的数有规律：即每四个一组，里面的数都是，
所以到第60个括号时共有数个数，
第150个数是．所以第60个括号里的数之和为，
选．

3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数：第2017行的第项为2的正整数幂．已知，那么该款软件的激活码是　　

A．1040 B．1045 C．1060 D．1065
【解析】由数表推得，每一行都是等差数列，第行的公差为，
记第行的第个数为，则，，，，，
，
算得，
，，
，
第2017行的第项为2的正整数幂，
，
即，
最小四位整数．
当，满足题意，
选．

4．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，，其中第一项是，接下来的两项是，，在接下来的三项式，，，依此类推，求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是　　
A．110 B．220 C．330 D．440
【解析】由题意可知：，，，，
根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：，，，，，
每项含有的项数为：1，2，3，，，
总共的项数为，
所有项数的和为，
由题意可知：为2的整数幂．只需将消去即可，
则①，解得：，总共有，不满足，
②，解得：，总共有，不满足，
③，解得：，总共有，不满足，
④，解得：，总共有，满足，
该款软件的激活码440．
选．

5．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为　　

A．13 B．14 C．15 D．16
【解析】第行第列的数记为，那么每一组与的组合就是表中的一个数，
因为第一行数组成的数列是以2为首相，公差为1的等差数列，
所以，
所以第列数组成的数列，2，是以为首项，公差为的等差数列，
所以，
令，
则，
所以145出现的次数为．
选．

6．设为最接近的整数，如（1），（2），（3），（4），（5），，若正整数满足，则　　
A． B． C． D．
【解析】第一组：，，共2个，之和为2；
第二组：，，，，共4个，之和为2；
第三组：，，，，，，个，之和为2；
第四组：，，，共8个，之和为2；

第组：共个，之和为2；
，
故一共有2017组，
则，
选．

7．如图是从事网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推．若2013是第行从左至右算的第个数字，则为　　

A． B． C． D．
【解析】由每行的行号数和这一行的数字的个数相同，奇数行的数字从左向右依次减小，
偶数行的数字从左向右依次增大，可得第63行的数字从左向右依次减小，
可求出第63行最左边的一个数是，
从左至右的第4个数应是．
故2013在第63行，第4列，
选．

8．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合．例如：，，，5，6，，若将集合的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为　376　；
定义现指定，将集合，的元素从小到大排列组成数列，若将的各项之和设为该软件的激活码，则该激活码应为　　．
【解析】集合，
当，时，，
当时，，
所以，17，18，，共有16个元素，故激活码为；
结合二进制表示，当时，的各项可以看成首位为1的六位二进制数，
对于，符合条件的有8个数，
同理，对于，，，时，符合条件的也分别有8个数，
故激活码为，

9．如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行：数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第20行从左到右第5个数字为　195　．

【解析】由题意可知：每行的行号数和这一行的数字的个数相同，
奇数行的数字从左向右依次减小，偶数行的数字从左向右依次增大，
故前行共有：个整数，
故第行的第一个数为：，
第20行的数字从左向右依次增大，可求出第20行最左边的一个数是191，
第20行从左至右的第5个数字应是195．

10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，，则在该数列中，第35项是　136　．

【解析】奇数项是后一个数，
每行2个数，则第35项在18行第3个数，
从第3行开始斜行1，3，6，10，，
即为，，，，，
则18行第3个数为，
故答案为：136．
11．杨辉三角（如图）是二项式系数在三角形中的一种几何排列．它是我国古代数学的杰出研究成果之一，将二项式系数图形化，是一种离散型的数形结合．杨辉三角蕴含了许多有趣的规律，比如：除1以外，所有正整数在如图中都出现有限次，如2出现1次，3和4都出现2次，试判断数字120在图形中共出现　2　次．

【解析】根据杨辉三角的排列规律：
1 1
1 2 1
，
1 21 35 35 21 1
1 22 56 70 56 22 1
1 23 78 126 126 78 23 1
1 24 101 204 252 204 101 24 1
根据杨辉三角，120只出现的位置为两边的数，中间不可能出现，
由于对称性的存在，
所以120出现的次数为2．

12．“杨辉三角形”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年．“杨辉三角”是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来．下面数表类似“杨辉三角”，从上到下分别为第1行、第2行、第3行、第行、．它满足：①第行首尾的数均为；②第行除首尾的数外，每一个数都等于它肩上（即第行）两个数之和．记第行的第二个数为，则　1771　．

