13.3 等腰三角形 华东师大版八年级数学上册课堂提升训练(含答案)

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2022-2023学年度华东师大版八年级数学上册课堂提升训练第13章　全等三角形13.3　等腰三角形 知识点1　等腰三角形的概念及性质1.等腰三角形的周长为26 cm,一边长为6 cm,那么腰长为(　　)A.6 cm 　 　 　　     　B.10 cmC.6 cm或10 cm　　　　　D.14 cm2.如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC,工程人员这种操作方法的依据是(　　)A.等边对等角　　　　　B.等角对等边C.垂线段最短　　　　　D.等腰三角形“三线合一”3.(2022河南灵宝期中)已知等腰三角形的一个内角等于50°,则它的顶角度数是　　　　. 4.(2021黑龙江牡丹江中考)过等腰三角形顶角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形,则原等腰三角形的底角度数为　　　　　　. 5.(2022福建连江期中)如图,在△ABC中,AB=AC=BD,则3∠ADB-∠CAD=　　　　. 6.(2022福建龙岩期中)在等腰△ABC中,AB=AC,边AC上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则该等腰三角形的底边长等于　　　　. 7.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,DE,DF分别是∠ADB,∠ADC的平分线.求证:DE=DF.  8.(2022独家原创)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD平分∠BAC,CM平分∠ACB交AB于点M,交AD于点N.求∠ANC的度数.     
知识点2　等边三角形的性质9.(2022黑龙江哈工大附中期末)如图,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=40°,则∠ADB的度数是(　　)A.25°　　　　　B.60°　　　　　C.90°　　　　　D.100°10.如图是由三个等边三角形随意摆放组成的图形,则∠1+∠2+∠3的度数为(　　)A.90°　　　　　B.120°　　　　　C.180°　　　　　D.无法确定11.(2022福建连江期中)如图,等边△ADE的顶点D恰好在等边△ABC的边BC上,AC,ED相交于点G,连结CE.(1)求∠ECD的度数;(2)F是ED延长线上的点,且∠FCD=∠CAD,判断CF和GF的数量关系,并证明.    知识点3　等腰三角形及等边三角形的判定12.(2022广东东莞期末)如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中的等腰三角形共有(　　)A.2个　　　　　B.3个　　　　　C.0个　　　　　D.1个13.(2022河南嵩县期末)如图,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD,则下列结论错误的是(　　)A.∠CED=30°　　　　　B.∠BDE=120°C.DE=BD  　 　 　　 　D.DE=AB14.已知△ABC中,AB=AC,∠A=60°,若BC=5 cm,则AC=　　　　cm. 15.(2022独家原创)如图,已知△ABC是等边三角形,∠ADE=∠B,AC=10,CE=6.求△ADE的周长.   16.(2022甘肃庄浪期中)已知:如图,∠A=∠D=90°,点E、F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:△OEF是等腰三角形.      能力提升全练17.(2021湖南益阳中考,7,)如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(　　)A.40°　　　　　B.30°　　　　　C.20°　　　　　D.15°18.(2021山东滨州中考,14,)如图,在△ABC中,点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC,∠BAD=44°,则∠C的大小为　　　　. 19.(2022河南息县期中,15,)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边AC上一点,AD=BD,BC=DC,则∠A的大小是　　　　. 20.(2021浙江温州中考,18,)如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB=DE.(1)求证:DE∥BC;(2)若∠A=65°,∠AED=45°,求∠EBC的度数.   21.(2017四川内江中考,18,)如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.  素养探究全练22.[逻辑推理](2022广东汕头潮阳期中)如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连结AD,以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE,AD=AE,∠DAE=90°.解答下列问题:(1)如果AB=AC,∠BAC=90°.①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CE、BD之间的位置关系为　　　　,数量关系为　　　　;(不用证明) ②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立?为什么?(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°,点D在线段BC上运动.试探究:当△ABC满足一个什么条件时,CE⊥BD(点C、E重合除外)?画出相应的图形,并说明理由.　　图甲　　　　　　图乙　　　　　　图丙      
答案全解全析基础过关全练1.B　①当6 cm为腰长时,底边长为26-6-6=14 cm,因为14>6+6,所以不能构成三角形;②当6 cm为底边长时,腰长为(26-6)÷2=10 cm,能构成三角形.故选B.2.D　∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∵BE=CE,∴AE是底边BC上的中线,∴AE⊥BC,故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”,故选D.3.80°或50°解析　当50°角是一个底角时,顶角度数是180°-50°-50°=80°;当50°角是顶角时,顶角度数是50°.∴它的顶角度数是80°或50°.4.36°或45°解析　分两种情况讨论:如图1,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD.∵AB=AC,BD=AD,AC=CD,∴∠ABC=∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,∵∠CDA=2∠ABC,∴∠CAB=3∠ABC,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴5∠ABC=180°,∴∠ABC=36°.       图1　　　　　　　　图2如图2,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD.∵AB=AC,AD=BD=CD,∴∠ABC=∠C=∠DAC=∠DAB,∴∠BAC=2∠ABC,∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴4∠ABC=180°,∴∠ABC=45°.