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2022浙江省A9协作体高二上学期期中联考数学试题含解析
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这是一份2022浙江省A9协作体高二上学期期中联考数学试题含解析，共48页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省A9协作体2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线 恒过一定点，则此定点为（ ）
A. B. C. D.
2.已知 且 ,则x的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.若直线 与 互相垂直，则 （ ）
A. -2 B. 1 C. -1或2 D. -1或-2
4.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是 ，则它的离心率为（ ）
A. B. C. 或 D. 不确定
5.若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
6.如图，在三棱柱 中， 与 相交于点 ， ， ， ， ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
7.设 ，点 ，过点 引圆 的两条切线 ， ，若 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
8.已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.已知双曲线C： ，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为
10.点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则（ ）
A. 两圆有且仅有两条公切线 B. 的最大值为10
C. 两个圆心所在直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线方程为
11.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
C. 在四面体 中，若 ， ，则 ；
D. 若向量 ， ， 是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底.
12.已知椭圆 ： 上有一点 ， ､ 分别为左､右焦点， ， 的面积为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则满足题意的点 有四个
C. 椭圆 内接矩形周长的最大值为20 D. 若 为钝角三角形，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知直线 的向上方向与 轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为 .
14.已知 ， 为双曲线 的左右焦点，点 在双曲线上，满足 ，求 的面积为 .
15.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 .
16.已知A、B是抛物线 上异于坐标原点O的两点，满足 ，且 面积的最小值为36，则正实数P＝ ；若OD⊥AB交AB于点D，若 为定值，则点Q的坐标为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.直线 经过两直线 ： 和 ： 的交点.
（1）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；
（2）若点 到直线 的距离为5，求直线 的方程.
18.已知点 ，圆 ： .
（1）若过点 的圆 的切线只有一条，求实数 的值及切线方程；
（2）若过点 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值.
19.如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面垂直，且 ， ， ､ 分别是 ､ 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
20.如图，椭圆 ： 的离心率是 ，点 在短轴 上，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 ､ 两点，求 面积的最大值.
21.如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 上的动点，且 .
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求 与面 所成角的正弦值.
22.已知点 是曲线 上任意一点，点 到点 的距离与到直线 轴的距离之差为1.
（1）求曲线 的方程；
（2）设直线 ， 为曲线 的两条互相垂直切线，切点为A， ，交点为点 .
（i）求点 的轨迹方程；
（ii）求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
答案解析部分
浙江省A9协作体2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1.直线 恒过一定点，则此定点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】恒过定点的直线
【解析】【解答】直线 可变形为： ，
由直线的点斜式方程可知：直线恒过定点 。
故答案为：A
【分析】将直线 变形为直线的点斜式方程，从而求出直线恒过的定点坐标。
2.已知 且 ,则x的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】 C
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】因为
所以 ,解得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示，从而求出实数x的值。
3.若直线 与 互相垂直，则 （ ）
A. -2 B. 1 C. -1或2 D. -1或-2
【答案】 D
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】∵直线 与 互相垂直，
∴ 解得 或 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。
4.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是 ，则它的离心率为（ ）
A. B. C. 或 D. 不确定
【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线方程是 ，当焦点在 轴上时， ， ；当焦点在 轴上时， ，故离心率为 或 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合双曲线中a,b,c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
5.若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
【答案】 C
【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】因为直线 和圆 没有交点，
所以圆心 到直线 的距离 ，
可得： ，
即点 在圆 内，
又因为圆 内切于椭圆 ，
所以点 在椭圆 内，
即过点 的直线与椭圆 有两个交点。
故答案为：C.
【分析】利用直线 和圆 没有交点，再结合直线与圆相交位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，从而得出 ，再结合点与圆的位置关系，从而判断出点 在圆 内，再利用圆 内切于椭圆 ，所以点 在椭圆 内，从而得出过点 的直线与椭圆 的交点个数。
6.如图，在三棱柱 中， 与 相交于点 ， ， ， ， ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】三棱柱 中， ，
因为 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点， ，
所以 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，则线段 的长度为 。
故答案为：A
【分析】在三棱柱 中， ，再利用 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点，再结合中点的性质和平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出 ，所以 ，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而得出线段 的长度。
7.设 ，点 ，过点 引圆 的两条切线 ， ，若 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】 B
【考点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】根据题意，设直线 ，圆心为 ，
如图，集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），
要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，
此时 ， ，
故 。
故答案为：B.
【分析】根据题意，设直线 ，再利用圆的标准方程求出圆心坐标，再结合已知条件得出集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式得出MP的长，再结合角之间的关系得出 的值，再利用正弦函数的定义，从而求出r的值。
8.已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】 D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线 ： 可知焦点为 ，
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，
由抛物线的定义可知
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时取等号。
故答案为：D
【分析】由抛物线 ： 可知焦点F的坐标，设直线 的点斜式方程为 ，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， 由抛物线的定义可知 从而得出 ，再结合均值不等式求最值的方法，从而得出 的最小值。
二、多选题
9.已知双曲线C： ，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为
【答案】 B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵双曲线C： ∴ . .∴ ∴ .∴双曲线的实轴长是 ，虚轴长是 ，A不符合题意；焦距为 .B符合题意；离心率为 ，C不符合题意：渐近线方程为 ，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用双曲线的长轴长和短轴长的定义，从而得出实轴长和虚轴长的关系；再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出双曲线的焦距；再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；再利用双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线，进而找出双曲线C判断正确的选项。
10.点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则（ ）
A. 两圆有且仅有两条公切线 B. 的最大值为10
C. 两个圆心所在直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线方程为
【答案】 B,C
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 的圆心坐标 ，半径
圆 ，即 的圆心坐标 ，半径
因为圆心距 ，
所以两圆外切，
所以两圆有3条公切线，A不符合题意；
又 在圆 上， 在圆 上
则 的最大值为 ，B符合题意；
两圆圆心所在的直线斜率为 ，C符合题意；
因为两圆外切，故两圆没有相交弦，D不符合题意。
故答案为：BC
【分析】利用圆的标准方程求出圆和圆 的圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式得出圆心距，从而得出圆心距与两圆半径的关系式，再利用两圆的位置关系的判断方法，从而推出两圆外切，再结合两圆的位置关系，从而判断出两圆有3条公切线；再利用点 在圆 上， 在圆 上，再结合几何法得出 的最大值；再利用两点求斜率公式得出两圆圆心所在的直线斜率；再利用两圆外切，从而得出两圆没有相交弦，进而找出正确的选项。
11.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
C. 在四面体 中，若 ， ，则 ；
D. 若向量 ， ， 是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底.
【答案】 A,C,D
【考点】向量的共线定理，平面向量的基本定理及其意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A：若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 ，A符合题意；
对于B：若非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 不一定共线，B不符合题意；
对于C：因为 ， ，
所以 ，
，将上述两式相加得
，
所以 ，所以 ，C符合题意；
对于D：若向量 ， ， ，是空间一组基底，
则空间任意一个向量 ，存在唯一实数组 ，
使 ，
则 ， ， 也是空间的一组基底.D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合向量基底的判断方法、向量共线定理、向量垂直数量积为0的等价关系，从而找出正确的命题。
12.已知椭圆 ： 上有一点 ， ､ 分别为左､右焦点， ， 的面积为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则满足题意的点 有四个
C. 椭圆 内接矩形周长的最大值为20 D. 若 为钝角三角形，则
【答案】 B,C,D
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】∵椭圆 ： ，
∴ ，∴ ， ，
设 ，则 ， ，
若 ，则 ，所以 不存在，A不符合题意；
若 ，则 ，可得 ，故满足题意的点 有四个，B符合题意；
设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，
则椭圆 内接矩形周长为 其中 ，
由 得 ，
∴椭圆 内接矩形周长的范围为 ，即 ，C符合题意；
由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，
先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，此时 ，
当 为钝角三角形时， ，所以 ，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用椭圆 ： 得出a,b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再结合椭圆的定义和焦距的定义，得出 的值，设 ，再利用三角形的面积公式，得出 ， ，再利用分类讨论的方法结合已知条件，若 ，则 ，所以三角形 不存在；若 ，从而得出满足题意的点 有四个；设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，再结合矩形的周长公式和辅助角公式，从而得出椭圆 内接矩形周长为 其中 ，再由 结合正弦型函数的图像求值域的方法，得出椭圆 内接矩形周长的范围；由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，从而结合三角形面积公式，进而求出此时三角形 的面积，当 为钝角三角形时， ，从而结合三角形面积公式，得出三角形 的面积 的取值范围，进而找出正确的选项。
三、填空题
13.已知直线 的向上方向与 轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为 .
