13.5 逆命题与逆定理 华东师大版八年级数学上册课堂提升训练(含答案)

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2022-2023学年度华东师大版八年级数学上册课堂提升训练第13章　全等三角形13.5　逆命题与逆定理 知识点1　互逆命题与互逆定理1.(2022湖南益阳赫山期末)下列命题中,其逆命题成立的是(　　)①等边对等角;②如果两个角是直角,那么它们相等;③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;④无理数是无限小数.A.①　　　　　B.②　　　　　C.③　　　　　D.④2.(2022四川大英期末)请写出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题:　　　　　　　　　　. 知识点2　线段的垂直平分线3.(教材P99变式题)如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线l交BC于点D.若∠BAD=78°,则∠B的度数是(　　)A.34°　　　　　B.30°C.28°　　　　　D.26°4.(2022吉林长春二道期末)如图,△ABC的周长为13,根据图中尺规作图的痕迹,直线DE分别与BC、AC交于D、E两点,若AE=2,则△ABD的周长为　　　　. 5.(2022湖南邵阳期中)如图,△ABC中,AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且AE=AB.(1)若∠BAE=40°,求∠C的度数;(2)若△ABC的周长为26 cm,AC=10 cm,求DC的长.   6.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=∠C.(1)求证:OB=OD;(2)OE平分∠BOD,求证:OE垂直平分BD.  
7.(2022独家原创)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°.用尺规作图保留作图痕迹如下图,连结BD.求∠CBD的度数. 知识点3　角平分线8.(2022福建厦门外国语学校期中)如图,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不正确的是(　　)A.AE、BF是△ABC的角平分线B.CG是△ABC的一条角平分线C.点O到△ABC三边的距离相等D.AO=BO=CO9.(2022广东广州黄埔会元学校期中)如图,AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,且点O到AB的距离OD=2,△ABC的周长为28,则△ABC的面积为(　　)A.7　　　　　B.14　　　　　C.21　　　　　D.2810.如图,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,BD∶DC=2∶1,BC=9.6 cm,则D到AB的距离为(　　)A.2.2 cm　　　　　B.3.2 cmC.4.8 cm　　　　　D.6.4 cm11.(2022福建龙岩期中)如图,已知AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于E,且OE=2,则两平行线AB、CD间的距离等于　　　　. 12.(2022独家原创)如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,E为CD上一点,连结BE.已知BC=4,△BEC的面积是2,DE=1.求证:BE平分∠ABC.      
能力提升全练13.(2021江苏淮安中考,7,)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连结AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是(　　)A.2　　　　　B.4　　　　　C.6　　　　　D.814.(2021内蒙古通辽中考,7,)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据尺规作图的痕迹,判断以下结论错误的是(　　)A.∠BDE=∠BAC　　　　　B.∠BAD=∠BC.DE=DC　 　     　　　D.AE=AC15.(2022吉林长春农安期末,16,)命题“两直线平行,同位角相等”的逆命题是　　　　　　　　命题.(填“真”或“假”) 16.(2021湖南长沙中考,15,)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为　　　　. 
17.(2018四川南充中考,13,)如图,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分线交BC于点E,∠B=70°,∠FAE=19°,则∠C=　　　　度. 素养探究全练18.[逻辑推理](2022四川达州开江期末)在△ABC中,AB=AC,D是直线BC上一点(不与点B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,AD=AE,∠DAE=∠BAC,连结CE.(1)如图1,当点D在线段BC上时,求证:∠B=∠ACE;(2)如图2,若点D在线段CB的延长线上,∠BCE=α,∠BAC=β,则α、β之间有怎样的数量关系?写出你的理由;(3)如图3,当点D在线段BC上,∠BAC=90°,BC=4时,求S△DCE的最大值.　　图1 　　　　　　　图2 　　　　　　　图3    