【解析】根据题意：（3）（2），
（4）（3），
（5）（4），
，
，
以上个式子左右分别相加，
得，
所以，
于是．

13．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，则此数列前135项和为　　．

【解析】杨辉三角形中各行的数字和，第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，
即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，
则杨辉三角形的前项和为，
若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
则，
可得当，即杨辉三角形中的第17行，
再加上第18行的前15项时，所有项的个数和为135，
由于最右侧为2，3，4，5，，为个首项是2、公差为1的等差数列，
则第18行的第17项为17，
则杨辉三角形的前18项的和为，
则此数列前135项的和为，
故答案为：．
14．分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列　203490（或　；并判断其奇偶性　　．（选填“奇”或“偶”

【解析】观察所给数据可得，第22行第9个数是的第9项二项式系数，
由二项式定理可知，的第9项二项式系数为：．
这个数是偶数．
故答案为：203490（或；偶．

15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第行各数字的和为，如，，，，，，则　2　

【解析】将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，从上往下数，第1次全行的数为1 的是第1行，有1个1；第2次全行的数都为1的是第2行，有2个1；第3次全行的数都为1的是第4行，有4个1，依此类推，第次全行的数都为1的是第行，有个1，故时，第行有32个1，即，则下一行是2个1，即，
故答案为：2．

第15讲 创新型数列问题
1．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是　　
A．10日 B．20日 C．30日 D．40日
【解析】设此数列为等差数列，，，．
，解得．
选．

2．著名的斐波那契数列，1，2，3，5，8，，满足，，，若，则　　
A．2020 B．4038 C．4039 D．4040
【解析】根据题意斐波那契数列中：满足，，，
当为奇数时，．
则．
所以．
选．

3．已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数为　　
①数列是等差数列；②数列是等比数列；③；
④．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】数列满足，，可得，，，所以数列不是等差数列，也不是等比数列，所以①②③不正确；
当时，，当时，也满足表达式，所以，所以④正确．
选．
4．用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例：9的因数有1，3，9，（9），10的因数有1，2，5，10，，那么（1）（2）（3）　　
A． B． C． D．
【解析】由的定义知，且若为奇数则
令（1）（2）（3）
则（1）（2）（3）
（2）（4）
（1）（2）
即，
分别取为1，2，，并累加得（1），
又（1）（1），所以
所以（1）（2）（3）．
选．

5．数列满足，且对任意，，，数列的前项和为，则的整数部分是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】，，．
，，．
时，．
，，可得：，，
数列的前项和．
，其整数部分为2，选．
6．在数列中，，且，设数列的前项的积为，则　　．
【解析】，且，
，，由归纳推理得，
则数列的前100项的积为，

7．若数列满足，，设，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得　　．
【解析】由①
得②
①②得：


．
所以．

8．在数列，中，，，，设数列满足，则数列的前10项和　　．
【解析】数列，中，，①，
，②
所以①②得：，整理得（常数），
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列．
所以．
①②得：，
所以（常数），故数列是以为首项，8为公比的等比数列，
所以，
由于数列满足，所以，

9．设函数在定义域上满足，且当，时，，若数列中，，则数列的通项公式为　　．
【解析】函数在定义域上满足，
且当，时，，
数列中，，，，
，．

10．已知数列是等差数列，数列是等比数列，对一切，都有，则数列的通项公式为　　．
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，，
，，，，即，
即，化简可得，
，
故数列是常数列
故
11．已知各项均为整数的数列中，，且对任意的，满足，则　　．
【解析】由满足，
，．
又，．


12．定义：对于数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”
①若，，，则数列　不是　“摆动数列”， 　　“摆动数列”（回答是或不是）；
②已知“摆动数列” 满足，．则常数的值为　　；
【解析】（1）由知道是递增数列，故不存在满足定义的，又因为可知正负数值交替出现，故时满足定义．
（2）因为数列是“摆动数列”，故时有，可求得，
又因为使对任意正整数，总有成立，即有成立，
则，
所以，，，，
同理，，，，
所以，即，解得，即，
同理，解得，即，
综上，．
故答案为：不是；是；．
13．数列满足，，则　　．
【解析】根据题意，数列满足，即，变形可得：
则，

14．我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有不等式成立，则称函数为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式：成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列满足如下两个条件：
（1）数列为上凸数列，且，；
（2）对正整数，都有，其中．
则数列中的第五项的取值范围为　，　．
【解析】，，
，把，代入，得（1）．
在，中，令，得，
，（2）．
（1）、（2）联立得．

