初中数学浙教版七年级上册第4章 代数式综合与测试练习

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第四章、代数式 单元测试
（难度：困难）

一．选择题（共10小题）
1．在式子，﹣4x，abc，π，，0.81，，0中，单项式共有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式进行分析即可．
【解答】解：式子，﹣4x，abc，π，0.81，0是单项式，共6个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式定义．
2．下列语句中错误的是（　　）
A．数字0也是单项式
B．单项式﹣a的系数与次数都是1
C．xy是二次单项式
D．﹣的系数是﹣
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．单独一个数字也是单项式．
【解答】解：单独的一个数字也是单项式，故A正确；
单项式﹣a的系数应是﹣1，次数是1，故B错误；
xy的次数是2，符合单项式的定义，故C正确；
﹣的系数是﹣，故D正确．
故选：B．
【点评】确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．注意单项式的系数包括前面的符号．
3．如果单项式x2ym+2与xny的和仍然是一个单项式，则m、n的值是（　　）
A．m＝2，n＝2 B．m＝﹣1，n＝2 C．m＝﹣2，n＝2 D．m＝2，n＝﹣1
【分析】本题考查同类项的定义，单项式x2ym+2与xny的和仍然是一个单项式，意思是x2ym+2与xny是同类项，根据同类项中相同字母的指数相同得出．
【解答】解：由同类项的定义，
可知2＝n，m+2＝1，
解得m＝﹣1，n＝2．
故选：B．
【点评】同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
4．已知x﹣2y＝3，则代数式6﹣2x+4y的值为（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．3
【分析】先把6﹣2x+4y变形为6﹣2（x﹣2y），然后把x﹣2y＝3整体代入计算即可．
【解答】解：∵x﹣2y＝3，
∴6﹣2x+4y＝6﹣2（x﹣2y）＝6﹣2×3＝6﹣6＝0
故选：A．
【点评】本题考查了代数式求值：先把所求的代数式根据已知条件进行变形，然后利用整体的思想进行计算．
5．若a是有理数，那么在①a+1，②|a+1|，③|a|+1，④a2+1中，一定是正数的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】通过给a一数值，举反例，排除法求解．
【解答】解：①a＝﹣2时，a+1＝﹣1是负数；②a＝﹣1时，|a+1|＝0不是正数；不论a取何值，都有|a|+1≥1、a2+1≥1；
所以一定是正数的有③|a|+1，④a2+1；故选B．
【点评】本题考查知识点为：一个数的绝对值和一个数的平方一定是非负数，所以加上一个正数后则一定是正数．
6．下列各式由等号左边变到右边变错的有（　　）
①a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c
②（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+y2
③﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a+b+x﹣y
④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x﹣3y+a﹣b．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据去括号的方法逐一化简即可．
【解答】解：根据去括号的法则：
①应为a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，错误；
②应为（x2+y）﹣2（x﹣y2）＝x2+y﹣2x+2y2，错误；
③应为﹣（a+b）﹣（﹣x+y）＝﹣a﹣b+x﹣y，错误；
④﹣3（x﹣y）+（a﹣b）＝﹣3x+3y+a﹣b，错误．
故选：D．
【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
7．曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗（b＜a）；若分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，则a的值可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖，根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖，根据糖果数量相等列出等式即可解答．
【解答】解：∵根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖，
根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖，
∴ma+b＝3（m+10）+（b+1），
∴a＝3+，
∵a，m为正整数，
∴m＝31或1，
当m＝31时，
∴a＝4，
当m＝1时，a＝34，没有这个选项，舍弃．
故选：A．
【点评】本题考查了列代数式的应用，关键是能根据题意表示出糖果的数量．
8．若a＜b＜c，x＜y＜z，则下面四个代数式的值最大的是（　　）
A．ax+by+cz B．ax+cy+bz C．bx+ay+cz D．bx+cy+az
【分析】要比较两个多项式的大小，只需采用作差法，将它们的差因式分解就可解决问题．
【解答】解：∵b＜c，y＜z，
∴b﹣c＜0，y﹣z＜0，
∴（ax+by+cz）﹣（ax+bz+cy）＝by+cz﹣bz﹣cy＝b（y﹣z）﹣c（y﹣z）＝（y﹣z）（b﹣c）＞0，
∴ax+by+cz＞ax+bz+cy，即A＞B．
同理：A＞C，B＞D，
∴A式最大．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的加减、因式分解、不等式的性质、不等式的传递性等知识，比较大小常用作差法或作商法，应熟练掌握．
9．有5个正整数a1，a2，a3，a4，a5，某数学兴趣小组的同学对5个正整数作规律探索，找出同时满足以下3个条件的数．
①a1，a2，a3是三个连续偶数（a1＜a2＜a3），②a4，a5是两个连续奇数（a4＜a5），③a1+a2+a3＝a4+a5．
该小组成员分别得到一个结论：
甲：取a2＝6，5个正整数不满足上述3个条件；
乙：取a2＝12，5个正整数满足上述3个条件；
丙：当a2满足“a2是4的倍数”时，5个正整数满足上述3个条件；
丁：5个正整数a1，a2，a3，a4，a5满足上述3个条件，则a5＝3k+4（k为正整数）；
戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和是10p（p为正整数）；
以上结论正确的个数有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据每个成员的前提，然后分别利用题中的3个条件，表示出五个数，通过它们各自的特点与要求进行求解．
【解答】解：甲：若a2＝6，
由条件①可得：
a1＝4，a3＝8，
由条件②得：
a5＝a4+2，
由条件③得：
4+6+8＝a4+a4+2，
解得：a4＝8，
而a4是奇数，
∴“甲：取a2＝6，5个正整数不满足上述3个条件”，结论正确；
乙：若a2＝12，
由条件①知：
a1＝10，a3＝14，
由条件②知：
a5＝a4+2，
由条件③，得：
10+12+14＝a4+a4+2，
解得：a4＝17，
a4是奇数，符合题意，
∴“乙：取a2＝12，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确；
丙：若a2是4的倍数，设a2＝4n （n是正整数），
由条件①知：
a1＝4n﹣2，a3＝4n+2，
由条件②知：
a5＝a4+2，
由条件③，得
4n﹣2+4n+4n+2＝a4+a4+2，
解得：a4＝6n+1，
a4是奇数，符合题意，
∴“丙：当a2满足‘a2是4的倍数’时，5个正整数满足上述3个条件”，结论正确；
丁：设a1＝2k （k是正整数），
由条件①知：
a2＝2k+2，a3＝2k+4，
由条件②知：
a4＝a5﹣2，a4、a5是奇数，
由条件③，得
2k+2k+2+2k+4＝a5﹣2+a5，
解得：a5＝3k+4，
∵k是正整数，
∴3k+4也是正整数，
∴“丁：5个正整数a1，a2，a3，a4，a5满足上述3个条件，则a5＝3k+4（k为正整数）”，结论正确；
戊：设a1＝2m （m是正整数），
由条件①知：
a2＝2m+2，a3＝2m+4，
由条件②知：
a4＝a5﹣2，a4、a5是奇数，
由条件③，得：
2m+2m+2+2m+4＝a5﹣2+a5，
解得：a5＝3m+4，
∴a4＝a5﹣2＝3m+2，
∴a1，a2，a3的平均数为＝2m+2，
a4，a5的平均数为＝3m+3，
∴a1，a2，a3的平均数与a4，a5的平均数之和为2m+2+3m+3＝5m+5＝5（m+1），
∵m是正整数，
∴5（m+1）是5的倍数，不一定是10的倍数，
∴“戊：5个正整数满足上述3个条件，则a1，a2，a3的平均数与a4，a5 的平均数之和是10p （p为正整数）”结论错误．
综上所述，结论正确的个数有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了奇偶数的特点，解一元一次方程，求平均数等知识点，解题的关键是分别表示出5个符合结论以及题干条件的数，然后利用5个数的特点与要求进行求解．
10．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　）