【答案】
【考点】直线的倾斜角，直线的斜率
【解析】【解答】因为直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线的斜率为 。
故答案为： 。
【分析】直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，再结合直线的斜率与倾斜角的关系式，从而求出直线的斜率。
14.已知 ， 为双曲线 的左右焦点，点 在双曲线上，满足 ，求 的面积为 .
【答案】
【考点】双曲线的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意得 ，
又因为 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】由题意得 ，再利用双曲线定义，解方程组求出 ， 的值 ，再利用 ，从而结合勾股定理推出 ， 再利用三角形面积公式得出三角形 的面积。
15.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】 34
【考点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
又 ，所以 ，化简可得 ，
其中 ， 表示以 为圆心， 为半径的圆的一部分，
代表圆上一点到原点距离平方的一半，如图所示，
的最大值为 。
故答案为：34。
【分析】设 ，则 ， ，再利用 ，所以化简可得 ，其中 ， 表示以 为圆心， 为半径的圆的一部分， 代表圆上一点到原点距离平方的一半，进而结合几何法求出实数 的最大值。
16.已知A、B是抛物线 上异于坐标原点O的两点，满足 ，且 面积的最小值为36，则正实数P＝ ；若OD⊥AB交AB于点D，若 为定值，则点Q的坐标为 ．
【答案】 3；（3，0）
【考点】抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ，因为 ，即 ，两边平方化简得 ，
所以 ，所以 ，即 ，解得 （ 舍去），
设直线AB： ，联立 得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又
，解得 ，
又因为 ，所以：直线AB为 恒过定点 ，
因为 ，所以 ，所以点D在以点 ， 为直径的圆上，设圆心Q，则 ，半径 ，所以 为定值， ，进而求出点Q的坐标为。
故答案为：3； 。
【分析】设 ，再利用平行四边形法则和三角形法则，得出 ，两边平方化简得 ，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，再利用数量积的坐标表示，得出 （ 舍去），设直线AB的斜截式方程为： ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ，所以 ，再利用三角形面积公式结合二次函数求最值的方法，得出三角形 面积的最小值，再利用三角形 面积的最小值为36 ，从而求出p的值，再利用t和p的关系式，从而求出t的值，进而求出直线AB为 恒过定点M的坐标，再利用 ，所以 ，所以点D在以点 ， 为直径的圆上，设圆心Q，再利用代入法和两点求距离公式和直径与半径的关系，从而得出 为定值，所以 ， 进而求出点Q的坐标为。
四、解答题
17.直线 经过两直线 ： 和 ： 的交点.
（1）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；
（2）若点 到直线 的距离为5，求直线 的方程.
【答案】 （1）解：直线 方程与 方程联立 ,得交点坐标为
设直线 的方程为： ，代入交点 得 ，
所以 的方程为
（2）解：当直线 的斜率不存在时，得 的方程为： ，符合条件.
当 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
根据 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
综上所述， 为 或
【考点】直线的一般式方程，直线的一般式方程与直线的平行关系，两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件，将两直线联立求出交点坐标，再利用两直线平行斜率相等，从而求出所求直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线 的方程。
（2） 利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线 的斜率不存在时，结合已知条件求出直线 的方程，符合条件；当 斜率存在时，设直线 的点斜式方程为： ，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而求出直线 的方程。
18.已知点 ，圆 ： .
（1）若过点 的圆 的切线只有一条，求实数 的值及切线方程；
（2）若过点 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值.
【答案】 （1）解：若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，即 ，解得 ，
当 时， ，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；
当 时， ，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；
（2）解：设圆心到直线的距离为 ，则 ，
当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得： ，
又因为 ，计算得： ，所以 .
当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，
所以 ，又因为 ，计算得： （舍）或 ，所以 .
综上所述， 或 .
【考点】圆的切线方程，直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1) 若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，再结合代入法得出a的值，再结合分类讨论的方法结合两点求斜率公式，得出直线OA的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出切线的斜率，再结合点斜式求出切线的方程，再转化为切线的一般式方程。
（2） 设圆心到直线的距离为 ，再利用勾股定理得出d的值，再利用分类讨论的方法，当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得出 ，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，进而求出实数a的值；当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，再利用点到直线的距离公式得出t的值，进而求出实数a的值。
19.如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面垂直，且 ， ， ､ 分别是 ､ 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
【答案】 （1）证明：以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
又 ，所以 为 的中点， ，
因为 ，且易知平面 的一个法向量为 ，
，
所以 ，
所以 面 ；
（2）解： ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ，则 ，
又平面 的一个法向量 ，
设 为平面 与平面 所成的锐二面角，则 .
因此，平面 与平面 所成二面角的余弦值是 .
【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，再结合已知条件，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用中点的性质和法向量的定义，所以平面 的一个法向量为 ，再利用 结合数量积的坐标表示得出 ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出 ，进而证出 面 。
（2）由已知条件结合向量的坐标表示，得出 ， ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而得出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，设 为平面 与平面 所成的锐二面角，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面 与平面 所成二面角的余弦值。
20.如图，椭圆 ： 的离心率是 ，点 在短轴 上，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 ､ 两点，求 面积的最大值.
【答案】 （1）解：由已知 ，则
由题意得： 得 ，
所以 的方程为
（2）解：由已知可得 的斜率必存在，设 的方程为： ， ， ，
直线 与椭圆方程联立得： ，整理得： ，
由 可得
所以
令 ，
所以 ，
当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆 ： 的离心率是 结合椭圆的离心率公式，得出a,c的关系式，再利用点 在短轴 上，且 ，再结合数量积的坐标表示，得出b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,c的值，进而求出椭圆E的标准方程。
（2） 由已知可得 的斜率必存在，设 的斜截式方程为： ， ， ，再利用直线与椭圆相交，将直线 与椭圆方程联立结合判别式法和韦达定理，得出 和 ， 再结合三角形的面积公式，得出 ， 令 ， ， 再结合均值不等式求最值的方法，得出三角形 面积的最大值。
21.如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 上的动点，且 .
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求 与面 所成角的正弦值.
【答案】 （1）证明：如图：以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，则 ， ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，可得 .
（2）解： ，
当且仅当 即 时 最大，
所以当 ､ 分别为 ， 中点时体积最大，
设面 的法向量为 ，
， ， ，
由 ，令 可得 ， ，
所以面 的法向量为 ，
设 与面 所成角为 ，
则 ，
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示，得出 ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，从而证出 。
（2）利用已知条件结合三棱锥的体积公式和均值不等式求最值的方法，得出当 时， 最大，所以当 ､ 分别为 ， 中点时体积最大，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面 的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，从而求出当三棱锥 的体积取得最大值时的直线 与面 所成角的正弦值。
22.已知点 是曲线 上任意一点，点 到点 的距离与到直线 轴的距离之差为1.
（1）求曲线 的方程；
（2）设直线 ， 为曲线 的两条互相垂直切线，切点为A， ，交点为点 .
（i）求点 的轨迹方程；
（ii）求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
【答案】 （1）解：设 ，则当 时， ，所以 ，当x>0时化简得 ；当 时，由题意得 ，所以曲线 的方程为： 或 .
