华师大版八年级上册2 等腰三角形的判定同步达标检测题

2021-2022学年八年级数学上册（华东师大版）

13.3.2等腰三角形的判定-同步练习

时间：60分钟

一、单选题

1．已知：如图，经过线段一端点A有一直线l，直线上l存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（    ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

2．如图，是的角平分线，交于E，若，则（    ）．

A．8 B．11 C．10 D．9

3．如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知，是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数是（   ）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．如图，将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．下列说法：

①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；

②等边三角形是特殊的等腰三角形；

③等腰三角形是特殊的等边三角形；

④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；

其中，说法正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，交于点D，交于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（    ）个

A．4 B．5 C．6 D．7

7．如图，已知OC平分∠AOB,CD//OB，若OD=3 cm，则CD等于：（ ）

A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm

8．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

二、填空题

9．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是____________.(填序号)

10．等腰三角形的判定定理是______________________．

11．已知：如图，中，分别是和的平分线，过O点的直线分别交、于点D、E，且．若，则的周长为______．

12．已知、，点在轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的有________个．

13．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．

14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．

15．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为__________．

16．如图，在中，的中垂线交于点P，若，则的度数为________．

三、解答题

17．如图，若是等边三角形，是的平分线，延长到点E，使，求的长度．

18．如图，在中，为边上的中线，．求证：．

19．如图，点E、F在线段BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于O，求证：OE=OF．

20．如图，在和中，为斜边，，、相交于点．

（1）请说明的理由；

（2）若，，求的长．

21．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．

（1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．

（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

22．已知中，，，为边上一点，过点的直线交及延长线于、两点，．

（1）求证；

（2）求证；

（3）若，，请直接写出的面积．

参考答案

1．C

【解析】解：如图所示，以B为圆心，以AB的长为半径画弧与直线l交于点D，此时AB=BD，同理以A为圆心以AB的长为半径与直线l交于E、C，此时AC=AB，AE=AB，再作AB的垂直平分线与直线l交于点F，此时AF=BF，

∴一共有4个点满足题意，

故选C．

2．A

【解析】解：∵是的角平分线，

∴∠DCB=∠DCE，

∵，

∴∠DCB=∠EDC，

∴∠EDC=∠DCE，

∴CE=DE=3cm，

∴AC=AE+CE=5+3=8cm．

故选择A．

3．C

【解析】解：如图所示，①为等腰底边时，符合条件的点有4个；

②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个．

故选：．

4．B

【解析】如图，

∵将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起，其中两条较长直角边在同一条直线上．

∴EF∥DG，∠E=∠D=60°，

∴∠ENM=∠D=60°，∠MGD=∠E=60°，

∴EM=NM=EN，DM=GM=DG，

∴△MEN，△MDG是等边三角形．

∵∠A=∠B=30°，

∴MA=MB，

∴△ABM是等腰三角形．

∴图中等腰三角形有3个．

故选：B．

5．B

【解析】①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，
故选：B．

6．D

【解析】解：①∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形；

②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，

∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，

∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，

∴△AOB为等腰三角形；

③△AOC为等腰三角形；

④△BOC为等腰三角形；

⑤∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ABC=∠ODE，∠ACB=∠OED，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ODE=∠OED，

∴△DOE为等腰三角形；

⑥∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，

∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，

∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，

∴△BOD为等腰三角形；

⑦△COE为等腰三角形．

故选：D．

7．C

【解析】∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC；

又∵CD∥OB，

∴∠C=BOC，

∴∠C=∠AOC；

故选C.

8．C

【解析】如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件，

当OA=AP时，可得P3满足条件，

当AP=OP时，可得P4满足条件，

故选C.

9．（1）（3）（4）

【解析】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，

（1）中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°；

（2）不能；

（3）直角三角形的斜边上的中线把它还分为了两个等腰三角形；

（4）中分成的为36°，72°，72°和36°，36°，108°．

故应填①③④．

10．等角对等边

【解析】解：等腰三角形的判定定理是：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即等角对等边

故答案为：等角对等边．

11．

【解析】∵，

∴，

又∵是的角平分线，

∴，

∴，

∴，

同理，

∴的周长．

故答案为：14cm

12．

【解析】以A为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C1点，此时AC=AB；

以B为圆心，以AB为半径画弧，交x轴于C2，C3点，此时BC=AB；

作AB的垂直平分线交x轴于C4点，此时AC=BC.

故答案为4.

13．2

【解析】作EH⊥OA于H．

∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．

∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．

故答案为2．

14．8

【解析】作出图形，如图，可知使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．

故答案是：8

15．P（3，4）或（2，4）或（8，4）

【解析】由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：

（1）如图所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE=，

∴OE=OD-DE=5-3=2，

∴此时点P坐标为（2，4）；

（2）如图所示，OP=OD=5．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△POE中，由勾股定理得： OE=，

∴此时点P坐标为（3，4）；

（3）如图所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．

过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．

在Rt△PDE中，由勾股定理得： DE=，

∴OE=OD+DE=5+3=8，

∴此时点P坐标为（8，4）．

综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．

16．

【解析】连接

分别为的垂直平分线，

，

是等腰三角形

故答案为：

17．9

【解析】解：∵是等边三角形，

∴，

∵是的平分线，

∴，

∵，

∴，

∴．

18．见解析．

【解析】证明：如图，

作的平分线交于点E，连接，

∵，

∴，

∴，

又∵为边上的中线，点D为中点，

∴，

又∵，

∴，

在和中，

∴，

∴．

19．详见解析.

【解析】证明：∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE，

又∵AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABF≌△DCE，

∴∠AFB=∠DEC，

∴OE=OF．

20．（1）见解析；（2）CE=1.

【解析】（1）证明：在和中，

∵与是对顶角，

∴．

∵，，

∴≌（AAS）．

∴．

（2）∵，，

∴，

∴ ，

∴．

21．（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析

【解析】（1）证明：平分

∴∠ABD=∠DBC

∴∠ADB=∠DBC

∴∠ABD=∠ADB，

；

②，

平分

（2）

理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE，

，∠DBC=∠ABC，

又

又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE

∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，

∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，

∴．

22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】证明：（1）

（2）如图，过作交于，

,，

,

，

，

，

 在与中，

（3）过作于，

，

，

，

，

，

，

，

，