13.2 三角形全等的判定 华东师大版八年级数学上册课堂提升训练(含答案)

2022-2023学年度华东师大版八年级数学上册

课堂提升训练

第13章　全等三角形

13.2　三角形全等的判定

知识点1　全等三角形及相关概念

1.(2022福建龙岩月考)已知,如图,两个三角形全等,则∠1等于(　　)

A.73°　　　　　B.57°　　　　　C.50°　　　　　D.60°

2.一个三角形的三条边的长分别是3,5,7,另一个三角形的三条边的长分别是3,3x-2y,x+2y.若这两个三角形全等,则x,y的值分别是　. 

3.如图,A,E,C三点在同一直线上,且△ABC≌△DAE.

(1)线段DE,CE,BC有怎样的数量关系?请说明理由;

(2)请你猜想△ADE中∠AED满足什么条件时,DE∥BC,并证明.

知识点2　利用“边角边(S.A.S.)”判定三角形全等

4.(教材P65变式题)如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),由三角形全等可知,工件内槽宽AB=A'B',那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是　　　　. 

5.(2022湖北武汉蔡甸期中)如图,△ABC中,AB=8,AC=6,AD是BC边上的中线,则AD长的取值范围是　　　　　　. 

6.(2022湖北鄂州梁子湖期中)如图,B,C,E,F在同一直线上,AC∥DE,AC=DE,BE=CF,求证:AB∥DF.

7.(2022北京海淀外国语实验学校期中)如图,大小不同的直角△ABC和直角△DEC的直角顶点重合在点C处,AC=BC,DC=EC,连结AE、BD,点A恰好在线段BD上.

(1)找出图中的全等三角形,并说明理由;

(2)当AD=AB=4 cm时,AE=　　　　cm; 

(3)猜想AE与BD的位置关系,并说明理由.

知识点3　利用“角边角(A.S.A.)”或“角角边(A.A.S.)”判定三角形全等

8.(教材P70变式题)如图,已知∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE(A.S.A.),还需添加的条件是　　　　　　. 

9.(2022北京海淀外国语实验学校期中)如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E,AB=10,AC=6,则BE的长为　　　　. 

10.(2022福建福州十九中期中)如图,△ABC与△DEF中,B、E、C、F在同一条直线上,BE=CF,∠A=∠D,AC∥DF,求证:AC=DF.

11.(2022独家原创)如图,E、C、B在同一条直线上,AC∥DE,∠CFB=∠ABF+∠CBF,AB=BD.求证:AC=BE.

12.如图,直角△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F.

(1)求∠APB的度数;

(2)求证:PA=PF.

知识点4　利用“边边边(S.S.S.)”判定三角形全等

13.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,

四边形PCQD是一个筝形,其中PC=PD,CQ=DQ,PQ、CD交于点E,在探究筝形的性质时,得到如下结论:①△PCQ≌△PDQ;②PQ⊥CD;③CE=DE;④S四边形PCQD=PQ·CD.其中正确的结论有(　　)

A.1个　　　　　B.2个　　　　　C.3个　　　　　D.4个

14.如图,点B、E、C、F在同一直线上,BE=CF,AB=DE,AC=DF.

求证:AC∥DF.

15.(2022独家原创)如图,点A、C、E在同一直线上,AC=DE,AB=AD,BC=CE+DE.

求证:∠ABC=∠DAE.

知识点5　利用“斜边直角边(H.L.)”判定直角三角形全等

16.已知:如图,CB=CD,分别过点B和点D作AB⊥BC,AD⊥DC,两垂线相交于点A.求证:AB=AD.

17.如图,点C、F、E、B在同一条直线上,AE⊥BC,DF⊥BC,BF=CE,AB=CD.求证:AB∥CD.

18.(2022福建福州一中期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:

(1)CF=EB;

(2)∠CBA+∠AFD=180°.

能力提升全练

19.(2022河南方城期中,3,)如图,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“H.L.”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等,以下给出的条件适合的是(　　)

A.AC=AD  　 　　   　　B.AB=AB

C.∠ABC=∠ABD　　　　　D.∠BAC=∠BAD

20.(2021重庆中考A卷,7,)如图,点B,F,C,E共线,∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件,不能判断△ABC≌△DEF的是(　　)

A.AB=DE　　　　　B.∠A=∠D

C.AC=DF　　　　　D.AC∥FD

21.(2022湖北麻城期中,10,)如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM,且∠ANM=60°,则∠B=　　　　. 

22.(2021吉林中考,17,)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:AD=AE.