（2）解：(i)当 时，不合题意，故设 ， ，则过点A的切线为： ，同理可得过点 的切线为： .根据 可得 .
所以联立两条切线方程 可得 ，所以 的轨迹为
(ii)由题意可得 的直线方程为： ，
所以必过
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设 ，则当 时， ，再利用两点距离公式结合分类讨论的方法，从而求出曲线C的方程。
（2） （i） 当 时，不合题意，故设 ， ，则过点A的切线的斜截式方程为： ，同理可得过点 的切线斜截式方程为： ，再根据 结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得 ，所以联立两条切线方程 可得点交M的横坐标，进而求出点 的轨迹；
(ii)由题意可得 的直线方程，再结合点斜式求出直线AB过的定点坐标。
浙江省A9协作体2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1.直线 恒过一定点，则此定点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】恒过定点的直线
【解析】【解答】直线 可变形为： ，
由直线的点斜式方程可知：直线恒过定点 。
故答案为：A
【分析】将直线 变形为直线的点斜式方程，从而求出直线恒过的定点坐标。
2.已知 且 ,则x的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】 C
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】因为
所以 ,解得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示，从而求出实数x的值。
3.若直线 与 互相垂直，则 （ ）
A. -2 B. 1 C. -1或2 D. -1或-2
【答案】 D
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】∵直线 与 互相垂直，
∴ 解得 或 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。
4.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是 ，则它的离心率为（ ）
A. B. C. 或 D. 不确定
【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线方程是 ，当焦点在 轴上时， ， ；当焦点在 轴上时， ，故离心率为 或 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合双曲线中a,b,c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
5.若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
【答案】 C
【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】因为直线 和圆 没有交点，
所以圆心 到直线 的距离 ，
可得： ，
即点 在圆 内，
又因为圆 内切于椭圆 ，
所以点 在椭圆 内，
即过点 的直线与椭圆 有两个交点。
故答案为：C.
【分析】利用直线 和圆 没有交点，再结合直线与圆相交位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，从而得出 ，再结合点与圆的位置关系，从而判断出点 在圆 内，再利用圆 内切于椭圆 ，所以点 在椭圆 内，从而得出过点 的直线与椭圆 的交点个数。
6.如图，在三棱柱 中， 与 相交于点 ， ， ， ， ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】三棱柱 中， ，
因为 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点， ，
所以 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，则线段 的长度为 。
故答案为：A
【分析】在三棱柱 中， ，再利用 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点，再结合中点的性质和平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出 ，所以 ，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而得出线段 的长度。
7.设 ，点 ，过点 引圆 的两条切线 ， ，若 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】 B
【考点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】根据题意，设直线 ，圆心为 ，
如图，集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），
要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，
此时 ， ，
故 。
故答案为：B.
【分析】根据题意，设直线 ，再利用圆的标准方程求出圆心坐标，再结合已知条件得出集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式得出MP的长，再结合角之间的关系得出 的值，再利用正弦函数的定义，从而求出r的值。
8.已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】 D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线 ： 可知焦点为 ，
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，
由抛物线的定义可知
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时取等号。
故答案为：D
【分析】由抛物线 ： 可知焦点F的坐标，设直线 的点斜式方程为 ，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， 由抛物线的定义可知 从而得出 ，再结合均值不等式求最值的方法，从而得出 的最小值。
二、多选题
9.已知双曲线C： ，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为
【答案】 B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵双曲线C： ∴ . .∴ ∴ .∴双曲线的实轴长是 ，虚轴长是 ，A不符合题意；焦距为 .B符合题意；离心率为 ，C不符合题意：渐近线方程为 ，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用双曲线的长轴长和短轴长的定义，从而得出实轴长和虚轴长的关系；再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出双曲线的焦距；再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；再利用双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线，进而找出双曲线C判断正确的选项。
10.点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则（ ）
A. 两圆有且仅有两条公切线 B. 的最大值为10
C. 两个圆心所在直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线方程为
【答案】 B,C
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 的圆心坐标 ，半径
圆 ，即 的圆心坐标 ，半径
因为圆心距 ，
所以两圆外切，
所以两圆有3条公切线，A不符合题意；
又 在圆 上， 在圆 上
则 的最大值为 ，B符合题意；
两圆圆心所在的直线斜率为 ，C符合题意；
因为两圆外切，故两圆没有相交弦，D不符合题意。
故答案为：BC
【分析】利用圆的标准方程求出圆和圆 的圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式得出圆心距，从而得出圆心距与两圆半径的关系式，再利用两圆的位置关系的判断方法，从而推出两圆外切，再结合两圆的位置关系，从而判断出两圆有3条公切线；再利用点 在圆 上， 在圆 上，再结合几何法得出 的最大值；再利用两点求斜率公式得出两圆圆心所在的直线斜率；再利用两圆外切，从而得出两圆没有相交弦，进而找出正确的选项。
11.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
C. 在四面体 中，若 ， ，则 ；
D. 若向量 ， ， 是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底.
【答案】 A,C,D
【考点】向量的共线定理，平面向量的基本定理及其意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A：若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 ，A符合题意；
对于B：若非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 不一定共线，B不符合题意；
对于C：因为 ， ，
所以 ，
，将上述两式相加得
，
所以 ，所以 ，C符合题意；
对于D：若向量 ， ， ，是空间一组基底，
则空间任意一个向量 ，存在唯一实数组 ，
使 ，
则 ， ， 也是空间的一组基底.D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合向量基底的判断方法、向量共线定理、向量垂直数量积为0的等价关系，从而找出正确的命题。
12.已知椭圆 ： 上有一点 ， ､ 分别为左､右焦点， ， 的面积为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则满足题意的点 有四个
C. 椭圆 内接矩形周长的最大值为20 D. 若 为钝角三角形，则
【答案】 B,C,D
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】∵椭圆 ： ，
∴ ，∴ ， ，
设 ，则 ， ，
若 ，则 ，所以 不存在，A不符合题意；
若 ，则 ，可得 ，故满足题意的点 有四个，B符合题意；
设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，
则椭圆 内接矩形周长为 其中 ，
由 得 ，
∴椭圆 内接矩形周长的范围为 ，即 ，C符合题意；
由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，
先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，此时 ，
当 为钝角三角形时， ，所以 ，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用椭圆 ： 得出a,b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再结合椭圆的定义和焦距的定义，得出 的值，设 ，再利用三角形的面积公式，得出 ， ，再利用分类讨论的方法结合已知条件，若 ，则 ，所以三角形 不存在；若 ，从而得出满足题意的点 有四个；设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，再结合矩形的周长公式和辅助角公式，从而得出椭圆 内接矩形周长为 其中 ，再由 结合正弦型函数的图像求值域的方法，得出椭圆 内接矩形周长的范围；由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，从而结合三角形面积公式，进而求出此时三角形 的面积，当 为钝角三角形时， ，从而结合三角形面积公式，得出三角形 的面积 的取值范围，进而找出正确的选项。
三、填空题
13.已知直线 的向上方向与 轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为 .
【答案】
【考点】直线的倾斜角，直线的斜率
【解析】【解答】因为直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线的斜率为 。
故答案为： 。
【分析】直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，再结合直线的斜率与倾斜角的关系式，从而求出直线的斜率。
14.已知 ， 为双曲线 的左右焦点，点 在双曲线上，满足 ，求 的面积为 .
