13.3 等腰三角形 华东师大版八年级数学上册专题训练(含答案)

等腰三角形

专题一  与等腰三角形有关的探究题

1. 设a、b、c是三角形的三边长，且，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形.其中真命题的个数是（    ）

A.4个           B.3个              C.2个              D.1个

2. 如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3­……在射线ON上，点B1、B2、B3……在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=1，则△A2013B2013A2014的边长为（     ）

A.2013          B. 2014         C.            D.

3.  如图,在△AB中, ∠B＝20°,AB＝B，在B上取一点C,延长到,使得＝; 在上取一点D,延长到,使得＝;……，按此做法进行下去,求∠的度数.

4.  如图，点O是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD．

（1）试说明△COD是等腰直角三角形；

（2）当α=95°时，试判断△BOD的形状，并说明理由．

5. 如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．

专题二  等腰（边）三角形中的动点问题

6. 已知ΔABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图中的①②③），先用量角器分别测量∠BQM的大小，将结果填写在下面对应的横线上，然后猜测∠BQM在点M、N的变化中的取值情况，并利用图③证明你的结论.

测量结果：图①中∠BQM=______；图②中∠BQM=______；图③中∠BQM=______.

7. 如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．

（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=______°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____ （填“大”或“小”）；

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．

8. 阅读材料：

如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，

腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2=AB•h，∴r1+r2=h（定值）．

（1）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）．

（2）理解与应用
△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____．若不存在，请说明理由．

状元笔记

[知识要点]

1．等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；

（2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分重合（简称为“三线合一”）；

（3）等腰三角形的两底角相等（简称“等角对等边”）．

2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°．

3．等腰三角形的判定：

（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”．

（2）三个角都是60°的三角形是等边三角形．

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

【方法技巧】

1．等边对等角或等角对等边必须在同一个三角形中．

2．判断一个三角形的形状一般要考虑：①等腰三角形；②直角三角形；③等边三角形；④等腰直角三角形．

3．“等边对等角”和“等角对等边”成为今后证明角或边相等又一新方法．

参考答案

1. C  【解析】 由得：，所以，所以，所以②、③是真命题，故选C.

2.  C  【解析】 ∵△A1B1A2是等边三角形，

∴A1B1=A2B1，∠1=60°.

∵∠MON=30°，

∴∠2=30°=∠MON，

∴A1B1 =OA1=1= A1A2.

同理可证：A2B2 =OA2 =2，A2A3=OA2 =2，A3A4=OA3 =4=，A4A5=OA4 =8=.

以此类推：A2013B2013A2014=22012．

故选C．

3. 解：如图，在△AB中， ∵∠B＝20°,AB＝B，

∴∠＝80°.

在△中，

∵＝，

∴∠＝＝＝＝40°.

在△中, ∵＝,

∴∠＝＝＝＝20°.

依此类推, 得∠的度数为.

故∠的度数为.

4. 解：（1）∵△AOC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，
∴∠OCD=90°，CO=CD，

∴△COD是等腰直角三角形；

（2）△BOD为等腰三角形．
理由如下：
∵△COD是等腰直角三角形，

∴∠COD=∠CDO=45°，
而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，
∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，∠BDO=95°-45°=50°，
∴∠OBD=180°-80°-50°=50°．

∴△BOD为等腰三角形．

5. 解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，

∴△ODE是等边三角形；
（2）BD=DE=EC，其理由是：

∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，

∴∠ABO=∠OBD=30°，

∵OD∥AB，

∴∠BOD=∠ABO=30°，

∴∠DBO=∠DOB，

∴DB=DO ，
同理可证EC=EO.

∵DE=OD=OE，

∴BD=DE=EC．

6.  60°，60°，60°.

证明: ∵BM=CN；∠ABM=∠BCN=60°；BA=BC.ΔABM≌ΔBCN(SAS),∠BAM=∠CBN;

∴∠BQM=∠BAM +∠QBA=∠CBN+∠QBA=∠ABC =60°.

7. 解：（1）∠BAD=180°-∠ABD-∠BDA=180°-40°-115°=25°；

从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；

故答案为：25°；小．

（2）当△ABD≌△DCE时,DC=AB,

∵AB=2，

∴DC=2，

∴当DC等于2时，△ABD≌△DCE；

（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，

①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；

②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA= （180°-40°）=70°，

∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，

∴∠BAD=100°-70°=30°.

∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；

③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°，

∴∠BAD=100°-40°=60°，∴∠BDA=180°-60°-40°=80°.

∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形．

8. 解：（1）证明：连结AP，BP，CP.则，

即，

∵AB=BC=AC，∴r1+r2+r3=h（定值）．

（2）存在；2.