初中数学华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试练习题

思想方法专题：勾股定理中的思想方法

类型一　分类讨论思想

一、直角边和斜边不明时需分类讨论

1．(日照期末)在一个直角三角形中，若其中两边长分别为5，3，则第三边长的平方为【易错9】（    ）

A．16       B．16或34

C．34       D．不存在

2．已知x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，如果以x，y的长为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（    ）

A．5       B．7

C．7或25  D．16或25

二、锐角和钝角不明时需分类讨论

3．★(黄冈中考)在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为          .【易错10】

【变式题】一般三角形→等腰三角形

(南岗区模拟)等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为          .

三、腰和底不明时需分类讨论

4．★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰△ABD，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为（    ）

A.，2或3   B．3或

C．2或     D．2或3

第4题图　　　第5题图

类型二　方程思想

一、利用“连环勾”列方程

5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为（    ）

A．4      B．5      C．6       D．8

二、折叠问题中利用勾股定理列方程

6．(济南市期末)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上与点B′重合，AE为折痕，则EB＝________．【方法22】

7．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6cm，BC＝8cm，求阴影部分的面积．【方法22】

类型三　利用转化思想求最值

8．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为      cm.【方法23②】

第8题图　　第9题图　

9．(罗平县模拟)如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是100cm，15cm和10cm，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到B点的最短路程是       .

参考答案与解析

1．B　2.D

3．126或66

【变式题】90或10　解析：分两种情况讨论：①当等腰三角形为锐角三角形时，可求得底边长的平方为10；②当等腰三角形为钝角三角形时，可求得底边长的平方为90.

4．A　解析：分三种情况：①当AD＝AB时，得CD＝BC＝3；②当AD＝BD时，设CD＝x，则AD＝x＋3，由勾股定理列出方程(x＋3)2＝x2＋42，解得x＝；③当BD＝AB时，由勾股定理求出AB＝5，即可得出CD＝5－3＝2.故CD的长为3，或2.

5．C　解析：设BD＝2x，则AD＝5x，在Rt△ACD与Rt△BCD中，AC2－AD2＝BC2－BD2，即172－(5x)2＝102－(2x)2，解得x＝3，即BD＝6.

6.

7．解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD.由折叠的性质可知∠D′＝∠D，CD＝CD′，∴∠B＝∠D′，AB＝CD′.又∵∠AEB＝∠CED′，∴△ABE≌△CD′E.∴AE＝CE.设AE＝x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即62＋(8－x)2＝x2，∴x＝，∴CE＝AE＝cm.∴S阴影＝·CE·AB＝××6＝(cm2)．

8．15　解析：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C.在Rt△A′QC中，CQ＝×18＝9(cm)，A′Q＝12－4＋4＝12(cm)，由勾股定理得A′C＝15cm.

9．125cm