综上,∠ABC=36°或45°.5.180°解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB=BD,∴∠ADB=∠DAB,∴2∠ADB=180°-∠B=180°-∠C,又∵∠ADB=∠C+∠CAD,∴∠C=∠ADB-∠CAD,∴2∠ADB=180°-(∠ADB-∠CAD),∴3∠ADB-∠CAD=180°.6.7或11解析　①当15是腰长与腰长一半的和时,AC+AC=15,解得AC=10,所以底边长=12-×10=7;②当12是腰长与腰长一半的和时,AC+AC=12,解得AC=8,所以底边长=15-×8=11.所以底边长为7或11.7.证明　∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴∠ADB=∠ADC=90°,∠1=∠2,∵DE,DF分别是∠ADB,∠ADC的平分线,∴∠ADE=∠ADB=45°,∠ADF=∠ADC=45°,∴∠ADE=∠ADF,在△ADE和△ADF中,∴△ADE≌△ADF(A.S.A.),∴DE=DF.8.解析　∵AB=AC,∠B=30°,∴∠ACB=∠B=30°.∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴∠CDA=90°.∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠ACB=15°.∴∠ANC=∠CDA+∠MCB=90°+15°=105°.9.D　∵△ABC是等边三角形,∴∠C=60°,∵∠ADB=∠DBC+∠C,∠DBC=40°,∴∠ADB=40°+60°=100°,故选D.10.C　∵题图中是三个等边三角形,∴∠1=180°-60°-∠ABC=120°-∠ABC,∠2=180°-60°-∠ACB=120°-∠ACB,∠3=180°-60°-∠BAC=120°-∠BAC,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°,故选C.11.解析　(1)∵△AED,△ABC都是等边三角形,∴∠EAD=∠CAB=∠B=∠ACB=60°,AE=AD,AC=AB,∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD,即∠EAC=∠DAB,在△EAC和△DAB中,∴△EAC≌△DAB(S.A.S.),∴∠ACE=∠B=60°,∴∠ECD=∠ACE+∠ACB=120°.(2)CF=GF.证明：∵∠FCG=∠ACB+∠FCD=60°+∠FCD,∠FGC=∠ADG+∠CAD=60°+∠CAD,∠FCD=∠CAD,∴∠FCG=∠FGC,∴CF=GF.12.B　∵AB=AC,∠A=36°,∴△ABC是等腰三角形,∠C=∠ABC=72°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠ABD=36°,∴△ABD是等腰三角形.∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C,∴△BDC是等腰三角形.∴共有3个等腰三角形,故选B.13.D　∵△ABC是等边三角形,BD是中线,∴∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=∠ABC=30°,∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.又∵∠BCD=∠CDE+∠CED,∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°,A正确,不符合题意;∴∠DBC=∠DEC,∴DE=BD,C正确,不符合题意;∴∠BDE=180°-30°-30°=120°,B正确,不符合题意;∵DE=BD,BD<AB,∴DE<AB,D错误,符合题意,故选D.14.5解析　∵△ABC中,AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,又∵∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AC=BC=5 cm.15.解析　∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=60°.∵∠ADE=∠B,∴∠ADE=60°,∴△ADE是等边三角形.∵AC=10,CE=6,∴AE=AC-CE=10-6=4.∴△ADE的周长为4×3=12.16.证明　∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,在Rt△ABF和Rt△DCE中,∴Rt△ABF≌Rt△DCE(H.L.),∴∠AFB=∠DEC,∴OE=OF,∴△OEF是等腰三角形.能力提升全练17.C　∵AB∥CD,∴∠DCA+∠CAB=180°,即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°,∵△ACE为等边三角形,∴∠ECA=∠EAC=60°,∴∠EAB=180°-40°-60°-60°=20°.故选C.18.34°解析　∵AB=AD,∴∠B=∠ADB,∵∠BAD=44°,∴∠ADB==68°,∵AD=DC,∴∠DAC=∠C,∵∠ADB=∠C+∠DAC,∴∠C=∠DAC=∠ADB=34°.19.解析　∵AD=BD,BC=DC,∴∠A=∠ABD,∠CDB=∠CBD,设∠A=∠ABD=x,则∠CDB=∠CBD=2x,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=3x,在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,即x+3x+3x=180°,解得x=,即∠A=.20.解析　(1)证明:∵BE是△ABC的角平分线,∴∠DBE=∠EBC,∵DB=DE,∴∠DEB=∠DBE,∴∠DEB=∠EBC,∴DE∥BC.(2)∵DE∥BC,∴∠C=∠AED=45°,在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.∵BE是△ABC的角平分线,∴∠EBC=∠ABC=35°.21.证明　如图,∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°.∴∠B=∠BDE.∴BE=DE,∴△BDE是等腰三角形.素养探究全练22.解析　(1)①CE⊥BD;CE=BD.②当点D在线段BC的延长线上时,①中的结论仍然成立.理由如下:∵∠DAE=90°,∠BAC=90°,∴∠DAE=∠BAC,∴∠DAB=∠EAC,又AB=AC,AD=AE,∴△DAB≌△EAC,∴CE=BD,∠ACE=∠ABD.∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ACE=45°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BD.(2)如图所示,当∠BCA=45°时,CE⊥BD.理由:过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G,∵∠BCA=45°,∴∠AGC=45°,∴AC=AG,即△ACG是等腰直角三角形,∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC,∴∠GAD=∠CAE,又∵AG=AC,DA=EA,∴△GAD≌△CAE,∴∠ACE=∠AGD=45°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,即CE⊥BD.