【答案】
【考点】双曲线的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意得 ，
又因为 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】由题意得 ，再利用双曲线定义，解方程组求出 ， 的值 ，再利用 ，从而结合勾股定理推出 ， 再利用三角形面积公式得出三角形 的面积。
15.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】 34
【考点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
又 ，所以 ，化简可得 ，
其中 ， 表示以 为圆心， 为半径的圆的一部分，
代表圆上一点到原点距离平方的一半，如图所示，
的最大值为 。
故答案为：34。
【分析】设 ，则 ， ，再利用 ，所以化简可得 ，其中 ， 表示以 为圆心， 为半径的圆的一部分， 代表圆上一点到原点距离平方的一半，进而结合几何法求出实数 的最大值。
16.已知A、B是抛物线 上异于坐标原点O的两点，满足 ，且 面积的最小值为36，则正实数P＝ ；若OD⊥AB交AB于点D，若 为定值，则点Q的坐标为 ．
【答案】 3；（3，0）
【考点】抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ，因为 ，即 ，两边平方化简得 ，
所以 ，所以 ，即 ，解得 （ 舍去），
设直线AB： ，联立 得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又
，解得 ，
又因为 ，所以：直线AB为 恒过定点 ，
因为 ，所以 ，所以点D在以点 ， 为直径的圆上，设圆心Q，则 ，半径 ，所以 为定值， ，进而求出点Q的坐标为。
故答案为：3； 。
【分析】设 ，再利用平行四边形法则和三角形法则，得出 ，两边平方化简得 ，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，再利用数量积的坐标表示，得出 （ 舍去），设直线AB的斜截式方程为： ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ，所以 ，再利用三角形面积公式结合二次函数求最值的方法，得出三角形 面积的最小值，再利用三角形 面积的最小值为36 ，从而求出p的值，再利用t和p的关系式，从而求出t的值，进而求出直线AB为 恒过定点M的坐标，再利用 ，所以 ，所以点D在以点 ， 为直径的圆上，设圆心Q，再利用代入法和两点求距离公式和直径与半径的关系，从而得出 为定值，所以 ， 进而求出点Q的坐标为。
四、解答题
17.直线 经过两直线 ： 和 ： 的交点.
（1）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；
（2）若点 到直线 的距离为5，求直线 的方程.
【答案】 （1）解：直线 方程与 方程联立 ,得交点坐标为
设直线 的方程为： ，代入交点 得 ，
所以 的方程为
（2）解：当直线 的斜率不存在时，得 的方程为： ，符合条件.
当 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
根据 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
综上所述， 为 或
【考点】直线的一般式方程，直线的一般式方程与直线的平行关系，两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件，将两直线联立求出交点坐标，再利用两直线平行斜率相等，从而求出所求直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线 的方程。
（2） 利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线 的斜率不存在时，结合已知条件求出直线 的方程，符合条件；当 斜率存在时，设直线 的点斜式方程为： ，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而求出直线 的方程。
18.已知点 ，圆 ： .
（1）若过点 的圆 的切线只有一条，求实数 的值及切线方程；
（2）若过点 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值.
【答案】 （1）解：若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，即 ，解得 ，
当 时， ，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；
当 时， ，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；
（2）解：设圆心到直线的距离为 ，则 ，
当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得： ，
又因为 ，计算得： ，所以 .
当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，
所以 ，又因为 ，计算得： （舍）或 ，所以 .
综上所述， 或 .
【考点】圆的切线方程，直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1) 若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，再结合代入法得出a的值，再结合分类讨论的方法结合两点求斜率公式，得出直线OA的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出切线的斜率，再结合点斜式求出切线的方程，再转化为切线的一般式方程。
（2） 设圆心到直线的距离为 ，再利用勾股定理得出d的值，再利用分类讨论的方法，当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得出 ，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，进而求出实数a的值；当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，再利用点到直线的距离公式得出t的值，进而求出实数a的值。
19.如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面垂直，且 ， ， ､ 分别是 ､ 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
【答案】 （1）证明：以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
又 ，所以 为 的中点， ，
因为 ，且易知平面 的一个法向量为 ，
，
所以 ，
所以 面 ；
（2）解： ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ，则 ，
又平面 的一个法向量 ，
设 为平面 与平面 所成的锐二面角，则 .
因此，平面 与平面 所成二面角的余弦值是 .
【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，再结合已知条件，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用中点的性质和法向量的定义，所以平面 的一个法向量为 ，再利用 结合数量积的坐标表示得出 ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出 ，进而证出 面 。
（2）由已知条件结合向量的坐标表示，得出 ， ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而得出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，设 为平面 与平面 所成的锐二面角，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面 与平面 所成二面角的余弦值。
20.如图，椭圆 ： 的离心率是 ，点 在短轴 上，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 ､ 两点，求 面积的最大值.
【答案】 （1）解：由已知 ，则
由题意得： 得 ，
所以 的方程为
（2）解：由已知可得 的斜率必存在，设 的方程为： ， ， ，
直线 与椭圆方程联立得： ，整理得： ，
由 可得
所以
令 ，
所以 ，
当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆 ： 的离心率是 结合椭圆的离心率公式，得出a,c的关系式，再利用点 在短轴 上，且 ，再结合数量积的坐标表示，得出b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,c的值，进而求出椭圆E的标准方程。
（2） 由已知可得 的斜率必存在，设 的斜截式方程为： ， ， ，再利用直线与椭圆相交，将直线 与椭圆方程联立结合判别式法和韦达定理，得出 和 ， 再结合三角形的面积公式，得出 ， 令 ， ， 再结合均值不等式求最值的方法，得出三角形 面积的最大值。
21.如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 上的动点，且 .
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求 与面 所成角的正弦值.
【答案】 （1）证明：如图：以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，则 ， ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，可得 .
（2）解： ，
当且仅当 即 时 最大，
所以当 ､ 分别为 ， 中点时体积最大，
设面 的法向量为 ，
， ， ，
由 ，令 可得 ， ，
所以面 的法向量为 ，
设 与面 所成角为 ，
则 ，
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示，得出 ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，从而证出 。
（2）利用已知条件结合三棱锥的体积公式和均值不等式求最值的方法，得出当 时， 最大，所以当 ､ 分别为 ， 中点时体积最大，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面 的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，从而求出当三棱锥 的体积取得最大值时的直线 与面 所成角的正弦值。
22.已知点 是曲线 上任意一点，点 到点 的距离与到直线 轴的距离之差为1.
（1）求曲线 的方程；
（2）设直线 ， 为曲线 的两条互相垂直切线，切点为A， ，交点为点 .
（i）求点 的轨迹方程；
（ii）求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
【答案】 （1）解：设 ，则当 时， ，所以 ，当x>0时化简得 ；当 时，由题意得 ，所以曲线 的方程为： 或 .
（2）解：(i)当 时，不合题意，故设 ， ，则过点A的切线为： ，同理可得过点 的切线为： .根据 可得 .
所以联立两条切线方程 可得 ，所以 的轨迹为
(ii)由题意可得 的直线方程为： ，
所以必过
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设 ，则当 时， ，再利用两点距离公式结合分类讨论的方法，从而求出曲线C的方程。
（2） （i） 当 时，不合题意，故设 ， ，则过点A的切线的斜截式方程为： ，同理可得过点 的切线斜截式方程为： ，再根据 结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得 ，所以联立两条切线方程 可得点交M的横坐标，进而求出点 的轨迹；
(ii)由题意可得 的直线方程，再结合点斜式求出直线AB过的定点坐标。
浙江省A9协作体2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线 恒过一定点，则此定点为（ ）
A. B. C. D.
2.已知 且 ,则x的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.若直线 与 互相垂直，则 （ ）
A. -2 B. 1 C. -1或2 D. -1或-2
4.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是 ，则它的离心率为（ ）
A. B. C. 或 D. 不确定
5.若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
6.如图，在三棱柱 中， 与 相交于点 ， ， ， ， ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
7.设 ，点 ，过点 引圆 的两条切线 ， ，若 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
8.已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.已知双曲线C： ，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为
10.点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则（ ）
A. 两圆有且仅有两条公切线 B. 的最大值为10
C. 两个圆心所在直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线方程为
11.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
C. 在四面体 中，若 ， ，则 ；
D. 若向量 ， ， 是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底.
12.已知椭圆 ： 上有一点 ， ､ 分别为左､右焦点， ， 的面积为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则满足题意的点 有四个
C. 椭圆 内接矩形周长的最大值为20 D. 若 为钝角三角形，则
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知直线 的向上方向与 轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为 .