A．4mcm B．4ncm C．2（m+n） cm D．4（m﹣n） cm
【分析】本题需先设小长方形卡片的长为a，宽为b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它们加起来即可求出答案．
【解答】解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，
∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a），
L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b），
∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），
又∵a+2b＝m，
∴4m+4n﹣4（a+2b），
＝4n．
故选：B．
【点评】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．在代数式a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，中，整式有　8　个；单项式有　5　个，次数为2的单项式是　ab　；系数为1的单项式是　a　．
【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断．
【解答】解：整式有a，π，ab，a﹣b，，x2+x+1，5，2a，共8个；
单项式有a，π，ab，5，2a共5个，次数为2的单项式是ab；
系数为1的单项式是a．
故答案为：8；5；ab；a．
【点评】此题考查了整式、单项式的有关概念，注意单个字母与数字也是单项式，单项式的系数是其数字因数，单项式的次数是所有字母指数的和．
12．若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差仍是单项式，则m﹣2n＝　﹣4　．
【分析】根据差是单项式，可得它们是同类项，在根据同类项，可得m、n的值，根据有理数的减法，可得答案．
【解答】解：∵单项式与的差仍是单项式，
∴单项式与是同类项，
m＝2，n+1＝4，
n＝3，
m﹣2n＝2﹣2×3＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了合并同类项，先根据差是单项式，得出它们是同类项，求出m、n的值，再求出答案．
13．观察下面的一列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，…根据你发现的规律，第n个单项式为　（﹣2）n﹣1xn　．
【分析】要看各单项式的系数和次数与该项的序号之间的变化规律．本题中，奇数项符号为正，数字变化规律是2n﹣1，字母变化规律是xn．
【解答】解：由题意可知第n个单项式是（﹣2）n﹣1xn．
故答案为：（﹣2）n﹣1xn．
【点评】本题考查找规律，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
14．如图．在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧．以D为圆心，3为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分为S1、S2．则S1﹣S2＝　﹣9　．

