华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试课后练习题

这是一份华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试课后练习题，共18页。

2022-2023学年华东师大版八年级数学上册
第14章《勾股定理》单元达标测试题

一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
2．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（　　）
A．440m B．460m C．480m D．500m
3．若△ABC满足下列条件，则能判断其为直角三角形的选项有（　　）个．
（1）∠A＝∠B﹣∠C．（2）∠A：∠B：∠C＝1：1：2．（3）a：b：c＝1：1：2．（4）b2＝a2﹣c2
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若△ABC的三边长为a，b，c，满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　）
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m，若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的（　　）

A．北偏东75°的方向上 B．北偏东65°的方向上
C．北偏东55°的方向上 D．无法确定
7．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）

A．1 B．2021 C．2020 D．2019
8．如图所示，有一块长方形场地ABCD，长AB＝20m、宽AD＝10m，中间有一堵墙，高MN＝2m，一只蚂蚁要从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（　　）

A．20m B．24m C．25m D．26m
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，则BC边上的高是 　 　cm．
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，DE⊥AB于E，则DE＝　 　．

11．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为　 　．
12．有两棵树，如图，一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了　 　米．

13．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+（b﹣8）4+|c﹣10|＝0，则三角形的形状是　 　．
14．在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为 　 　．

16．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分56分）
17．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝9，CD＝8，AD＝17，求四边形ABCD的面积．

18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，BD为角平分线，求BD的长．

19．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？

20．如图，AB＝3，CB＝4，∠ABC＝90°，CD＝13，AD＝12．求该图形的面积．

21．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝12，AC＝20，求BE的长．

22．园林师老王在两条互相垂直的公路的拐角处承包了一块四边形苗圃地ABCD（如图）他测量后得到如下数据，AB＝18米，BC＝24米，CD＝26米，DA＝28米，且∠ABC＝90°，请你帮老王计算一下这块苗圃地的面积．


23．如图1长方形纸条ABCD，其中AD＝BC＝1，AB＝CD＝5，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，得到△MNK．如图2所示：
（1）若∠1＝70°，∠MKN＝　 　°；
（2）改变折痕MN位置，△KMN始终是　 　三角形，请说明理由；
（3）当△KMN的面积最小值时，∠1的大小可以为　 　°；
（4）当MK为多少时，△KMN的面积最大？并求出这个最大值．

24．阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积
从而得数学等式：　 　；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2+b2＝c2
【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为　 　；
【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．


参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A、∵1+2＝3，∴不能构成三角形，故本选项错误；
B、∵22+32＝13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+42＝20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵32+42＝25＝52，∴能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
2．解：根据已知数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝480m，
答：该河流的宽度为480m．
故选：C．
3．解：（1）∵△ABC中，∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
（2）∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∴可设∠A＝x，则∠B＝x，∠C＝2x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+x+2x＝180°，解得x＝45°，
∴∠C＝2x＝2×45°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
（3）∵△ABC中，a：b：c＝1：1：2，
∴设a＝x，则b＝x，c＝2x，
∵x2+x2＝2x2≠（2x）2，即a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故本小题不符合题意；
④∵△ABC中，b2＝a2﹣c2，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意．
故选：C．
4．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴（a﹣b）＝0或（a2+b2﹣c2）＝0，
分情况讨论：
①当（a﹣b）＝0，即a＝b，∴△ABC为等腰三角形，
②（a2+b2﹣c2）＝0，即a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，
综上所述：△ABC为等腰三角形或等腰三角形，故A、B、C错误，
故选：D．
5．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
6．解：∵3002+4002＝5002，
∴∠AOB＝90°，
∵超市在医院的南偏东25°的方向，
∴∠COB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠AOC＝90°﹣65°＝25°，
∴∠AOD＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．

7．解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B．

8．解：如图所示，将图展开，图形长度增加2个MN的长度，

即原图长度增加4米，
∴AB＝20+4＝24（米），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24米，宽AD＝10米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝26（米），
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26米的路程．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝8（cm），
在Rt△ABD中，AD＝＝＝6（cm），
故答案为：6．

10．解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，
∴AD＝＝12，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝∠BDA＝90°，
∴DE＝．
故答案为：．

11．解：设直角三角形的两直角边分别为3x，4x（x＞0），
根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2＝202，
∴x＝4或x＝﹣4（舍），
∴3x＝12，4x＝16
∴直角三角形的两直角边分别为12，16，
∴直角三角形的面积为×12×16＝96，
故答案为96．
12．解：如图，设大树高为AB＝13m，
小树高为CD＝8m，
过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，
连接AC，
∴EB＝8m，EC＝12m，AE＝AB﹣EB＝13﹣8＝5（m），
在Rt△AEC中，AC＝＝＝13（m）．
故小鸟至少飞行13m．
故答案为：13．