14.已知 ， 为双曲线 的左右焦点，点 在双曲线上，满足 ，求 的面积为 .
15.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 .
16.已知A、B是抛物线 上异于坐标原点O的两点，满足 ，且 面积的最小值为36，则正实数P＝ ；若OD⊥AB交AB于点D，若 为定值，则点Q的坐标为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.直线 经过两直线 ： 和 ： 的交点.
（1）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；
（2）若点 到直线 的距离为5，求直线 的方程.
18.已知点 ，圆 ： .
（1）若过点 的圆 的切线只有一条，求实数 的值及切线方程；
（2）若过点 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值.
19.如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面垂直，且 ， ， ､ 分别是 ､ 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
20.如图，椭圆 ： 的离心率是 ，点 在短轴 上，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 ､ 两点，求 面积的最大值.
21.如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 上的动点，且 .
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求 与面 所成角的正弦值.
22.已知点 是曲线 上任意一点，点 到点 的距离与到直线 轴的距离之差为1.
（1）求曲线 的方程；
（2）设直线 ， 为曲线 的两条互相垂直切线，切点为A， ，交点为点 .
（i）求点 的轨迹方程；
（ii）求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
答案解析部分
浙江省A9协作体2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1.直线 恒过一定点，则此定点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】恒过定点的直线
【解析】【解答】直线 可变形为： ，
由直线的点斜式方程可知：直线恒过定点 。
故答案为：A
【分析】将直线 变形为直线的点斜式方程，从而求出直线恒过的定点坐标。
2.已知 且 ,则x的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】 C
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】因为
所以 ,解得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示，从而求出实数x的值。
3.若直线 与 互相垂直，则 （ ）
A. -2 B. 1 C. -1或2 D. -1或-2
【答案】 D
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】∵直线 与 互相垂直，
∴ 解得 或 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。
4.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是 ，则它的离心率为（ ）
A. B. C. 或 D. 不确定
【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线方程是 ，当焦点在 轴上时， ， ；当焦点在 轴上时， ，故离心率为 或 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合双曲线中a,b,c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
5.若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
【答案】 C
【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】因为直线 和圆 没有交点，
所以圆心 到直线 的距离 ，
可得： ，
即点 在圆 内，
又因为圆 内切于椭圆 ，
所以点 在椭圆 内，
即过点 的直线与椭圆 有两个交点。
故答案为：C.
【分析】利用直线 和圆 没有交点，再结合直线与圆相交位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，从而得出 ，再结合点与圆的位置关系，从而判断出点 在圆 内，再利用圆 内切于椭圆 ，所以点 在椭圆 内，从而得出过点 的直线与椭圆 的交点个数。
6.如图，在三棱柱 中， 与 相交于点 ， ， ， ， ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】三棱柱 中， ，
因为 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点， ，
所以 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，则线段 的长度为 。
故答案为：A
【分析】在三棱柱 中， ，再利用 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点，再结合中点的性质和平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出 ，所以 ，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而得出线段 的长度。
7.设 ，点 ，过点 引圆 的两条切线 ， ，若 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】 B
【考点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】根据题意，设直线 ，圆心为 ，
如图，集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），
要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，
此时 ， ，
故 。
故答案为：B.
【分析】根据题意，设直线 ，再利用圆的标准方程求出圆心坐标，再结合已知条件得出集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式得出MP的长，再结合角之间的关系得出 的值，再利用正弦函数的定义，从而求出r的值。
8.已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】 D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线 ： 可知焦点为 ，
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，
由抛物线的定义可知
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时取等号。
故答案为：D
【分析】由抛物线 ： 可知焦点F的坐标，设直线 的点斜式方程为 ，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， 由抛物线的定义可知 从而得出 ，再结合均值不等式求最值的方法，从而得出 的最小值。
二、多选题
9.已知双曲线C： ，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为
【答案】 B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵双曲线C： ∴ . .∴ ∴ .∴双曲线的实轴长是 ，虚轴长是 ，A不符合题意；焦距为 .B符合题意；离心率为 ，C不符合题意：渐近线方程为 ，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用双曲线的长轴长和短轴长的定义，从而得出实轴长和虚轴长的关系；再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出双曲线的焦距；再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；再利用双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线，进而找出双曲线C判断正确的选项。
10.点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则（ ）
A. 两圆有且仅有两条公切线 B. 的最大值为10
C. 两个圆心所在直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线方程为
【答案】 B,C
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 的圆心坐标 ，半径
圆 ，即 的圆心坐标 ，半径
因为圆心距 ，
所以两圆外切，
所以两圆有3条公切线，A不符合题意；
又 在圆 上， 在圆 上
则 的最大值为 ，B符合题意；
两圆圆心所在的直线斜率为 ，C符合题意；
因为两圆外切，故两圆没有相交弦，D不符合题意。
故答案为：BC
【分析】利用圆的标准方程求出圆和圆 的圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式得出圆心距，从而得出圆心距与两圆半径的关系式，再利用两圆的位置关系的判断方法，从而推出两圆外切，再结合两圆的位置关系，从而判断出两圆有3条公切线；再利用点 在圆 上， 在圆 上，再结合几何法得出 的最大值；再利用两点求斜率公式得出两圆圆心所在的直线斜率；再利用两圆外切，从而得出两圆没有相交弦，进而找出正确的选项。
11.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
C. 在四面体 中，若 ， ，则 ；
D. 若向量 ， ， 是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底.
【答案】 A,C,D
【考点】向量的共线定理，平面向量的基本定理及其意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A：若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 ，A符合题意；
对于B：若非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 不一定共线，B不符合题意；
对于C：因为 ， ，
所以 ，
，将上述两式相加得
，
所以 ，所以 ，C符合题意；
对于D：若向量 ， ， ，是空间一组基底，
则空间任意一个向量 ，存在唯一实数组 ，
使 ，
则 ， ， 也是空间的一组基底.D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合向量基底的判断方法、向量共线定理、向量垂直数量积为0的等价关系，从而找出正确的命题。
12.已知椭圆 ： 上有一点 ， ､ 分别为左､右焦点， ， 的面积为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则满足题意的点 有四个
C. 椭圆 内接矩形周长的最大值为20 D. 若 为钝角三角形，则
【答案】 B,C,D
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】∵椭圆 ： ，
∴ ，∴ ， ，
设 ，则 ， ，
若 ，则 ，所以 不存在，A不符合题意；
若 ，则 ，可得 ，故满足题意的点 有四个，B符合题意；
设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，
则椭圆 内接矩形周长为 其中 ，
由 得 ，
∴椭圆 内接矩形周长的范围为 ，即 ，C符合题意；
由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，
先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，此时 ，
当 为钝角三角形时， ，所以 ，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用椭圆 ： 得出a,b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再结合椭圆的定义和焦距的定义，得出 的值，设 ，再利用三角形的面积公式，得出 ， ，再利用分类讨论的方法结合已知条件，若 ，则 ，所以三角形 不存在；若 ，从而得出满足题意的点 有四个；设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，再结合矩形的周长公式和辅助角公式，从而得出椭圆 内接矩形周长为 其中 ，再由 结合正弦型函数的图像求值域的方法，得出椭圆 内接矩形周长的范围；由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，从而结合三角形面积公式，进而求出此时三角形 的面积，当 为钝角三角形时， ，从而结合三角形面积公式，得出三角形 的面积 的取值范围，进而找出正确的选项。
三、填空题
13.已知直线 的向上方向与 轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为 .
【答案】
【考点】直线的倾斜角，直线的斜率
【解析】【解答】因为直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线的斜率为 。
故答案为： 。
【分析】直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，再结合直线的斜率与倾斜角的关系式，从而求出直线的斜率。
14.已知 ， 为双曲线 的左右焦点，点 在双曲线上，满足 ，求 的面积为 .
