2023安徽省示范高中高三上学期第二次联考数学试题含解析

2022-2023高三上学期安徽省示范高中第二次联考

数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】分别解不等式可得集合与，进而可得.

【详解】因为，，

所以，

故选：A．

2. 已知命题，，则是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据命题的否定的概念直接得解.

【详解】全称量词改成存在量词，再否定结论，

即，，

故选：C．

3. 设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的图象性质得到，，的范围，然后比较大小即可.

【详解】因为，，，

所以．

故选：B．

4. 角A是的内角，则“”是“，且”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函数的性质分析即可.

【详解】因为角是的内角，所以，

当，根据三角函数的性质可得，，，

所以由“”能推出“，且”，

当，，可得，此时也成立，

所以由“，且”能推出“”．

故选：C．

5. 已知是周期为的奇函数，则可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】令，利用奇偶性定义和与的关系依次判断各个选项即可.

【详解】令，

对于A，，，

为偶函数，A错误；

对于B，，，

为偶函数，B错误；

对于C，，

，

不是的周期，C错误；

对于D，，，

为奇函数；

又的最小正周期，满足题意，D正确.

故选：D.

6. 如图是函数图象的一部分，设函数，则可以表示为 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

结合函数图象利用奇偶性排除部分选项，再根据当时，x趋于0时，函数值趋于负无穷大判断.

【详解】因为与都是偶函数，排除A，B.

因为和都是奇函数，且当时，x趋于0时，函数值趋于负无穷大，排除D,

故选：C

7. 下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由均值不等式取等号的条件判断即可

【详解】对A，当且仅当即等号成立；

对B，当且仅当即等号成立；

对C，当且仅当即时等号成立；

对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立．

故选：D．

8. 在中，，是其中线，且，，则（    ）

A.  B. 8 C.  D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，根据三角形的性质，结合向量的加法几何意义以及数量积的运算律，可得答案.

【详解】由题意，，．

故选：B．

9. 已知函数图象的一部分如图所示，则以下四个结论中，正确的是（    ）

①；

②；

③是的一个零点；

④的图象关于直线对称．

A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】由函数最值可知，根据可求得；由五点法可求得，进而得到，利用代入检验的方法可知不是的零点，是的对称轴.

【详解】由图象得：，

，，又，，①正确；

由五点法知：，，②正确；

，，则不是的零点，③错误；

当时，，是的一个对称轴，④正确.

故选：C.

10. 已知是定义在上的函数，，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知关系式可推导得到，可知周期为，结合的值可求得，由可得结果.

【详解】，

，

是周期为的周期函数，

，，

.

故选：B.

11. 在中，，，，角A是锐角，O为的外心．若，其中，则点P的轨迹所对应图形的面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角形面积公式求出角，再利用余弦定理得到，利用正弦定理得到外接圆半径，根据得到点的轨迹对于的图形是菱形，最后求面积即可.

【详解】因为，，，

所以，又角为锐角，所以．

因此，．

由得．

由题意知，点P的轨迹对应图形是边长为的菱形，．

于是这个菱形的面积．

故选：A．

12. 已知函数（且）有唯一极值点，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求导后，令得：；在平面直角坐标系中作出与图象，通过图象可确定当时有唯一极值点，由此可得结论.

【详解】由题意知：定义域为，，

令得：；

在平面直角坐标系中，作出与的图象如下图所示，

由图象可知：当时，与有唯一交点，

则当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

是唯一的极值点，满足题意；

当时，恒成立，即恒成立，

在上单调递减，无极值点，不合题意；

综上所述：实数的取值范围为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数极值点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将问题转化为导函数零点个数的求解问题，进一步将问题转化为两函数图象交点的问题，从而采用数形结合的方式来进行求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，则的值为_____.

【答案】2

【解析】

【分析】将等式左边分子、分母同时除以即可得解.

【详解】解：由，

等式左边分子、分母同时除以得：

 ，解得：，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题.

14. 若不等式对任意恒成立，则实数m的最小值是______．

【答案】

【解析】

【分析】因为不等式对任意恒成立，则，由均值不等式求出的最大值即可得出答案.

【详解】因为不等式对任意恒成立，

所以，则

而，

当且仅当，即时等号成立．

即的最大值是，．

故答案为：.

15. 在中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量与向量夹角的余弦值为，且，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据向量夹角的计算公式求出角，再根据余弦定理求得，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换化简，即可得出答案.