【分析】先求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以A为圆心，2为半径作圆弧、以D为圆心，3为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即可．
【解答】解：∵S正方形＝3×3＝9，
S扇形ADC＝＝，
S扇形EAF＝＝π，
∴S1﹣S2＝S扇形EAF﹣（S正方形﹣S扇形ADC）＝π﹣（9﹣）＝﹣9．
故答案为：﹣9．

【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
15．已知代数式ax4+bx3+cx2+dx+3．当x＝2时，代数式的值为20；当x＝﹣2时，代数式的值为16．当x＝2时，代数式ax4+cx2+3的值为 　18　．
【分析】根据已知条件列出方程组，再将两个方程组相加利用整体代入思想即可求值．
【解答】解：∵当x＝2时，代数式的值为20；当x＝﹣2时，代数式的值为16，
∴
两式相加，得
32a+8c＝30，
∴16a+4c＝15，
当x＝2时，代数式ax4+cx2+3的值为
16a+4c+3＝15+3＝18．
故答案为18．
【点评】本题考查了方程组思想、求代数式的值，解决本题的关键是整体思想的应用．
16．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：m＝n＝0时，我们称使得成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）．
（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m＝　﹣　；
（2）（m，n）是“相伴数对”，则代数式m﹣[n+（6﹣12n﹣15m）]的值为　﹣3　．
【分析】（1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出m的值；
（2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：+＝，
去分母得：15m+10＝6m+6，
移项合并得：9m＝﹣4，
解得：m＝﹣；
（2）由题意得：+＝，即＝，
整理得：15m+10n＝6m+6n，即9m+4n＝0，
则原式＝m﹣n﹣3+6n+m＝m+5n﹣3＝（9m+4n）﹣3＝﹣3，
故答案为：（1）﹣；（2）﹣3
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．已知a，b满足，求代数式﹣（a+2）+b2+a+1的值．
【分析】利用非负数的意义求得a，b的值，将整式合并同类项后代入运算即可．
【解答】解：∵，
∴2a+8＝0，b﹣＝0，
∴a＝﹣4，b＝．
原式＝﹣a﹣2+b2+a+1
＝b2﹣1
＝5﹣1
＝4．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的意义，绝对值的意义，算术平方根的意义，利用非负数的意义求得a，b的值是解题的关键．
18．先化简，再求值：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x＝，y＝﹣1．
【分析】先去小括号，再去中括号，合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2）
＝2x2﹣[﹣x2+2xy﹣2y2]﹣（2x2﹣2xy+4y2）
＝2x2+x2﹣2xy+2y2﹣2x2+2xy﹣4y2
＝x2﹣2y2，
当x＝，y＝﹣1时，原式＝﹣．
【点评】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据整式的加减法则进行化简是解此题的关键．
19．（3m﹣4）x3﹣（2n﹣3）x2+（2m+5n）x﹣6是关于x的多项式．
（1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式；
（2）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式．
【分析】（1）根据多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式可得3m﹣4＝0，且2n﹣3≠0，再解即可；
（2）根据多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式可得2n﹣3＝0，2m+5n＝0，且3m﹣4≠0，再解即可．
【解答】解：（1）由题意得：3m﹣4＝0，且2n﹣3≠0，
解得：m＝，n≠；