【答案】
【考点】双曲线的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意得 ，
又因为 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】由题意得 ，再利用双曲线定义，解方程组求出 ， 的值 ，再利用 ，从而结合勾股定理推出 ， 再利用三角形面积公式得出三角形 的面积。
15.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】 34
【考点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
又 ，所以 ，化简可得 ，
其中 ， 表示以 为圆心， 为半径的圆的一部分，
代表圆上一点到原点距离平方的一半，如图所示，
的最大值为 。
故答案为：34。
【分析】设 ，则 ， ，再利用 ，所以化简可得 ，其中 ， 表示以 为圆心， 为半径的圆的一部分， 代表圆上一点到原点距离平方的一半，进而结合几何法求出实数 的最大值。
16.已知A、B是抛物线 上异于坐标原点O的两点，满足 ，且 面积的最小值为36，则正实数P＝ ；若OD⊥AB交AB于点D，若 为定值，则点Q的坐标为 ．
【答案】 3；（3，0）
【考点】抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ，因为 ，即 ，两边平方化简得 ，
所以 ，所以 ，即 ，解得 （ 舍去），
设直线AB： ，联立 得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又
，解得 ，
又因为 ，所以：直线AB为 恒过定点 ，
因为 ，所以 ，所以点D在以点 ， 为直径的圆上，设圆心Q，则 ，半径 ，所以 为定值， ，进而求出点Q的坐标为。
故答案为：3； 。
【分析】设 ，再利用平行四边形法则和三角形法则，得出 ，两边平方化简得 ，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，再利用数量积的坐标表示，得出 （ 舍去），设直线AB的斜截式方程为： ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ，所以 ，再利用三角形面积公式结合二次函数求最值的方法，得出三角形 面积的最小值，再利用三角形 面积的最小值为36 ，从而求出p的值，再利用t和p的关系式，从而求出t的值，进而求出直线AB为 恒过定点M的坐标，再利用 ，所以 ，所以点D在以点 ， 为直径的圆上，设圆心Q，再利用代入法和两点求距离公式和直径与半径的关系，从而得出 为定值，所以 ， 进而求出点Q的坐标为。
四、解答题
17.直线 经过两直线 ： 和 ： 的交点.
（1）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；
（2）若点 到直线 的距离为5，求直线 的方程.
【答案】 （1）解：直线 方程与 方程联立 ,得交点坐标为
设直线 的方程为： ，代入交点 得 ，
所以 的方程为
（2）解：当直线 的斜率不存在时，得 的方程为： ，符合条件.
当 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
根据 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
综上所述， 为 或
【考点】直线的一般式方程，直线的一般式方程与直线的平行关系，两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件，将两直线联立求出交点坐标，再利用两直线平行斜率相等，从而求出所求直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线 的方程。
（2） 利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线 的斜率不存在时，结合已知条件求出直线 的方程，符合条件；当 斜率存在时，设直线 的点斜式方程为： ，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而求出直线 的方程。
18.已知点 ，圆 ： .
（1）若过点 的圆 的切线只有一条，求实数 的值及切线方程；
（2）若过点 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值.
【答案】 （1）解：若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，即 ，解得 ，
当 时， ，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；
当 时， ，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；
（2）解：设圆心到直线的距离为 ，则 ，
当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得： ，
又因为 ，计算得： ，所以 .
当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，
所以 ，又因为 ，计算得： （舍）或 ，所以 .
综上所述， 或 .
【考点】圆的切线方程，直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1) 若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，再结合代入法得出a的值，再结合分类讨论的方法结合两点求斜率公式，得出直线OA的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出切线的斜率，再结合点斜式求出切线的方程，再转化为切线的一般式方程。
（2） 设圆心到直线的距离为 ，再利用勾股定理得出d的值，再利用分类讨论的方法，当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得出 ，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，进而求出实数a的值；当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，再利用点到直线的距离公式得出t的值，进而求出实数a的值。
19.如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面垂直，且 ， ， ､ 分别是 ､ 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
【答案】 （1）证明：以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
又 ，所以 为 的中点， ，
因为 ，且易知平面 的一个法向量为 ，
，
所以 ，
所以 面 ；
（2）解： ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ，则 ，
又平面 的一个法向量 ，
设 为平面 与平面 所成的锐二面角，则 .
因此，平面 与平面 所成二面角的余弦值是 .
【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，再结合已知条件，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用中点的性质和法向量的定义，所以平面 的一个法向量为 ，再利用 结合数量积的坐标表示得出 ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出 ，进而证出 面 。
（2）由已知条件结合向量的坐标表示，得出 ， ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而得出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，设 为平面 与平面 所成的锐二面角，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面 与平面 所成二面角的余弦值。
20.如图，椭圆 ： 的离心率是 ，点 在短轴 上，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 ､ 两点，求 面积的最大值.
【答案】 （1）解：由已知 ，则
由题意得： 得 ，
所以 的方程为
（2）解：由已知可得 的斜率必存在，设 的方程为： ， ， ，
直线 与椭圆方程联立得： ，整理得： ，
由 可得
所以
令 ，
所以 ，
当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆 ： 的离心率是 结合椭圆的离心率公式，得出a,c的关系式，再利用点 在短轴 上，且 ，再结合数量积的坐标表示，得出b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,c的值，进而求出椭圆E的标准方程。
（2） 由已知可得 的斜率必存在，设 的斜截式方程为： ， ， ，再利用直线与椭圆相交，将直线 与椭圆方程联立结合判别式法和韦达定理，得出 和 ， 再结合三角形的面积公式，得出 ， 令 ， ， 再结合均值不等式求最值的方法，得出三角形 面积的最大值。
21.如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 上的动点，且 .
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求 与面 所成角的正弦值.
【答案】 （1）证明：如图：以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，则 ， ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，可得 .
（2）解： ，
当且仅当 即 时 最大，
所以当 ､ 分别为 ， 中点时体积最大，
设面 的法向量为 ，
， ， ，
由 ，令 可得 ， ，
所以面 的法向量为 ，
设 与面 所成角为 ，
则 ，
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示，得出 ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，从而证出 。
（2）利用已知条件结合三棱锥的体积公式和均值不等式求最值的方法，得出当 时， 最大，所以当 ､ 分别为 ， 中点时体积最大，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面 的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，从而求出当三棱锥 的体积取得最大值时的直线 与面 所成角的正弦值。
22.已知点 是曲线 上任意一点，点 到点 的距离与到直线 轴的距离之差为1.
（1）求曲线 的方程；
（2）设直线 ， 为曲线 的两条互相垂直切线，切点为A， ，交点为点 .
（i）求点 的轨迹方程；
（ii）求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
【答案】 （1）解：设 ，则当 时， ，所以 ，当x>0时化简得 ；当 时，由题意得 ，所以曲线 的方程为： 或 .
（2）解：(i)当 时，不合题意，故设 ， ，则过点A的切线为： ，同理可得过点 的切线为： .根据 可得 .
所以联立两条切线方程 可得 ，所以 的轨迹为
(ii)由题意可得 的直线方程为： ，
所以必过
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设 ，则当 时， ，再利用两点距离公式结合分类讨论的方法，从而求出曲线C的方程。
（2） （i） 当 时，不合题意，故设 ， ，则过点A的切线的斜截式方程为： ，同理可得过点 的切线斜截式方程为： ，再根据 结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得 ，所以联立两条切线方程 可得点交M的横坐标，进而求出点 的轨迹；
(ii)由题意可得 的直线方程，再结合点斜式求出直线AB过的定点坐标。
浙江省A9协作体2021-2022学年高二上学期数学期中联考试卷
一、单选题
1.直线 恒过一定点，则此定点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】恒过定点的直线
【解析】【解答】直线 可变形为： ，
由直线的点斜式方程可知：直线恒过定点 。
故答案为：A
【分析】将直线 变形为直线的点斜式方程，从而求出直线恒过的定点坐标。
2.已知 且 ,则x的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】 C
【考点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】因为
所以 ,解得 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示，从而求出实数x的值。
3.若直线 与 互相垂直，则 （ ）
A. -2 B. 1 C. -1或2 D. -1或-2
【答案】 D
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【解答】∵直线 与 互相垂直，
∴ 解得 或 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出实数a的值。
4.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线方程是 ，则它的离心率为（ ）
A. B. C. 或 D. 不确定
【答案】 C
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的一条渐近线方程是 ，当焦点在 轴上时， ， ；当焦点在 轴上时， ，故离心率为 或 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，从而结合双曲线中a,b,c三者的关系式和双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率。
5.若直线 和圆 没有公共点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
【答案】 C
【考点】直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】因为直线 和圆 没有交点，
所以圆心 到直线 的距离 ，
可得： ，
即点 在圆 内，
又因为圆 内切于椭圆 ，
所以点 在椭圆 内，
即过点 的直线与椭圆 有两个交点。
故答案为：C.
