2022版长沙四大名校集团九上第三次月考真题精选

这是一份2022版长沙四大名校集团九上第三次月考真题精选，共109页。试卷主要包含了之间满足如图所示的函数关系等内容，欢迎下载使用。
九上第三次月考真题精选2022版
一．试题（共42小题）
1．（2021秋•开福区校级月考）某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：则本组数据的众数与中位数分别为（　　）

第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
数量（棵）
5
6
5
4
6
5
7
A．5，4 B．6，5 C．7，6 D．5，5
2．（2021秋•雨花区校级月考）一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中红球的个数为 　 　．
3．（2021秋•芙蓉区校级月考）如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处则重转），两个转盘指针指向数字之和不超过4的概率是（　　）

A． B． C． D．
4．（2021秋•开福区校级月考）下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
5．（2021秋•芙蓉区校级月考）如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（　　）

A．4 B．4 C．3 D．2
6．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为xm．
（1）用含有x的式子表示BC，并直接写出x的取值范围；
（2）若苗圃园的面积为72m2，求AB的长．


7．（2021秋•雨花区校级月考）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的50%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？










8．（2021秋•雨花区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y＝ax在同一坐标系内的大致图象是（　　）

A． B． C．D．
9．（2021秋•望城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
10．（2021秋•雨花区校级月考）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2021秋•望城区校级月考）如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）

A．k1﹣k2 B．（k1﹣k2） C．k2﹣k1 D．（k2﹣k1）

12．（2021秋•雨花区校级月考）如图，第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，，BC、AD垂直于x轴于C、D，则k的值为 　 　．

13．（2021秋•雨花区校级月考）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 　 　．

14．（2021秋•天心区校级月考）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①DE∥AC；②CE＝AD；③tan∠FED＝；④S△EOF＝k．其中结论正确的有 　 　.（仅填序号即可）

15．（2021秋•雨花区校级月考）如图，已知矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OD：DB＝2：1，则k＝　 　．

16．（2021秋•望城区校级月考）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，且点A，B的横坐标分别为a和2a（a＞0）．过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接OA，△AOC的面积为2．
（1）求反比例函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P，Q在这个双曲线位于第三象限的一支上，点P的横坐标为﹣2．若△POQ与△AOB的面积相等，写出Q点的坐标　 　．



17．（2021秋•长沙月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b＞0的解集．


18．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴相交于A，B，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线AB相交于C，D两点，且C点坐标是（2，n），tan∠BOC＝．
（1）求直线AB及反比例函数的表达式．
（2）若x轴上有一点P，使∠ODP＝90°，求P点的坐标．






19．（2021秋•长沙月考）已知反比例函数y＝，一次函数y＝mx﹣m+1．
（1）求证：这两个函数一定有交点；
（2）我们定义：若两个函数图象的两个交点的横坐标x1、x2（x1＞x2），满足2＜＜3，则称这两个函数有两个“梦想交点”，如果y＝与y＝mx﹣m+1有两个“梦想交点”，求m的取值范围．

20．（2021秋•开福区校级月考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE＝1寸，CD＝10寸，则直径AB的长为　 　寸．

21．（2021秋•望城区校级月考）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B，点M运动的路径长是 　 　．

22．（2021秋•雨花区校级月考）如图所示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧的中点，AC与BD交于点E．若AE＝3，CD＝2，则CE等于（　　）

A．5 B．4 C．2 D．12

23．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连接CO，AD．若∠BAD＝20°，则（　　）

A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
24．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　 　．

25．（2021秋•天心区月考）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为　 　m．

26．（2021秋•长沙月考）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　．


27．（2021秋•开福区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．







28．（2021秋•望城区校级月考）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．


29．（2021秋•天心区月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝CB•CA；
（3）若BC＝3，CD＝，求弦AD的长．







30．（2021秋•雨花区校级月考）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）若BC＝4，求DE的长．


31．（2021秋•开福区校级月考）如图，把矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在BC边上的点F处，折痕交CD于E，若AE＝10，tan∠EFC＝，则矩形ABCD的面积为　 　．

32．（2021秋•岳麓区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝3，将△ABC以点C为中心顺时针旋转90°，得到△DEC，连接BE、AD．下列说法错误的是（　　）

A．S△ABD＝6 B．S△ADE＝3 C．BE⊥AD D．∠AED＝135°
33．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝　 　．

34．（2021秋•天心区月考）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．

35．（2021秋•岳麓区校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为　 　．

36．（2021秋•望城区校级月考）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于　 　．

37．（2021秋•长沙月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点C的坐标为（﹣1，﹣），则点A的坐标为（　　）

