新高一暑假讲义21讲（编辑精美，暑假上课必备）

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第16讲：基本不等式的应用2【学习目标】1．掌握对应的基本不等式求解最值；2．通过分析实际问题，建立函数方程，通过基本不等式求解最优解. 【基础知识】基本不等式：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.  【考点剖析】考点一：实际应用问题（一）例1．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）.已知这种水果的市场售价大约为10元，且供不应求.记该单株水果树获得的利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）；（2）当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元.【详解】（1）由题意可得，即，所以函数的函数关系式为.（2）当时，为开口向上的抛物线，对称轴为，所以当时，当时，，当且仅当即时等号成立，此时，综上所述：当投入的肥料费用为元时，单株水果树获得的利润最大为元. 变式训练1：今年，我国某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本万元，且由市场调研知，海部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2021年的利润(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润销售额成本)；（2）2021年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）2021年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【详解】（1）当时，，当时，，∴（2）若，，当时，万元，若，，当且仅当时，即时，万元，∴2021年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 变式训练2：在一块占地面积为1800平方米的矩形土地中间建三个矩形温室大棚，如图所示，三个大棚占地面积为s平方米，其中，大棚之间及四周路宽均为1米(图中白色部分为大棚，阴影部分为路).（1）试用x和y表示s：（2）若要使s的值最大，则x和y的值分别为多少？【答案】（1）；
（2）时，取得最大值.【详解】（1）依题意可得，，则，所以（2）由（1）知所以，当，时，取得最大值. 变式训练3：在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知．通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全部售完．设基地种植该中药材年利润为万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元．（1）求的值；（2）求年利润的最大值（精确到万元），并求此时的年产量（精确到吨）．【答案】（1）；（2）当年产量约为吨时，年利润最大约为万元．【详解】（1）由题意，当基地产出该中药材40吨时，年成本为万元，利润为，解得.（2）当时，利润为，因为对称轴，在上为增函数，所以当时，万元；当时，，当且仅当，即时取等号；所以当年产量约为吨时，年利润最 考点二：实际应用问题（二）例2．我们学习了二元基本不等式：设,,,当且仅当时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.（1）对于三元基本不等式请猜想：设________当且仅当时，等号成立（把横线补全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：设求证：(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：设求的最大值. 【答案】（1）（2）证明见解析（3）【详解】（1）通过类比,可以得到当,,时,当且仅当时,等号成立；（2）证明：,,,由（1）可得,（3）解：由（1）可得,,即,由题,已知,,,,,，,当且仅当,即时取等,即的最大值为 变式训练1：某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求的最小值．解：利用基本不等式，得到，于是，当且仅当时，取到最小值（1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；（提示：）（2）研究上的最小值；（3）求出当时，的最小值．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）当且仅当时，取到最小值（2）当且仅当时，取到最小值（3）当且仅当时，取到最小值．   考点三：基本不等式求参例3．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（    ） A． B． C． D．【答案】A【详解】已知正数、满足，可得，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.因此，实数的最大值为.故选：A. 变式训练1：已知两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围（    ） A．  B． C． D．【答案】B【详解】因为恒成立，则，，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8，所以，即，解得：.故选：B 变式训练2：已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【详解】由题得，所以，因为，（当且仅当时，等号成立）所以.所以的最小值为4.故选：C. 变式训练3：若关于x的不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D．【答案】C【详解】不等式对于一切恒成立，因为即不等式对于一切恒成立所以，当且仅当，即时取等号；所以关于x的不等式对于一切恒成立，等价于所以，则实数a的取值范围是.故选：C 【过关检测】1、已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【详解】因为，，则，所以，当且仅当即等号成立，要使不等式恒成立，所以所以实数的最大值为8.故选：C. 2、若，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．  B． C． D．【答案】A【详解】不等式恒成立，即，，等号成立的条件是，即，与条件联立，解得 ，所以的最小值是8，即，解得：.故选：A3、某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.【详解】（1），当且仅当时，即取“=”，符合题意；∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.（2）又，∴当时，.答：年产量为110吨时，最大利润为860万元. 4、某果农种植一种水果，每年施肥和灌溉等需投入4万元.为了提高产量同时改善水果口味以赢得市场，计划在今年投入万元用于改良品种.根据其他果农种植经验发现，该水果年产量(万斤)与用于改良品种的资金投入(万元)之间的关系大致为：(，为常数)，若不改良品种，年产量为1万斤.该水果最初售价为每斤4.75元，改良品种后，售价每斤提高元.假设产量和价格不受其他因素的影响.（1）设该果农种植该水果所获得的年利润为(万元)，试求关于资金投入(万元)的函数关系式；（2）该果农一年内应当投入多少万元用于改良品种，才能使得年利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）；（2）一年内应投入5万元改良品种，能使年利润最大，最大利润为7万元.【详解】解：（1）根据已知可得当时，所以所以.改良品种投入x万元时，销售额为所以年利润（2）因为所以，所以当且仅当即时等号成立，所以一年内应投入5万元改良品种，能使年利润最大，最大利润为7万元 5、某地政府指导本地建扶贫车间､搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.【答案】（1）；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.【详解】解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为万元.依题意得，当时，.当时，.所以.（2）当时，，故当时，取得最大值4.5万元.当时，，当且仅当，即时，取得最大值14万元.所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元. 6、在“基本不等式”应用探究课中，甲和乙探讨了下面两个问题：（1）已知正数、满足，求的最小值.甲给出的解法是：由，得，则，所以的最小值为而乙却说这是错的.请你指出其中的问题，并给出正确解法；（2）结合上述问题（1）的结构形式，试求函数的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为.【详解】（1）甲的解法错误，原因是：使用了两次基本不等式，两次基本不等式取等号的情况不能同时成立.正确解法：，当且仅当时等号成立.（2）令，，则，，即可将“求函数最小值”转化为“已知，求”，因为，当且仅当等号成立，所以当时，函数取最小值，最小值为.