13．解：∵（a﹣6）2+（b﹣8）4+|c﹣10|＝0，
∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0，
∴a＝6，b＝8，c＝10，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
14．解：∵大正方形的面积是13，
∴c2＝13，
∴a2+b2＝c2＝13，
∵直角三角形的面积是＝3，
又∵直角三角形的面积是ab＝3，
∴ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．
故答案是：25．
15．解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
由翻折可知：∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，CE＝BC＝6，AF＝EF，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠DEF+∠DEC＝90°，即∠FEC＝90°，
∴EF2+CE2＝CF2，
设AF＝EF＝x，则CF＝AC﹣AF＝8﹣x，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴AF＝，
故答案为：．
16．解：观察发现，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
即S1+S2＝1，
同理S3+S4＝3．
则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．
故答案为：4．





三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：如图所示，连接AC，

∵∠B＝90°，
∴AC2＝AB2+BC2＝225＝152，
∵AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝289，
∴AC2+CD2＝AD2，且∠ACD是直角，
∴AC⊥CD，
∴S四边形ABCD
＝SRt△ABC+SRt△ACD
＝×12×9+×8×15
＝54+60
＝114．
18．解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ABC中，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
在△EBD和△CBD中，
，
∴△EBD≌△CBD（AAS），
∴BE＝BC＝6，
∴AE＝10﹣6＝4．
设DC＝ED＝x．
∵AC＝8，
∴AD＝8﹣x，
在Rt△AED中，根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CD＝3，
∴BD＝＝＝3．

19．解；在直角△ABC中，已知AB＝2.5m，BC＝0.7m，
则AC＝＝2.4m，
∵AC＝AA1+CA1
∴CA1＝2m，
∵在直角△A1B1C中，AB＝A1B1，且A1B1为斜边，
∴CB1＝＝1.5m，
∴BB1＝CB1﹣CB＝1.5﹣0.7＝0.8m
答：梯足向外移动了0.8m．
20．解：连接AC，
∵在Rt△ACB中，AB＝3，CB＝4，
∴AC＝＝5，
在△ACD中，
∵AC2+AD2＝52+122＝132＝DC2，
∴△ADC为直角三角形；
∴图形面积为：
S△ADC﹣S△ACB＝×5×12﹣×3×4＝24．

21．（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中，

∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAB＝∠DAC，AE＝AF，
∴AD平分∠BAC．
（2）解：∵AE＝AF，
∴AB+BE＝AF，
∴AB+2BE＝AF+BE，
∵BE＝CF，
∴AB+2BE＝AF+CF＝AC，
∵AB＝12，AC＝20，
∴12+2BE＝20，
∴BE＝4．

22．解：连接AC，作DE⊥AC于E点，
∵AB＝18米，BC＝24米，且∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝30米，
设EC＝x米，则AE＝（30﹣x）米，
∵CD＝26米，DA＝28米，
∴在Rt△AED和Rt△CED中，AD2﹣AE2＝CD2﹣CE2，
即：282﹣（30﹣x）2＝262﹣x2，
解得：x＝13.2，
∴DE＝＝＝22.4米，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝AB•BC+AC•DE
＝×18×24+×30×22.4
＝216+336
＝552平方米．
答：这块苗圃的面积为552平方米．

23．解：（1）如图1，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥DN．
∴∠KNM＝∠1．
∵∠1＝70°，
∴∠KNM＝∠KMN＝∠1＝70°，
∴∠MKN＝40°．
故答案为：40；
（2）等腰，
理由：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠MND，
∵将纸片沿MN折叠，
∴∠1＝∠KMN，∠MND＝∠KMN，
∴KM＝KN；
故答案为：等腰；
（3）如图2，当△KMN的面积最小值为时，KN＝BC＝1，故KN⊥B′M，
∵∠NMB＝∠KMN，∠KMB＝90°，
∴∠1＝∠NMB＝45°，
同理可得：∠NMK′＝135°，
故答案为：45°或135°；
（4）分两种情况：
情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．
设MK＝MB＝x，则AM＝5﹣x．
由勾股定理得12+（5﹣x）2＝x2，
解得x＝2.6．
∴MD＝ND＝2.6．
∴S△MNK＝S△MND＝×1×2.6＝1.3．
情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．
设MK＝AK＝CK＝x，则DK＝5﹣x．
同理可得MK＝NK＝2.6．
∵MD＝1，
∴S△MNK＝×1×2.6＝1.3．
综合以上可得△MNK的面积最大值为1.3．



24．解：[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4×ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2
【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c＝a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故故答案为5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2××4×6＝28．
故答案为28．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：（a+b）×k（a+b）＝3××b×ka+×c×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2