A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）
38．（2021秋•雨花区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．
39．（2021秋•岳麓区校级月考）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（　　）

A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
40．（2021秋•雨花区校级月考）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小马同学在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡比i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，tan53°
（1）求点B距水平地面AE的高度．
（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．


41．（2021秋•雨花区校级月考）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2＝CA•CB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝10，，求BE的长．






42．（2020秋•开福区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．
（1）求证：∠CDE＝∠BAC；
（2）连接AD，若tan∠CAD＝，CE＝4，求⊙O的半径．


二．几何压轴（共9小题）
43．（2021秋•雨花区校级月考）如图，在正方形ABCD中，F为CD上一点，AF交对角线BD于点E，点G是BC上的一点且AE＝EG，连结AG，交BD于点H．满足AH2＝HE•HD，现给出下列结论：①EG⊥AF；②BG+DF＝FG；③若tan∠DAF＝，则．其中正确的有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3
44．（2021秋•长沙月考）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．


45．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．




46．（2021秋•天心区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．


47．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，CD为⊙O的切线，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，BD＝1，DE＝．
（1）求证：CD＝DE；
（2）求⊙O的半径；
（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．










48．（2021秋•岳麓区校级月考）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．
（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为　 　；
（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；
（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．


49．（2021秋•岳麓区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　 　°；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，
①求证：△BDC是“近直角三角形”；
②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的长．


50．（2021秋•雨花区校级月考）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
（3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．


51．（2021秋•开福区校级月考）如图，在等边△ABC中，AB＝20，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．
（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径；
（2）连结BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长．


三．函数压轴（共9小题）
52．（2021秋•岳麓区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．


53．（2021秋•长沙月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


54．（2021秋•雨花区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OB＞OA，以AB为直径的圆过点C，若点C的坐标为（0，4），且AB＝10．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C，B重合），过点P作PD⊥BC，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与△COA相似时，求点P的坐标；
（3）若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点E，过点E任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．



55．（2021秋•长沙月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；
（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．


56．（2021秋•雨花区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）与函数（k为常数，k＞0，x＞0）交于A，B两点（B在A右侧），与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求tan∠DCO的值；
（2）如图1，若点B的坐标为（6，1），在x轴上是否存在点P，使△ACP与△CDO相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将直线AB平移到直线EF，其中点E为（0，1），点F在x轴上，连接AE，若AE⊥EF且AB＝2EF，求k的值．



57．（2021秋•岳麓区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．


58．（2021秋•开福区校级月考）定义：T函数的图象是由一次函数部分图象与二次函数部分图象组合而成．现有T函数：y＝．
（1）当m＝6时，点P（5，n）在此函数图象上，求n的值；
（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出m的取值范围；
（3）当此函数图象上恰好有3个点到x轴的距离等于4，求m的取值范围．

59．（2021秋•雨花区校级月考）若函数y1、y2满足y＝y1+y2，则称函数y是y1、y2的“融合函数”．例如，一次函数y1＝2x+1和二次函数y2＝x2+3x﹣4，则y1、y2的“融合函数”为y＝y1+y2＝x2+5x﹣3．
（1）若反比例函数y1＝和一次函数y2＝kx﹣3，它们的“融合函数”过点（1，5），求k的值；
（2）若y1＝ax2+bx+c为二次函数，且a+b+c＝5，在x＝t时取得最值，y2是一次函数，且y1y2的“融合函数”为y＝2x2+x﹣4，当﹣1≤x≤2时，求函数y1的最小值（用含t的式子表示）；
（3）若二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝﹣ax﹣b，其中a+b+c＝0且a＞b＞c，若它们的“融合函数”与x轴交点为A（x1，0）、B（x2，0），求|的取值范围．

60．（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．
（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；
（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．

九上第三次月考真题精选2022版
参考答案与试题解析
一．试题（共42小题）
1．（2021秋•开福区校级月考）某校师生植树节积极参加以组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：则本组数据的众数与中位数分别为（　　）

第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
第七组
数量（棵）
5
6
5
4
6
5
7
A．5，4 B．6，5 C．7，6 D．5，5
【解答】解：∵5出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是5棵；
把这组数据从小到大排列为：4，5，5，5，6，6，7，最中间的数是5；
则中位数为5．
故选：D．
2．（2021秋•雨花区校级月考）一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中红球的个数为 　21　．
【解答】解：设盒子中红球的个数为m个．
根据题意得＝30%，
解得：m＝21，
经检验，m＝21是分式方程的解，
所以这个不透明的盒子中红球的个数为21个．
故答案为：21．
3．（2021秋•芙蓉区校级月考）如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处则重转），两个转盘指针指向数字之和不超过4的概率是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：

