2023长治二中校高二上学期第一次月考数学试题含答案

2022—2023学年第一学期高二第一次月考数学试题

【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．直线的倾斜角是

A．90°    B．30°    C．60°    D．不存在

2．直线的一个方向向量是，则的值为

A．     B．    C．    D．

3．直线必过定点

A．   B．    C．    D．

4．直线被圆截得的弦长为

A．4     B．    C．    D．2

5．若空间四点共面，则的值为

A．    B．2    C．1    D．

6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中（如图），AB⊥平面，且，则直线与平面所成的角为

A．30°    B．45°    C．60°    D．135°

7．直线的一个方向向量为，点 为直线外一点，点为直线上一点，则点到直线的距离为

A．1     B．2    C．3    D．4

8．圆和圆有三条公切线，若b,则的最小值为

A．4     B．6    C．8    D．10

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．是空间的一个基底，可以和构成基底的另一个向量可以是

A．    B．    C．   D．

10．已知点,若过点的直线与线段相交，则直线的倾斜角可以是

A．    B．    C．    D．

11．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是

A．      B． 

C．       D．

12．在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，其中，则下列说法正确的是

A．当时，三棱锥的体积为定值

B．当时，四棱锥的外接球的表面积是

C．的最小值为

D．存在唯一的实数对，使得平面

第Ⅱ卷（非选择题 90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置。

13．已知，则的值为　　       　．

14．直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的2倍，则直线的方程为　　   ．

15．圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆的方程为　 　．

16．已知点是圆上一点，则的范围是　 　  ．

四、解答题:本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(本题满分10分)

已知两条直线

（1）为何值时，；

（2）当与平行时，求直线与之间的距离.

18．(本题满分12分)

如图，已知平行六面体中，底面是边长为2的正方形，,，设

（1）用表示，并求；

（2）求AC1与BD所成角的大小.

19．(本题满分12分)

的三个顶点分别是

（1）求边上的中线所在直线的方程；

（2）求的外接圆的方程.

20．(本题满分12分）

在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，面,，且，分别为的中点.

（1）证明：//平面；

（2）求点到平面的距离.

21．(本题满分12分)

已知三棱锥（如图①）的平面展开图（如图②）中，四边形ABCD为边长为的正方形，和均为正三角形.

（1）证明：平面⊥平面；

（2）棱PA上是否存在一点M，使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

22．(本题满分12分）

长为的线段的两个端点A和B分别在轴和轴上滑动，线段AB的中点P的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程，并说明其形状；

（2）过点作两条直线分别与圆C交于两点，若直线的斜率之和为0，求证:直线PQ的斜率为定值，并求出该定值.

数学答案

一、单项选择题  1—8  ABAC  DBCA

二、多项选择题  9.ABCD 10.BC 11.AD 12.ACD

三、填空题13. 14.或 15. 16.

四、解答题

17. 解：（1）由题知当时，，解得．

（2）由，解得或．

当时，，此时，与重合，舍去；

当时，，此时，//，符合

此时，

18.解：（1），

．

（2）∵0

∴，因此AC1与BD所成角的大小为90°

19.解：（1）中点为，，由，

整理得边上的中线所在直线的方程为

（2）设的外接圆的方程为，则

，解得的外接圆的方程为

20.解：（1）证明：如图建立空间直角坐标系，则

A（0,0,0），E（0,0,2），N（1,0,1），M（1,2,0），F（0,2,1）

∵面∴是平面ABCD的一个法向量

∵，又NF⊄平面ABCD，所以NF∥平面ABCD

（2），设平面MNF的法向量为（x,y,z），则，取，

设点A到平面MNF的距离为d，则，所以点A到平面MNF的距离．

21.解：（1）设AC的中点为O，连接BO，PO．

由题意得，，PO＝AO＝BO＝CO＝2．

∵在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，

∵在△POB中，PO＝2，OB＝2，，PO2+OB2＝PB2，∴PO⊥OB

∵AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，

∵PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC

（Ⅱ）由PO⊥平面ABC，OB⊥AC，∴PO⊥OB，PO⊥OC，

如图建立空间直角坐标系，则O（0,0,0），C（2,0,0），

B（0,2,0），A（2,0,0），P（0,0,2），

设，则，∴

,设平面BCM的法向量为（x,y,z），则，取

同理可得平面PBC的一个法向量为（1，1，1）．设平面PBC与平面BCM所成角为，

则，解得或（舍去）

∴存在点M使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为，且.

22.解：（1）设，由题可知，，即,

整理可得曲线的方程为，其形状为以为圆心，以为半径的圆

（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率方程为，

设直线PM的方程为：，圆M的方程为：，

联立，整理可得：，

又圆C过点，设点，则，∴

设点，同理可得

所以，

直线PQ的斜率为定值，定值为1.