15．若数列，满足，，若对任意的，都有，，设，则无穷数列的所有项的和为　1　．
【解析】由题意，，是首项为2，公比为2的等比数列，，而，可得，
从而，其各项和为
第16讲 存在性问题（整除问题）
1．已知数列满足，若从中提取一个公比为的等比数列，其中且，，则满足条件的最小的值为　　
A． B． C． D．2
【解析】数列满足，，，，，
，，，，
若取，则，不在数列中
若取，则，不在数列中
若取，则，在数列中
综上，满足条件的最小的的值为2，选

2．设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，，数列满足．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求正整数的值，使得是数列中的项．
【解析】（Ⅰ）设的公比为，则有，解得，或（舍．
则，，
即数列和的通项公式为，．
（Ⅱ），令，
所以
如果是数列中的项，设为第项，则有，
那么为小于等于5的整数，所以，，1，．当或时，，不合题意；
当或时，，符合题意．
所以，当或时，即或时，是数列中的项
3．已知是递增数列，其前项和为，，且．
（1）求数列的通项；
（2）是否存在，，，使得成立？若存在，写出一组符合条件的，，的值；若不存在，请说明理由；
（3）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．
【解析】（1），得，解得或．
由于，所以．
因为，所以．
故．
整理，得，即．
因为是递增数列，且，故，因此．
则数列是以2为首项，为公差的等差数列．
所以．
（2）满足条件的正整数，，不存在，证明如下：
假设存在，，，使得，
则．
整理，得，①
显然，左边为整数，所以①式不成立．
故满足条件的正整数，，不存在．
（3），
不等式可转化为
．
设，
则


所以，即当增大时，也增大
要使不等式对于任意的恒成立，只需即可．
因为，所以．
即．
所以，正整数的最大值为8

4．已知等差数列中，首项，公差为整数，且满足．，数列满足，其前项和为．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求的值．
【解析】（Ⅰ）等差数列中，首项，公差为整数
且满足．，可得，且
即，由为整数，可得
则
（Ⅱ）
则
，，成等比数列
可得
即
解得

5．已知等差数列满足：，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式．
（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设数列公差为，由
解得或
故或
（2）当时，，．不存在正整数，使得
当时，
由解得或（舍去）
此时存在正整数使得．且的最小值为31
综上，当时，不存在正整数，使得
当时，存在正整数使得．且的最小值为31

6．已知等差数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式；
若，，成等比数列，求正整数的值．
【解析】
（Ⅰ）设数列的公差为，由题意知，即，
由，解得．
所以，即，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．
又，，
由已知可得，即，
整理得，．
解得（舍去）或．
故

7．已知等差数列的前项和为，且满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式及；
（Ⅱ）若，，成等比数列，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）设公差为，
由题意，得
解得，
所以

（Ⅱ）因为，，成等比数列，
所以，（9分）
即，（10分）
化简，得，（11分）
考察函数，知在上单调递增，
又因为，（2），，
所以当时，有最小值6

8．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式及数列的前项和为；
（2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为是等差数列，
由，
又因为，所以，
由，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
若，，成等比数列，则，
即．
由，
可得，
所以，
从而：，又，且，
所以，此时．
故可知：当且仅当，使数列中的，，成等比数列．

9．已知数列满足，且．
（Ⅰ）设数列的前项和为，若数列满足，求；
（Ⅱ）设，是否存在常数，使为等差数列，请说明理由．
【解析】数列满足，且，数列是等差数列，公差为2，首项为2，，．
当时，；
当时，．



．
，
．
假设存在常数，使为等差数列，
则，，，
则，
化为：．
是关于的一次函数，是等差数列．

10．已知点是函数的图象上的一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：
（1）求数列，的通项公式；
（2）若数列的通项，求数列的前项和；
（3）若数列的前项和为，是否存在最大的整数，使得对任意的正整数，均有总成立？若成立，求出；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意可得，等比数列的前项和为，
由等比数列的求和公式可得，即，公比，
则；
数列的首项为1，且前项和满足：，
可得，即有，
即，；
（2）通项，
前项和，
，
相减可得
，
化简可得；
（3），
数列的前项和为
，
由在为自然数集递增，可得最小值为，
，可得，
则存在最大的整数，使得对任意的正整数，均有总成立．

11．已知点是函数且的图象上一点，等比数列的前项和为，
数列的首项为，且前项和满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列前项和为，则满足的最小正整数是多少？
【解析】（1）（1），，
（1），（2）（1）（2）（1），
（3）（2）（3）（2），
又数列成等比数列，，；
又公比，；