由树状图可知共有4×3＝12种可能，两个转盘指针指向数字之和不超过4的有6种，
∴两个转盘指针指向数字之和不超过4的概率是，
故选：D．
4．（2021秋•开福区校级月考）下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分
【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题；
B．同角（或等角）的余角相等；真命题；
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题；
D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题；
故选：A．
5．（2021秋•芙蓉区校级月考）如图①，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是OD的中点．动点P从点E出发，沿着E→O→B→A的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点A，在此过程中线段AP的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则AB的长为（　　）

A．4 B．4 C．3 D．2
【解答】解：如图，连接AE．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OD＝OB，
由题意DE＝OE，设DE＝OE＝x，则OA＝OD＝2x，
∵AE＝2，
∴x2+（2x）2＝（2）2，
解得x＝2或﹣2（不合题意舍弃），
∴OA＝OD＝4，
∴AB＝AD＝4，
故选：A．
6．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为18m，设这个苗圃园垂直于墙的一边AB的长为xm．
（1）用含有x的式子表示BC，并直接写出x的取值范围；
（2）若苗圃园的面积为72m2，求AB的长．

【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm，且篱笆的长为30m，
∴BC＝（30﹣2x）m．
又∵，
∴6≤x＜15．
（2）依题意得：x（30﹣2x）＝72，
整理得：x2﹣15x+36＝0，
解得：x1＝3，x2＝12．
又∵6≤x＜15，
∴x＝12．
答：AB的长为12m．
7．（2021秋•雨花区校级月考）某商家准备销售一种防护品，进货价格为每件40元，并且每件的售价不低于进货价．经过市场调查，每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．
（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不允许高于进货价的50%．设这种防护品每月的总利润为w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

【解答】解：（1）设每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式是y＝kx+b，
∵点（60，600），（80，400）在该函数图象上，
∴，
解得，
即每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式是y＝﹣10x+1200；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1200）＝﹣10（x﹣80）2+16000，
∴该函数图象开口向下，当x＜80时，w随x的增大而增大，
∵该防护品每件的利润不允许高于进货价的50%．
∴x﹣40≤40×50%，
解得x≤60，
∴当x＝60时，w取得最大值，此时w＝12000，
答：售价定为60元可获得最大利润，最大利润是12000元．
8．（2021秋•雨花区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（abc≠0）的图象如图所示，反比例函数与正比例函数y＝ax在同一坐标系内的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：由二次函数的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0．
∴bc＜0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，正比例函数y＝ax的图象过一、三象限，
故选：B．
9．（2021秋•望城区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，则下列结论：①c＝2；②b2﹣4ac＞0；③方程ax2+bx＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝0；④7a+c＜0．其中正确的有（　　）
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
1.875
3
m
1.875
0
…
A．①④ B．②③ C．③④ D．②④
【解答】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点（﹣3，1.875）和点（1，1.875），
∵点（﹣3，1.875）与点（1，1.875）是关于二次函数对称轴对称的，
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+h，
代入点（﹣2，3），（2，0）得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴c＝3，
∴①是错误的，
∵b2﹣4ac＝＞0，
∴②是正确的，
方程ax2+bx＝0为，
即为x2+2x＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴③是正确的，
∵7a+c＝＝＞0，
∴④是错误的，
∴②③是正确的，
故选：B．
10．（2021秋•雨花区校级月考）若ab＜0，则反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵ab＜0，
∴反比例函数y＝的图象在二、四象限，故A、C选项不合题意，
∵ab＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故B选项不合题意，D选项符合题意，
故选：D．
11．（2021秋•望城区校级月考）如图，平行于y轴的直线分别交y＝与y＝的图象（部分）于点A、B，点C是y轴上的动点，则△ABC的面积为（　　）

A．k1﹣k2 B．（k1﹣k2） C．k2﹣k1 D．（k2﹣k1）
【解答】解：由题意可知，AB＝﹣，AB边上的高为x，
∴S△ABC＝×（﹣）•x＝（k1﹣k2），
故选：B．
12．（2021秋•雨花区校级月考）如图，第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且OA⊥OB，，BC、AD垂直于x轴于C、D，则k的值为 　﹣　．