（2）由题意得：2n﹣3＝0，2m+5n＝0，且3m﹣4≠0，
解得：n＝，m＝﹣．
【点评】此题主要考查了多项式，关键是掌握多项式次数的确定方法．
20．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求的值．
【分析】根据题意，找出其中的等量关系a+b＝0 cd＝1|m|＝2，然后根据这些等式来解答即可．
【解答】解：根据题意，知
a+b＝0 ①
cd＝1 ②
|m|＝2，即m＝±2
把①②代入原式，得
原式＝0+4m﹣3×1＝4m﹣3
（1）当m＝2时，原式＝2×4﹣3＝5；
（2）当m＝﹣2时，原式＝﹣2×4﹣3＝﹣11．
所以，原式的值是5或﹣11．
【点评】主要考查倒数、相反数和绝对值的概念及性质．注意分类讨论思想的应用．
21．阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是 　﹣（a﹣b）2　．
（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；
拓展探索：
（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
【分析】（1）利用整体思想，把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2即可得到结果；
（2）原式可化为3（x2﹣2y）﹣21，把x2﹣2y＝4整体代入即可；
（3）依据a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，即可得到a﹣c＝﹣2，2b﹣d＝5，整体代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝（3﹣6+2）（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2；
故答案为：﹣（a﹣b）2；
（2）∵x2﹣2y＝4，
∴原式＝3（x2﹣2y）﹣21＝12﹣21＝﹣9；
（3）∵a﹣2b＝3①，2b﹣c＝﹣5②，c﹣d＝10③，
由①+②可得a﹣c＝﹣2，
由②+③可得2b﹣d＝5，
∴原式＝﹣2+5﹣（﹣5）＝8．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值问题，整体代入法是解决代数式求值问题的常用方法．
22．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物
优惠办法
少于200元
不予优惠
低于500元但不低于200元
九折优惠
500元或超过500元
其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 　530　元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 　0.9x　元，当x大于或等于500元时，他实际付款 　（0.8x+50）　元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
【分析】（1）让500元部分按9折付款，剩下的100按8折付款即可；
（2）等量关系为：购物款×9折；500×9折+超过500的购物款×8折；
（3）两次购物王老师实际付款＝第一次购物款×9折+500×9折+（总购物款﹣第一次购物款﹣第二次购物款500）×8折，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：（1）500×0.9+（600﹣500）×0.8＝530；
（2）0.9x；500×0.9+（x﹣500）×0.8＝0.8x+50；
（3）0.9a+0.8（820﹣a﹣500）+450＝0.1a+706．
【点评】解决本题的关键是得到不同购物款所得的实际付款的等量关系，难点是求第二问的第二次购物款应分9折和8折两部分分别计算实际付款．
23．如图，甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）．
（1）用含m的代数式表示：图中的甲长方形的面积S1＝　m2+8m+7　，乙长方形的面积S2＝　m2+6m+8　；
（2）请你先判断S1与S2的大小关系，并说明理由；
（3）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．

【分析】（1）利用多项式乘多项式法则，求出两个长方形的面积；
（2）计算两个长方形面积的差即可求解；
（3）根据长方形的周长公式，先算出正方形的周长，再求出两个多边形的面积差．
【解答】解：（1）S1＝（m+1）（m+7）＝m2+8m+7，
S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8．
故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8；
（2）S1＞S2，理由如下：
S1﹣S2＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1＞S2；
（3）图中甲的长方形周长为2（m+7+m+1）＝4m+16，
∴该正方形边长为m+4，
∴S﹣S1＝（m+4）2﹣（m2+8m+7）＝9，
∴这个常数为9．
【点评】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，掌握面积公式和多项式乘多项式法则是解决本题的关键．