答案全解全析基础过关全练1.A　①“等边对等角”的逆命题为“等角对等边”,成立,符合题意;②“如果两个角是直角,那么它们相等”的逆命题是“如果两个角相等,那么它们是直角”,不成立,不符合题意;③“如果两个实数相等,那么它们的平方相等”的逆命题为“如果两个数的平方相等,那么这两个实数相等”,不成立,不符合题意;④“无理数是无限小数”的逆命题为“无限小数都是无理数”,不成立,不符合题意,故选A.2.有两个角相等的三角形是等腰三角形解析　∵原命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”,结论是“这个三角形两底角相等”,∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”.3.A　∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AC的垂直平分线l交BC于点D,∴AD=DC,∴∠DAC=∠C,∴∠ADB=∠DAC+∠C=2∠C=2∠B,∵∠BAD=78°,∴∠B+∠ADB+∠BAD=∠B+2∠B+78°=180°,∴∠B=34°,故选A.4.9解析　由作图痕迹可知,DE垂直平分线段AC,∴DA=DC,AE=EC,∵AB+BC+AC=13,AC=2AE=4,∴AB+BC=9,∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=9.5.解析　(1)∵AE=AB,EF垂直平分AC,∴AB=AE=EC,∴∠C=∠CAE,∵∠BAE=40°,∴∠AED=×(180°-40°)=70°,∴∠C=∠AED=35°.(2)∵AD⊥BC,AE=AB,∴BD=DE,∵△ABC的周长为26 cm,AC=10 cm,∴AB+BC=16(cm),∴AB+BE+EC=16(cm),即2DE+2EC=16(cm),∴DE+EC=8(cm),∴DC=DE+EC=8(cm).6.证明　(1)在△AOB和△COD中,∴△AOB≌△COD(A.S.A.),∴OB=OD.(2)由(1)得OB=OD,∴△BOD是等腰三角形,∠BOD是顶角,∵OE平分∠BOD,∴OE垂直平分BD.7.证明　根据作图痕迹知DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°,∵∠C=90°,∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°,∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°.8.D　根据作图痕迹,可以判断点O是△ABC角平分线的交点,故点O到△ABC三边的距离相等,AE、BF、CG都是△ABC的角平分线,只有D选项不正确.故选D.9.D　连结OC,过点O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F,∵AO,BO分别平分∠CAB,∠CBA,OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC,∴OE=OF=OD=2,∴△ABC的面积=△AOC的面积+△AOB的面积+△BOC的面积=×AC×OE+×AB×OD+×BC×OF=×(AC+AB+BC)×2=28.故选D.10.B　过D点作DE⊥AB于E,如图, ∵BD∶DC=2∶1,∴DC=BC=×9.6=3.2(cm),∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=DC=3.2 cm,即D到AB的距离为3.2 cm.故选B. 11.4解析　如图,过点O作MN⊥AB于M,交CD于N,∵AB∥CD,∴MN⊥CD,∵AO是∠BAC的平分线,OM⊥AB,OE⊥AC,OE=2,∴OM=OE=2,∵CO是∠ACD的平分线,OE⊥AC,ON⊥CD,∴ON=OE=2,∴MN=OM+ON=4,即AB与CD之间的距离是4.12.证明　过点E作EF⊥BC于点E.∵△BEC的面积是2,BC=4,∴EF·BC=2,即EF×4=2,解得EF=1.∵DE=1,∴EF=DE.∵CD是AB边上的高,∴CD⊥AB.又∵EF⊥BC,∴点E到AB、BC的距离相等,∴BE平分∠ABC.能力提升全练13.C　∵DE是AB的垂直平分线,AE=4,∴EB=EA=4,∴BC=EB+EC=4+2=6,故选C.14.B　根据尺规作图的痕迹可得,DE⊥AB,AD是∠BAC的平分线,∵∠C=90°,∴DE=DC,∠B+∠BDE=∠B+∠BAC=90°,∴∠BDE=∠BAC,在Rt△AED和Rt△ACD中,∴Rt△AED≌Rt△ACD(H.L.),∴AE=AC.不能证明∠BAD=∠B.综上所述,A,C,D中结论正确,不符合题意,B中结论错误,符合题意,故选B.15.真解析　原命题的逆命题是“同位角相等,两直线平行”,是真命题.16.2.4解析　∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE,∵DE=1.6,∴CD=1.6,∴BD=BC-CD=4-1.6=2.4.17.24解析　∵DE垂直平分AC,∴EA=EC,∴∠EAC=∠C,∴∠FAC=∠EAC+19°=∠C+19°,∵AF平分∠BAC,∴∠BAC=2(∠C+19°),∵∠B+∠BAC+∠C=180°,∴70°+2(∠C+19°)+∠C=180°,解得∠C=24°.素养探究全练18.解析　(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(S.A.S.),∴∠B=∠ACE.(2)α=β.理由如下:同(1)的方法可得,△ABD≌△ACE(S.A.S.),∴∠ACE=∠ABD,∵∠BCE=α,∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+α,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=β,∴∠ACB=∠ABC=(180°-β)=90°-β,∴∠ABD=180°-∠ABC=90°+β,∠ACE=∠ACB+α=90°-β+α,又∵∠ACE=∠ABD,∴90°-β+α=90°+β,∴α=β.(3)如图,过点A作AH⊥BC于H,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°,∴BH=AH=HC=BC=2,同(1)的方法可得,△ABD≌△ACE(S.A.S.),∴S△AEC=S△ABD,∴S△AEC+S△ADC=S△ABD+S△ADC,即S四边形ADCE=S△ABC=×4×2=4,∵S△DCE=S四边形ADCE-S△ADE,∴当S△ADE最小时,S△DCE最大.当AD⊥BC时,AD最小,此时AD=AH=2,∴S△ADE的最小值=×2×2=2,∴S△DCE的最大值=4-2=2.