23.(2021福建中考,18,)如图,在△ABC中,D是边BC上的点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF,CE=BF.求证:∠B=∠C.

素养探究全练

24.[逻辑推理](2022吉林长春外国语学校期中)

如图1,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在AE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.

图1　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　图3

(1)△ABD与△CAE全等吗?BD与DE+CE相等吗?请说明理由;

(2)当直线AE绕点A旋转到如图2所示的位置(BD<CE)时,其余条件不变,则BD与DE、CE的关系如何?(只需回答结论)

(3)当直线AE绕点A旋转到如图3所示的位置(BD>CE)时,其余条件不变,则BD与DE、CE的关系如何?(只需回答结论)

答案全解全析

基础过关全练

1.C　如图所示,∵两个三角形全等,∴∠3=57°,∴∠1=∠2=180°-73°-57°=50°.故选C.

2.3,2或3,1

解析　由题意得或

解得或

3.解析　(1)DE=CE+BC.

理由:∵△ABC≌△DAE,

∴AE=BC,DE=AC.

∵A,E,C三点在同一直线上,

∴AC=AE+CE,

∴DE=CE+BC.

(2)猜想:当△ADE满足∠AED=90°时,DE∥BC.

证明:∵△ABC≌△DAE,

∴∠AED=∠C,

若DE∥BC,则∠DEC=∠C,

∴∠AED=∠DEC.

又∵∠AED+∠DEC=180°,

∴∠AED=∠DEC=90°,

∴当△ADE满足∠AED=90°时,DE∥BC.

4.S.A.S.

解析　∵点O分别是AA'、BB'的中点,

∴OA=OA',OB=OB',

在△OAB和△OA'B'中,

∴△OAB≌△OA'B'(S.A.S.).

5.1<AD<7

解析　如图,延长AD到点E,使ED=AD,则AE=2AD,连结CE,

∵AD是△ABC的中线,

∴CD=BD,

在△ECD和△ABD中,

∴△ECD≌△ABD(S.A.S.),

∴EC=AB=8,

∵AC=6,且EC-AC<AE<EC+AC,

∴8-6<2AD<8+6,解得1<AD<7.

6.证明　∵BE=CF,

∴BC+CE=FE+CE,∴BC=FE,

∵AC∥DE,∴∠ACE=∠DEC,

∵∠ACB+∠ACE=∠DEC+∠DEF=180°,

∴∠ACB=∠DEF,

又∵AC=DE,∴△ACB≌△DEF(S.A.S.),

∴∠B=∠F,∴AB∥DF.

7.解析　(1)△CBD≌△CAE,理由如下:

∵∠ACB=∠DCE=90°,

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE,在△CBD与△CAE中,

∴△CBD≌△CAE(S.A.S.).

(2)∵△CBD≌△CAE,

∴AE=BD=AD+AB=4+4=8(cm),故答案为8.

(3)AE⊥BD,理由如下:

如图,设AE与CD相交于点O,

∵△CBD≌△CAE,

∴∠ADO=∠CEO,又∵∠AOD=∠COE,

∴∠OAD=∠OCE=90°,

∴AE⊥BD.

8.∠BAE=∠CAE

解析　∵要根据A.S.A.判定全等,

∴要找到两角及其夹边分别相等,已知∠1=∠2,

∴∠AEB=∠AEC,又AE为公共边,

∴添加∠BAE=∠CAE,使△ABE≌△ACE(A.S.A.).

9.4

解析　∵AD平分∠CAB,∴∠EAD=∠CAD,

∵DE⊥AB,∴∠DEA=∠C=90°,

在△ADE和△ADC中,

∴△ADE≌△ADC(A.A.S.),

∴AE=AC=6,

∴BE=AB-AE=10-6=4.

10.证明　∵AC∥DF,

∴∠ACB=∠DFE,

∵BE=CF,

∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF,

在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(A.A.S.),

∴AC=DF.

11.证明　∵AC∥DE,∴∠ACB=∠E.

∵∠CFB=∠ABF+∠CBF,∠CFB=∠A+∠ABF,

∴∠A=∠CBF.

在△ABC和△BDE中,

∴△ABC≌△BDE(A.A.S.),

∴AC=BE.

12.解析　(1)在△ABC中,∵∠ACB=90°,

∴∠BAC+∠ABC=90°,

又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC,

∴∠BAD+∠ABE=(∠BAC+∠ABC)=45°,

∴∠APB=135°.

(2)证明:∵∠APB=135°,∴∠BPD=45°,

又∵PF⊥AD,

∴∠FPB=90°+45°=135°,∴∠APB=∠FPB,

∵BE平分∠ABC,∴∠ABP=∠FBP.在△ABP和△FBP中,

∴△ABP≌△FBP(A.S.A.),

∴PA=PF.