又，，
数列构成一个首项为1公差为1的等差数列．
，，
当，，
当，，；
（2），
由得，满足的最小正整数为53．

12．已知点是函数的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：当时，都有
（1）求的值；
（2）求证：是等差数列，并求出；
（3）若数列前项和为，问是否存在实数，使得对于任意的都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）（1），
，，
（1），（2）（1），
（3）（2），
又数列成等比数列，，即，
，
（2）证明：公比，
，
，
又，，
，
数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，
，
，
当时，
，
当时，，满足上式，
，，
，
，
对于任意的都有，
，
故的取值范围为，．
13．已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求的前项和
（3）数列满足，，试问是否存在正整数，其中，使，，成等比数列？若存在求出满足条件所有的数组；若不存在请说明理由．
【解析】（1），
当时，，
两式相减可得，
由，可得，
即有，都是公差为2的等差数列，
由，可得，
即有，．
即有；
（2），
即有的前项和；
（3）数列满足，，
假设存在正整数数组，使，，成等比数列，则，，成等差数列，
于是，，所以，☆．
易知，，为方程☆的一组解．
当，且时，，
故数列为递减数列
于是，所以此时方程☆无正整数解．
综上，存在唯一正整数数对，，，使，，成等比数列．
14．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”
（1）已知数列中，，．
①求的通项公式；
②试判断是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
（2）已知数列为等差数列，且，，求证：为“等比源数列”
【解析】（1）①，，
数列是等比数列，首项为1，公比为2．
，
．
②假设为“等比源数列”，
则此数列中存在三项：，．
满足，
，
化为：，
，
可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立．
故不是“等比源数列”．
（2）设等差数列的公差为，
则，，，
假设存在三项使得，．
，
展开：，
当既是与的等比中项，又是与的等差中项时，原命题成立．

15．已知数列 满足，，数列满足，，数列满足，．
（1）求，，．
（2）求数列，，的通项公式．
（3）是否存在正整数使得对一切恒成立，若存在求的最小值；若不存在请说明理由．
【解析】解（1），
，
，，，
，
，

（2）因为，，
所以 时，

验证可得 时也成立，
所以
因为 ，所以，
所以时，
验证可得 时也成立，所以
因为，．
所以．
两式相减得：，
所以，当时，，，
当，所以，
所以
（3）时，，
所以 且，
当 时，，
即，
也即，
所以
事实上：
因为当且仅当时取等号
所以
所以 且
综上：，
故的最小值为10

16．已知数列，满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：，，
则，
又，，是首项为，公差为的等差数列
即，
（2）解：由（1）知，，
，，成等差数列，
则，
，
即，
欲满足题设条件，只需，此时
对于任意给定的正整数，存在正整数，，使得，，成等差数列，
，，
即． 且
综上所述，当时，存在，，满足题设条件

第17讲 简单的数列与不等式证明
1．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，有．
【解析】（1）当时，，解得：或，
数列为正数，

（2），
即，
，
，
当时，，
两式相减得：，
当，满足，

（3）证明：，

．


2．已知数列前项的乘积，满足．
（1）求；
（2）证明数列为等差数列，并求出；
（3）记，设，求证：．
【解析】解（1）易知
（2），
由两式相除可得：，即，即．
所以数列为等差数列，，
故
（3）由（1）得．
，
，
．
所以

3．设数列的前项的和，，2，3，．
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，，2，3，．证明：．
【解析】解：，，2，3，．
时，，解得．
时，，化为：，
变形为：，
数列为等比数列，首项为，公比为4．
，可得：．
证明：由可得：．
．

．

5．设数列为等差数列，且，，数列的前项和为，且，
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若，，2，3，，为数列的前项和．求证：．
【解析】（Ⅰ）由数列为等差数列，得公差，
易得，所以．
由得，，令，则，
又，所以，则．
由，当时，得，
两式相减得，，即，，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
于是．
（Ⅱ）．
，

两式相减得，，
所以，
从而．

6．已知数列中，，，且，3，4，．为数列的前项和，且
，，2，3，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和；
（3）证明对一切，有．
【解析】（1）解：由已知，，得，
，，，
由题意，即，，
当为奇数时，；当为偶数时，．
所以数列的通项公式为，．（4分）
（2）解：由已知，对有，
两边同除以，得，
即，
于是，，
即，，
，
，，又时也成立，
，．
，
（3）当，有，
时，有

