华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试课时作业

第十四章 勾股定理（测基础）——2022-2023学年华东师大版数学八年级上册单元闯关双测卷

【满分：120】

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.将直角三角形的各边长都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形(   )

A.可能是锐角三角形  B.不可能是直角三角形

C.仍然是直角三角形  D.可能是钝角三角形

2.下列四组数中，是勾股数的是(   )

A.0.3，0.4，0.5 B.，， C.3，4，5 D.，，

3.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(   )

A.9 B.6 C.4 D.3

4.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(   )

A.52 B.42 C.76 D.72

5.如图，AB，BC，CD，DE是四根长度均为5 cm的火柴棒，点A，C，E共线.若，，则线段CE的长度为(   )
 

A.6 cm B.7 cm C. cm D.8 cm

6.如图，在直角中，，，，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE，则的周长为(   )

A.16 B.15 C.14 D.13

7.图是一个底面为等边三角形的三棱柱，为了漂亮，小丽在三棱柱的侧面上，从顶点A到顶点镶上一圈金属丝，已知此三棱柱的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为(   )

A.8 cm B.13 cm C.12 cm D.15 cm

8.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺寸），则AB的长是(   )

A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸

9.一艘轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，则离开港口A3小时后，两艘轮船相距(   )

A.36海里 B.48海里 C.60海里 D.84海里

10.如图，在中，，cm，cm.若，且，连接DC交AB于点F，则和的周长之和为(   )

A.36 cm B.39 cm C.42 cm D.45 cm

二、填空题（每小题4分，共20分）

11.用反证法证明“直线在同一平面内，且，则”时，应假设__________.

12.若正整数a，n满足，这样的三个整数a，n，（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”.当时，共有___________组“完美勾股数”.

13.一直角三角形的斜边长比一直角边长大1，另一直角边长为5，则斜边长为__________.

14.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了__________米.

15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若，，则__________.

三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）

16.（8分）如图是一个直径为12cm的杯子的截面图，在杯子的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子的长度.

17.（8分）如图，在四边形ABFC中，，，，连接EF.

（1）找出图中所有的直角三角形；

（2）求证：.

18.（10分）如图，将等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点作直线m于点直线m于点D.

(1)求证:.

(2)若设的三边长分别为，利用此图证明勾股定理.

19.（10分）某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识.如图，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知：，m，m，m，m.

（1）判断是不是直角，并说明理由；

（2）求四边形ABCD的面积.

20.（12分）如图，中，，，，以斜边AC为底边作等腰三角形ACD，，作腰CD上的高AE.

（1）求证：；

（2）求等腰三角形ACD的腰长.

21.（12分）如图所示的一块地，，m，m，m，m，求这块地的面积.

答案以及解析

1.答案：C

解析：设a，b，c是直角三角形的三边长，则.三边长都扩大到原来的n倍后为na，nb，nc，此时，所以以na，nb，nc为三边长的三角形仍然是直角三角形.故选C.

2.答案：C

解析：勾股数需同时满足两个条件：（1）正整数；（2）较小两个数的平方和等于较大数的平方.

3.答案：D

解析：由题意可知，中间小正方形的边长为，每一个直角三角形的面积为，，，，故选D.

4.答案：C

解析：设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则，.“数学风车”外围的周长是.故选C.

5.答案：D

解析：如图，分别过B，D作AE的垂线，垂足分别为点M、N，则.，，，.，，又，.又，，，.，，.
 

6.答案：A

解析：因为在直角中，，，，所以，所以，因为DE垂直平分AB，所以，所以的周长.故选A.

7.答案：B

解析：将三棱柱的侧面沿展开，如图所示，

由勾股定理得，所以cm.故选B.

8.答案：C

解析：由题知AB的中点为O，过D作于E，如图所示.

由题意得，寸，寸，

设寸，则寸，寸，

在中，，

即，

解得，

，寸，故选C.

9.答案：C

解析：如图，两船行驶的方向是东北方向和东南方向，.3小时后，两艘船分别行驶了（海里），（海里）.

根据勾股定理得，海里，即两船相距60海里.故选C.

10.答案：C

解析：在中，，cm，cm，由勾股定理，得cm.，cm.又，是等边三角形，cm，和的周长之和为cm.故选C.

11.答案：a与b不平行

解析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，因此用反证法证明“”时，应先假设a与b不平行.

12.答案：8

解析：，，，为奇数，满足条件的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，共有8组这样的“完美勾股数”.故答案为8.

13.答案：13

解析：设一条直角边长为a，则斜边长为.另一直角边长为5，，解得，.故答案为13.

14.答案：9

解析：在中，，米，米，，米，米，，米，米，即船向岸边移动了9米，故答案为9.

15.答案：20

解析：，，由勾股定理得，，，，，，.故答案为20.

16.答案：设杯子的高度是x cm，则筷子的长度是cm.

杯子的直径为12cm，杯子的半径为6cm，

，即，

解得，（cm）.

答：筷子的长度为10cm.

17.答案：（1）解：，

是直角三角形，.

，，

，，，，是直角三角形.

（2）证明：，是直角三角形，

.

，，
，即，

.

18.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)证明：..

在和中,

.

(2)由(1)知，,

.

,

，即.

19.答案：（1）是直角.理由如下：

如图，连接AC，

，m，m，

，

m.

又m，m，，，

是直角三角形，是直角.

（2）.

20.答案：（1）证明：由题意知，，，，，

，，，

在和中，，

，.

（2），，，

设，则，，

由勾股定理，得，

即，解得，

即等腰三角形ACD的腰长为.

21.答案：连接AC，

已知，在直角中，m，m，

根据，可以求得m，

在中，m，m，m，

，为直角三角形，

这块地的面积

.

答：这块地的面积为216.