【分析】利用直线 和圆 没有交点，再结合直线与圆相交位置关系判断方法结合点到直线的距离公式，从而得出 ，再结合点与圆的位置关系，从而判断出点 在圆 内，再利用圆 内切于椭圆 ，所以点 在椭圆 内，从而得出过点 的直线与椭圆 的交点个数。
6.如图，在三棱柱 中， 与 相交于点 ， ， ， ， ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 A
【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】三棱柱 中， ，
因为 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点， ，
所以 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，则线段 的长度为 。
故答案为：A
【分析】在三棱柱 中， ，再利用 与 相交于点 ，所以 是 与 的中点，再结合中点的性质和平行四边形法则以及三角形法则，从而利用平面向量基本定理得出 ，所以 ，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的定义，从而得出线段 的长度。
7.设 ，点 ，过点 引圆 的两条切线 ， ，若 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】 B
【考点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】根据题意，设直线 ，圆心为 ，
如图，集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），
要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，
此时 ， ，
故 。
故答案为：B.
【分析】根据题意，设直线 ，再利用圆的标准方程求出圆心坐标，再结合已知条件得出集合 表示直线 的左下方区域（包括直线），要使 最大，则必有 最小，可得 的最小值为 到直线 的距离，再利用点到直线的距离公式得出MP的长，再结合角之间的关系得出 的值，再利用正弦函数的定义，从而求出r的值。
8.已知抛物线 ： 和圆 ： ，过 点作直线 与上述两曲线自左而右依次交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】 D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，抛物线的定义
【解析】【解答】由抛物线 ： 可知焦点为 ，
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，
由抛物线的定义可知
∴ ，
∴ ，
当且仅当 时取等号。
故答案为：D
【分析】由抛物线 ： 可知焦点F的坐标，设直线 的点斜式方程为 ，设 ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出 ， 由抛物线的定义可知 从而得出 ，再结合均值不等式求最值的方法，从而得出 的最小值。
二、多选题
9.已知双曲线C： ，下列对双曲线C判断正确的是（ ）
A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为4 C. 离心率为 D. 渐近线方程为
【答案】 B,D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵双曲线C： ∴ . .∴ ∴ .∴双曲线的实轴长是 ，虚轴长是 ，A不符合题意；焦距为 .B符合题意；离心率为 ，C不符合题意：渐近线方程为 ，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而求出a,b的值，再利用双曲线的长轴长和短轴长的定义，从而得出实轴长和虚轴长的关系；再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，进而求出双曲线的焦距；再利用双曲线的离心率公式，从而求出双曲线的离心率；再利用双曲线的渐近线方程求解方法得出双曲线的渐近线，进而找出双曲线C判断正确的选项。
10.点 在圆 ： 上，点 在圆 ： 上，则（ ）
A. 两圆有且仅有两条公切线 B. 的最大值为10
C. 两个圆心所在直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线方程为
【答案】 B,C
【考点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】圆 的圆心坐标 ，半径
圆 ，即 的圆心坐标 ，半径
因为圆心距 ，
所以两圆外切，
所以两圆有3条公切线，A不符合题意；
又 在圆 上， 在圆 上
则 的最大值为 ，B符合题意；
两圆圆心所在的直线斜率为 ，C符合题意；
因为两圆外切，故两圆没有相交弦，D不符合题意。
故答案为：BC
【分析】利用圆的标准方程求出圆和圆 的圆心坐标和半径长，再利用两点距离公式得出圆心距，从而得出圆心距与两圆半径的关系式，再利用两圆的位置关系的判断方法，从而推出两圆外切，再结合两圆的位置关系，从而判断出两圆有3条公切线；再利用点 在圆 上， 在圆 上，再结合几何法得出 的最大值；再利用两点求斜率公式得出两圆圆心所在的直线斜率；再利用两圆外切，从而得出两圆没有相交弦，进而找出正确的选项。
11.下列命题中，正确的有（ ）
A. 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ；
C. 在四面体 中，若 ， ，则 ；
D. 若向量 ， ， 是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的一组基底.
【答案】 A,C,D
【考点】向量的共线定理，平面向量的基本定理及其意义，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】对于A：若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 ，A符合题意；
对于B：若非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 不一定共线，B不符合题意；
对于C：因为 ， ，
所以 ，
，将上述两式相加得
，
所以 ，所以 ，C符合题意；
对于D：若向量 ， ， ，是空间一组基底，
则空间任意一个向量 ，存在唯一实数组 ，
使 ，
则 ， ， 也是空间的一组基底.D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合向量基底的判断方法、向量共线定理、向量垂直数量积为0的等价关系，从而找出正确的命题。
12.已知椭圆 ： 上有一点 ， ､ 分别为左､右焦点， ， 的面积为 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则满足题意的点 有四个
C. 椭圆 内接矩形周长的最大值为20 D. 若 为钝角三角形，则
【答案】 B,C,D
【考点】椭圆的应用
【解析】【解答】∵椭圆 ： ，
∴ ，∴ ， ，
设 ，则 ， ，
若 ，则 ，所以 不存在，A不符合题意；
若 ，则 ，可得 ，故满足题意的点 有四个，B符合题意；
设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，
则椭圆 内接矩形周长为 其中 ，
由 得 ，
∴椭圆 内接矩形周长的范围为 ，即 ，C符合题意；
由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，
先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，此时 ，
当 为钝角三角形时， ，所以 ，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用椭圆 ： 得出a,b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出c的值，再结合椭圆的定义和焦距的定义，得出 的值，设 ，再利用三角形的面积公式，得出 ， ，再利用分类讨论的方法结合已知条件，若 ，则 ，所以三角形 不存在；若 ，从而得出满足题意的点 有四个；设椭圆 内接矩形的一个顶点为 ，再结合矩形的周长公式和辅助角公式，从而得出椭圆 内接矩形周长为 其中 ，再由 结合正弦型函数的图像求值域的方法，得出椭圆 内接矩形周长的范围；由上知 不可能为钝角，由对称性不妨设 是钝角，先考虑临界情况，当 为直角时，易得 ，从而结合三角形面积公式，进而求出此时三角形 的面积，当 为钝角三角形时， ，从而结合三角形面积公式，得出三角形 的面积 的取值范围，进而找出正确的选项。
三、填空题
13.已知直线 的向上方向与 轴正向所成的角为60°，则直线的斜率为 .
【答案】
【考点】直线的倾斜角，直线的斜率
【解析】【解答】因为直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线的斜率为 。
故答案为： 。
【分析】直线 的向上方向与 轴正向所成的角为 ，所以直线 的倾斜角为 ，再结合直线的斜率与倾斜角的关系式，从而求出直线的斜率。
14.已知 ， 为双曲线 的左右焦点，点 在双曲线上，满足 ，求 的面积为 .