．
当时，．
故对一切，有

7．已知各项均不为零的数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）各项均不为零的数列的前项和为，
且满足，①．
则：②，
①②
得：，
即：，
当时，
解得：，
所以：．
证明：（2）数列满足，
所以：，
①，
则：②，
①②得：，
，
解得：．
8．设公差不为零的等差数列的前5项的和为55，且，成等比数列．
（1）求数列的通项公式．
（2）设数列，求证：数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由题意可得，即有或（舍去）
故数列的通项公式为即；
（2）证明：由（1），
得，
则．
故原不等式成立．

9．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求；
（2）设数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）解：，，
，；
（2）证明：
．．

10．已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求及；
（2）设，设数列的前项和，证明：．
【解析】（1）为等差数列，，，即，
，，
，
；
（2）证明：，
数列的前项和，

．

11．已知等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
．
（2）由（1）知，，
，
令，由函数的图象关于点对称及其单调性知，
，，
，
．

第18讲 数列与其他知识点综合
1．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解析】，，成等比数列，
，
，
，
，
，，
选．

2．已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】化简条件：由，得，即，
所以“”是“”的充要条件．
选．

3．已知函数的图象在点，（1）处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为　　
A． B． C． D．
【解析】由已知得，因为在点，（1）处的切线与直线平行，
所以（1），故．所以．易知，此时直线与不重合．
所以，
所以，选．
4．如图，已知点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，其中实数列中，，，则　　

A．46 B．30 C．242 D．161
【解析】因为，，
设，则
因为，
所以，，
所以，
所以，
因为，
所以是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以，
所以．
．
选．

5．已知函数，，，直线过原点且与曲线相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为，，，，，，下列说法正确的是　　
A． B．数列为等差数列
C． D．
【解析】设直线的方程为，切点为，，
由导数的几何意义可得：，
．故错误．
作出与的函数图象如图所示：

由图象可知不是等差数列．故错误．
由，可得：，
，，
，
，故错误，正确．
选．

6．已知是上可导的增函数，是上可导的奇函数，对，都有成立，等差数列的前项和为，同时满足下列两件条件：，，则的值为　　
A．10 B． C．5 D．15
【解析】根据题意，对，都有成立，
令有：，
又由是上可导的奇函数，
则有，即，故函数为奇函数；
若，，则有，即，
，
选．

7．数列的前项和为，若点，在函数的反函数的图象上，则　　．
【解析】由题意得．
时，，
当时，也适合上式，
数列的通项公式为；

8．已知等比数列的公比为，前项和为，若点在函数的图象上，则　　．
【解析】点在函数的图象上，
，
，，，
数列是等比数列，
，解得．

9．在中，若、、成等比数列，则角的最大值为　　．
【解析】在中，、、依次成等比数列，
，
利用正弦定理化简得：，
由余弦定理得：（当且仅当时取等号），
则的范围为，，即角的最大值为．
10．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为　　．
【解析】由各项均为正数的等比数列满足，
可得，，．
，，，，
，当且仅当时，等号成立．
故的最小值等于，

11．已知为数列的前项和，，，平面内三个不共线的向量，，满足，若点，，在同一直线上，则　2　．
【解析】若，，三点共线，则，
根据条件“平面内三个不共线的向量平面内三个不共线的向量，，
满足，，，在同一直线上，”
得出，，
为数列的前项和，，，
数列为：2，4，2，，，，2，4，2，，，，
即数列是以6为周期的周期数列，前6项为2，4，2，，，，
，
．

12．已知为数列的前项和，，平面内三个不共线的向量，，，满足，，，若，，在同一直线上，则　2　．
【解析】若，，三点共线，则，根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足，，，，，在同一直线上，”
得出，，
为数列的前项和，，
数列为：1，1，0，，，0，1，1，0，，，0，
即数列是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，，，0，
，
．

13．在中，是的中点，点列在线段上，且满足，若，则数列的通项公式　　．
【解析】如图所示

是的中点，，
又，，
，
化为：，
点列在线段上，
，
化为：，又，
则数列是等比数列，首项为1，公比为．


14．若个不同的点，、，、、，满足：，则称点、、、按横序排列，设四个实数、、、使得，，成等差数列，且两函数、图象的所有交点，、，、，按横序排列，则实数的值为　1　．
【解析】四个实数、、、使得，，成等差数列
则，可得
由，即有
由三次方程的判别式为△

；
；

即有