【详解】解：∵，，∴，

即，∴，

解得或（舍），

∵，∴，

∵，

∴，

则

，

∵，∴，

∴，

∴取值范围是．

故答案：．

16. 已知函数，其中．若存在实数，使得关于的方程有两个不同的实数根，则的整数值是______．

【答案】1或2

【解析】

【分析】首先分析函数的单调性，当点在点上方时，存在实数，使直线与曲线有两个交点，即可得到，再结合两函数图象即可得解.

【详解】解：当时，，是增函数．

当时，，也是增函数．

所以当点在点上方时，存在实数，

使直线与曲线有两个交点，即存在实数，

使得关于的方程有两个不同的实数根．

所以， 又，

结合与的图象可得整数或，

故答案为：或

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知关于的不等式．

（1）若此不等式的解集是，求的值；

（2）讨论此不等式的解集．

【答案】（1）或   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由题意知，，2是的两根，从而可求出；

（2）通过讨论对应方程两根的大小，得出不等式的解集．

【小问1详解】

由题意知，，是的两根，

所以，解得或．

【小问2详解】

就是，即．

方程的两根是，．

①当，即时，此不等式的解集是．

②当，即时，此不等式是，解集是．

③当，即时，此不等式的解集是．

18. 已知M，P，N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“M，P，N三点共线”的充要条件是“存在实数，使得”．此结论往往称为向量的爪子模型．

（1）给出这个结论的证明；

（2）在的边、上分别取点E、F，使，，连结、交于点G．设，．利用上述结论，求出用、表示向量的表达式．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量共线的判定定理结合充要条件理解证明；（2）利用题中结论结合平面向量基本定理运算求解.

【小问1详解】

先证充分性．

若，

则，，

即，，故M，P，N三点共线．

再证必要性．若M，P，N三点共线，则存在实数，使得，

即，，

故．

综上知，结论成立．

【小问2详解】

利用A，G，F和B，G，E共线的充要条件，存在实数，使得

则，解得．

故．

19. 某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块扇形空地修建一个矩形花园，如图所示．已知扇形角，半径米，截出的内接矩形花园的一边平行于扇形弦．设，．

（1）以为自变量，求出关于的函数关系式，并求函数的定义域；

（2）当为何值时，矩形花园的面积最大，并求其最大面积．

【答案】（1），定义域是   

（2）当时，矩形花园的面积最大，其最大面积为平方米

【解析】

【分析】（1）利用三角函数将、表示出来，即可求出；

（2）求出，再利用和差公式、二倍角公式和辅助角公式进行整理得到，最后利用三角函数的性质求最值即可.

【小问1详解】

如图，过O作，D为垂足．

交于E，，E为垂足．

在直角三角形中，，．

在直角三角形中，．

于是，

其定义域是．

【小问2详解】

矩形花园的面积

当，时，S取到最大值，且最大值为平方米．

20 若函数满足，其中，且．

（1）若，求函数的解析式，并判断其奇偶性和单调性；

（2）若，在时恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1），是R上的奇函数和减函数；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，根据奇偶性定义判断函数的奇偶性，利用指数函数的单调性判断函数单调性；

（2）利用指数函数的单调性判断的增减性，根据单调性可转化为，解不等式即可求解.

【小问1详解】

令，则，所以．

于是，由得，

解得，

因此函数的解析式是

因为，，

所以函数为奇函数，

因为是减函数，是减函数，所以是R上的减函数．

【小问2详解】

因为，所以在R上是增函数，

因此也是R上的增函数．由，得．

要使在内恒为负数，只需要，

即，整理得，

解得，或，又，

故a的取值范围是．

21. 如图，在梯形中，，．

（1）若，求周长的最大值；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即得出周长的最大值；

（2）利用正弦定理可得出、，两式相除可得出关于的等式，即可求得的值.

【小问1详解】

解：在中，

，

因此，当且仅当时取等号．

故周长的最大值是．

【小问2详解】

解：设，则，．

在中，，

在中，．

两式相除得，，，

因为，

，

，故．

22. 已知函数，．

（1）若曲线在点处的切线方程是，求的值；

（2）若的导函数恰有两个零点，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义求解；

（2）求导，根据恰有两个零点，可转化为有两个解，即过点的直线与函数有两个交点，计算临界值，即直线与函数相切时的参数值，即可得到参数范围.

【小问1详解】

因为，则，

所以，

又曲线在点处的切线方程是，

则，解得；

【小问2详解】

由有两个零点，得有两个解，

令，，，

则，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以函数图象如图所示，

设经过点的直线与曲线相切于点，，

则切线的方程是．

将点代入就是，，，

因此或．

当或时，

直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点．

故的取值范围是．

【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．