【答案】
【考点】双曲线的定义，三角形中的几何计算
【解析】【解答】由题意得 ，
又因为 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】由题意得 ，再利用双曲线定义，解方程组求出 ， 的值 ，再利用 ，从而结合勾股定理推出 ， 再利用三角形面积公式得出三角形 的面积。
15.已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】 34
【考点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
又 ，所以 ，化简可得 ，
其中 ， 表示以 为圆心， 为半径的圆的一部分，
代表圆上一点到原点距离平方的一半，如图所示，
的最大值为 。
故答案为：34。
【分析】设 ，则 ， ，再利用 ，所以化简可得 ，其中 ， 表示以 为圆心， 为半径的圆的一部分， 代表圆上一点到原点距离平方的一半，进而结合几何法求出实数 的最大值。
16.已知A、B是抛物线 上异于坐标原点O的两点，满足 ，且 面积的最小值为36，则正实数P＝ ；若OD⊥AB交AB于点D，若 为定值，则点Q的坐标为 ．
【答案】 3；（3，0）
【考点】抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设 ，因为 ，即 ，两边平方化简得 ，
所以 ，所以 ，即 ，解得 （ 舍去），
设直线AB： ，联立 得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又
，解得 ，
又因为 ，所以：直线AB为 恒过定点 ，
因为 ，所以 ，所以点D在以点 ， 为直径的圆上，设圆心Q，则 ，半径 ，所以 为定值， ，进而求出点Q的坐标为。
故答案为：3； 。
【分析】设 ，再利用平行四边形法则和三角形法则，得出 ，两边平方化简得 ，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，再利用数量积的坐标表示，得出 （ 舍去），设直线AB的斜截式方程为： ，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出 ，所以 ，再利用三角形面积公式结合二次函数求最值的方法，得出三角形 面积的最小值，再利用三角形 面积的最小值为36 ，从而求出p的值，再利用t和p的关系式，从而求出t的值，进而求出直线AB为 恒过定点M的坐标，再利用 ，所以 ，所以点D在以点 ， 为直径的圆上，设圆心Q，再利用代入法和两点求距离公式和直径与半径的关系，从而得出 为定值，所以 ， 进而求出点Q的坐标为。
四、解答题
17.直线 经过两直线 ： 和 ： 的交点.
（1）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；
（2）若点 到直线 的距离为5，求直线 的方程.
【答案】 （1）解：直线 方程与 方程联立 ,得交点坐标为
设直线 的方程为： ，代入交点 得 ，
所以 的方程为
（2）解：当直线 的斜率不存在时，得 的方程为： ，符合条件.
当 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
根据 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
综上所述， 为 或
【考点】直线的一般式方程，直线的一般式方程与直线的平行关系，两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件，将两直线联立求出交点坐标，再利用两直线平行斜率相等，从而求出所求直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线 的方程。
（2） 利用已知条件结合分类讨论的方法，当直线 的斜率不存在时，结合已知条件求出直线 的方程，符合条件；当 斜率存在时，设直线 的点斜式方程为： ，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，从而求出直线 的方程。
18.已知点 ，圆 ： .
（1）若过点 的圆 的切线只有一条，求实数 的值及切线方程；
（2）若过点 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值.
【答案】 （1）解：若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，即 ，解得 ，
当 时， ，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；
当 时， ，则切线斜率为 ，则切线方程为 ，即 ；
（2）解：设圆心到直线的距离为 ，则 ，
当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得： ，
又因为 ，计算得： ，所以 .
当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，
所以 ，又因为 ，计算得： （舍）或 ，所以 .
综上所述， 或 .
【考点】圆的切线方程，直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1) 若过点 的圆 的切线只有一条，则 在圆上，再结合代入法得出a的值，再结合分类讨论的方法结合两点求斜率公式，得出直线OA的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出切线的斜率，再结合点斜式求出切线的方程，再转化为切线的一般式方程。
（2） 设圆心到直线的距离为 ，再利用勾股定理得出d的值，再利用分类讨论的方法，当直线过原点时，设直线方程为 ，将 代入直线中得出 ，再利用点到直线的距离公式得出直线的斜率，进而求出实数a的值；当直线不过原点时，设直线为 ，将 代入直线中得 ，再利用点到直线的距离公式得出t的值，进而求出实数a的值。
19.如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面垂直，且 ， ， ､ 分别是 ､ 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
【答案】 （1）证明：以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
又 ，所以 为 的中点， ，
因为 ，且易知平面 的一个法向量为 ，
，
所以 ，
所以 面 ；
（2）解： ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，得 ，则 ，
又平面 的一个法向量 ，
设 为平面 与平面 所成的锐二面角，则 .
因此，平面 与平面 所成二面角的余弦值是 .
【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系 ，再结合已知条件，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用中点的性质和法向量的定义，所以平面 的一个法向量为 ，再利用 结合数量积的坐标表示得出 ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，从而证出 ，进而证出 面 。
（2）由已知条件结合向量的坐标表示，得出 ， ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而得出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，设 为平面 与平面 所成的锐二面角，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面 与平面 所成二面角的余弦值。
20.如图，椭圆 ： 的离心率是 ，点 在短轴 上，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 ､ 两点，求 面积的最大值.
【答案】 （1）解：由已知 ，则
由题意得： 得 ，
所以 的方程为
（2）解：由已知可得 的斜率必存在，设 的方程为： ， ， ，
直线 与椭圆方程联立得： ，整理得： ，
由 可得
所以
令 ，
所以 ，
当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为
【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用椭圆 ： 的离心率是 结合椭圆的离心率公式，得出a,c的关系式，再利用点 在短轴 上，且 ，再结合数量积的坐标表示，得出b的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,c的值，进而求出椭圆E的标准方程。
（2） 由已知可得 的斜率必存在，设 的斜截式方程为： ， ， ，再利用直线与椭圆相交，将直线 与椭圆方程联立结合判别式法和韦达定理，得出 和 ， 再结合三角形的面积公式，得出 ， 令 ， ， 再结合均值不等式求最值的方法，得出三角形 面积的最大值。
21.如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别是棱 ， 上的动点，且 .
（1）求证： ；
（2）当三棱锥 的体积取得最大值时，求 与面 所成角的正弦值.
【答案】 （1）证明：如图：以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，则 ， ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，可得 .
（2）解： ，
当且仅当 即 时 最大，
所以当 ､ 分别为 ， 中点时体积最大，
设面 的法向量为 ，
， ， ，
由 ，令 可得 ， ，
所以面 的法向量为 ，
设 与面 所成角为 ，
则 ，
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系，用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，设 ，则 ，从而求出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示，得出 ，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，所以 ，从而证出 。
（2）利用已知条件结合三棱锥的体积公式和均值不等式求最值的方法，得出当 时， 最大，所以当 ､ 分别为 ， 中点时体积最大，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面 的法向量，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，从而求出当三棱锥 的体积取得最大值时的直线 与面 所成角的正弦值。
22.已知点 是曲线 上任意一点，点 到点 的距离与到直线 轴的距离之差为1.
（1）求曲线 的方程；
（2）设直线 ， 为曲线 的两条互相垂直切线，切点为A， ，交点为点 .
（i）求点 的轨迹方程；
（ii）求证：直线 过定点，并求出定点坐标.
【答案】 （1）解：设 ，则当 时， ，所以 ，当x>0时化简得 ；当 时，由题意得 ，所以曲线 的方程为： 或 .
（2）解：(i)当 时，不合题意，故设 ， ，则过点A的切线为： ，同理可得过点 的切线为： .根据 可得 .
所以联立两条切线方程 可得 ，所以 的轨迹为
(ii)由题意可得 的直线方程为： ，
所以必过
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 设 ，则当 时， ，再利用两点距离公式结合分类讨论的方法，从而求出曲线C的方程。
（2） （i） 当 时，不合题意，故设 ， ，则过点A的切线的斜截式方程为： ，同理可得过点 的切线斜截式方程为： ，再根据 结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而可得 ，所以联立两条切线方程 可得点交M的横坐标，进而求出点 的轨迹；
(ii)由题意可得 的直线方程，再结合点斜式求出直线AB过的定点坐标。
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