初中数学华师大版八年级上册3 反证法复习练习题

14.1.3　反证法

知识点 1　命题的反面

1.命题“a>0”的反面是(　　)

A.a<0 B.a=0 C.a≠0 D.a≤0

2.结论“a,b中至少有一个大于0”的反面是　　　　　　　　　. 

知识点 2　命题的反例

3.下列选项中,可以用来证明命题“若a2>1,则a>1”是假命题的反例是(　　)

A.a=-2 　B.a=-1 　C.a=1 D.a=2

4.对假命题举反例时,应注意使反例(　　)

A.满足命题的条件,并满足命题的结论

B.不满足命题的条件,但满足命题的结论

C.不满足命题的条件,也不满足命题的结论

D.满足命题的条件,但不满足命题的结论

知识点 3　反证法的基本步骤

5.[教材例6变式] 用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤:

①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,所以∠A=∠B=90°不成立;

②所以一个三角形中不能有两个直角;

③假设三角形的三个内角∠A,∠B,∠C中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.

正确的顺序应为(　　)

A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①②

6.用反证法证明:互余的两个角不能都小于45°.

7.如图所示,已知E为直线l外一点,求证:过点E只能有一条直线垂直于l.用反证法证明这个命题的步骤包括:①则在△EFG中,∠1+∠2+∠3>180°,这与三角形内角和等于180°矛盾;②假设过点E有两条直线EF,EG分别垂直于直线l于F,G两点;③则∠2=90°,∠3=90°;④故过点E只有一条直线垂直于l.证明步骤的正确顺序是(　　)

A.①②③④  B.①③②④

C.②③①④  D.②③④①

8.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A≠45°,求证:AC≠BC.

证明:假设AC=BC.

因为∠A≠45°,∠C=90°,所以∠B≠∠A,

所以AC≠BC,这与假设矛盾,所以AC≠BC.

上面的证明过程有没有错误?若没有错误,请指出其证明方法;若有错误,请给出正确的证明过程.

9.如图,在△ABC中,AB>AC.

求证:∠C>∠B.

答案

1.D　 命题“a>0”的反面是a≤0.故选D.

2.a,b都小于或等于0

3.A　4.D　5.D

6.解:已知:∠α+∠β=90°.

求证:∠α,∠β不能都小于45°.

证明:假设∠α<45°且∠β<45°

则∠α+∠β<90°,与已知“∠α+∠β=90°”相矛盾,∴∠α,∠β不能都小于45°.

7.C

8.解:有错误.正确的证明过程:假设AC=BC,则∠A=∠B.

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=∠B,

∴∠A=∠B=45°,与已知条件∠A≠45°相矛盾,∴假设不成立,∴AC≠BC.

9.证明:(1)假设∠C=∠B,则由“等角对等边”,可知AB=AC,与已知条件AB>AC相矛盾,所以假设错误;

(2)假设∠C<∠ABC,如图图,在∠ABC的内部作∠DBC=∠C,所以BD=CD,因此AC=AD+CD=AD+BD>AB,与已知条件AB>AC相矛盾,所以假设错误.

综上可知,∠C>∠B.