13.D　在△PCQ与△PDQ中,

∴△PCQ≌△PDQ(S.S.S.),故①正确;

∵△PCQ≌△PDQ,

∴∠CPQ=∠DPQ,

在△CPE和△DPE中,

∴△CPE≌△DPE(S.A.S.),

∴CE=DE,∠PEC=∠PED,

∵∠PEC+∠PED=180°,

∴∠PEC=∠PED=90°,∴PQ⊥CD,

故②③正确;

∵PQ⊥CD,∴S四边形PCQD=S△PCQ+S△PDQ=PQ·CE+PQ·DE=PQ(CE+DE)=PQ·CD,故④正确.故选D.

14.证明　∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,

在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(S.S.S.),∴∠ACB=∠F,

∴AC∥DF.

15.证明　∵AC=DE,AE=AC+CE,∴AE=DE+CE.

又∵BC=CE+DE,∴BC=AE.

在△ABC和△DAE中,

∴△ABC≌△DAE(S.S.S.),∴∠ABC=∠DAE.

16.证明　连结AC,如图:

∵AB⊥BC,AD⊥CD,∴∠B=∠D=90°,

在Rt△ABC和Rt△ADC中,

∴Rt△ABC≌Rt△ADC(H.L.),∴AB=AD.

17.证明　∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠DFC=∠AEB=90°.∵BF=CE,∴BF-EF=CE-EF,即BE=CF.

在Rt△ABE与Rt△DCF中,

∴Rt△ABE≌Rt△DCF(H.L.),

∴∠B=∠C,∴AB∥CD.

18.证明　(1)∵DE⊥AB,∴∠AED=90°=∠C,∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD,在△EAD和△CAD中,∴△EAD≌△CAD(A.A.S.),

∴CD=ED,在Rt△CDF和Rt△EDB中,

∴Rt△CDF≌Rt△EDB(H.L.),∴CF=EB.

(2)∵Rt△CDF≌Rt△EDB,∴∠CBA=∠CFD,

∵∠AFD+∠CFD=180°,

∴∠CBA+∠AFD=180°.

能力提升全练

19.A　根据题意可知∠C=∠D=90°,AB=AB,AB是斜边,若用H.L.判定两个三角形全等,则需给出两直角三角形的一直角边对应相等,故可添加条件AC=AD或BC=BD,故选A.

20.C　∵BF=EC,∴BF+FC=EC+FC,∴BC=EF.

当添加条件AB=DE时,△ABC≌△DEF(S.A.S.),选项A不符合题意;

当添加条件∠A=∠D时,△ABC≌△DEF(A.A.S.),选项B不符合题意;

当添加条件AC=DF时,无法判断△ABC≌△DEF,故选项C符合题意;

当添加条件AC∥FD时,∠ACB=∠DFE,故△ABC≌△DEF(A.S.A.),选项D不符合题意.

故选C.

21.60°

解析　∵∠BAC=∠DAM,∴∠BAC-∠CAD=∠DAM-∠CAD,即∠BAD=∠NAM,

在△ABD与△ANM中,

∴△ABD≌△ANM(S.A.S.),

∴∠B=∠ANM=60°.

22.证明　在△ABE与△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(A.S.A.),∴AD=AE.

23.证明　∵DE⊥AC,DF⊥AB,∴∠BFD=∠CED=90°,

在△BDF和△CDE中,

∴△BDF≌△CDE(S.A.S.),∴∠B=∠C.

素养探究全练

24.解析　(1)△ABD≌△CAE,BD=DE+CE.理由如下:

∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,

∵CE⊥AE,∴∠ACE+∠CAE=90°,

∴∠ACE=∠BAD.

∵BD⊥AE,CE⊥AE,

∴∠ADB=∠CEA=90°,

在△ABD和△CAE中,

∴△ABD≌△CAE(A.A.S.),

∴BD=AE,AD=CE,

∵AE=DE+AD,∴BD=DE+CE.

(2)BD=DE-CE.详解:

∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,

∵CE⊥AE,∴∠ACE+∠CAE=90°,

∴∠ACE=∠BAD,

∵BD⊥AE,CE⊥AE,

∴∠ADB=∠CEA=90°,

在△ABD和△CAE中,

∴△ABD≌△CAE(A.A.S.),

∴BD=AE,AD=CE,

∵DE=AE+AD,

∴DE=CE+BD,即BD=DE-CE.

(3)BD=DE-CE.