【解答】解：如图，∵第一象限内的点A在反比例函数上，BC、AD垂直于x轴于C、D，
∴S△AOD＝×4＝2，
∵OA⊥OB，
∴∠AOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
∵∠BCO＝∠ODA＝90°，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∵，
∴＝（）＝，
∴S△OBC＝S△AOD＝×2＝，
∴•|k|＝，
而k＜0，
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．

13．（2021秋•雨花区校级月考）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，OA⊥AB，则k的值为 　8　．

【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BAN＝∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴＝，
∵点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2，），B（k，1），
∴OM＝2，AM＝，AN＝﹣1，BN＝k﹣2，
∴＝，
解得k1＝2（舍去），k2＝8，
∴k的值为8，
故答案为：8．

14．（2021秋•天心区校级月考）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上．下列四个结论：①DE∥AC；②CE＝AD；③tan∠FED＝；④S△EOF＝k．其中结论正确的有 　①③④　.（仅填序号即可）

【解答】解：设OA＝a，OC＝b，
E点的纵坐标为b，A的横坐标为a，分别代入y＝，
得E（，b），D（a，），
∴CE＝，AD＝，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝a，OC＝AB＝b，
∴BE＝a﹣，BD＝b﹣，
∴＝，＝，
∴＝，
∴DE∥AC，故①正确；
∵＝，
∴＝，
∵BC≠AB，
∴CE≠AD，故②错误；
过点E作EG⊥OA于点G，

∴∠EGA＝∠FAD＝90°，
∵∠B＝∠EFD＝90°，
∴∠GEF+∠GFE＝90°，
∵∠GFE+∠AFD＝90°，
∴∠GEF＝∠AFD，
∴△EGF∽△FAD，
∴DF：EF＝AF：EG，
∵∠EGA＝∠GAB＝90°，
∴四边形EGAB是矩形，
∴EB＝AG，EG＝AB，
∴DF：EF＝AF：AB，
在Rt△EFD中，tan∠FED＝，
∴tan∠FED＝，故③正确；
∵BE＝EF＝a﹣，BD＝FD＝b﹣，且△EGF∽△FAD，
∴＝，
∴GF＝，
∴CE＝OG＝，
∴OG＝GF，
∴OF＝2OG＝，
∴S△EOF＝•OF•EG＝••b＝k，
故④正确．
故答案为：①③④．
15．（2021秋•雨花区校级月考）如图，已知矩形OABC的面积为18，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OD：DB＝2：1，则k＝　8　．

【解答】解：由题意，设点D的坐标为（xD，yD），则点B的坐标为（xD，yD）．
∴矩形OABC的面积＝|xD×yD|＝18，
∵图象有第一象限，
∴k＝xD•yD＝8．
故答案为：8．
16．（2021秋•望城区校级月考）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，且点A，B的横坐标分别为a和2a（a＞0）．过点A作x轴的垂线，垂足为C，连接OA，△AOC的面积为2．
（1）求反比例函数表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P，Q在这个双曲线位于第三象限的一支上，点P的横坐标为﹣2．若△POQ与△AOB的面积相等，写出Q点的坐标　（﹣1，﹣4），（﹣4，﹣1）　．

【解答】解：（1）∵点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为C，△AOC的面积为2，
∴k＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数表达式为y＝；

（2）如图，作BD⊥x轴于点D，则S△AOC＝S△BOD＝×4＝2．
∵点A，B在反比例函数y＝的图象上，且点A，B的横坐标分别为a和2a（a＞0），
∴A（a，），B（2a，），
∴S△AOB＝S梯形ABDC+S△AOC﹣S△BOD
＝S梯形ABDC
＝（BD+AC）•CD
＝（+）×（2a﹣a）
＝3；

（3）∵点P在反比例函数y＝的图象上，点P的横坐标为﹣2，
∴y＝＝﹣2，即P（﹣2，﹣2）．
设Q点的坐标为（m，）．
如图，作PM⊥x轴于点M，QN⊥x轴于点N，
由（2）知S△POQ＝S梯形PMNQ＝3，
所以（2﹣）×|m+2|＝3，
①如果m＜﹣2，那么（2﹣）×（﹣m﹣2）＝3，
化简整理得，m2+3m﹣4＝0，
解得m1＝﹣4，m2＝1（不合题意舍去），
所以Q点坐标为（﹣4，﹣1）；
②如果m＞﹣2，那么（2﹣）×（m+2）＝3，
化简整理得，m2﹣3m﹣4＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝4（不合题意舍去），
所以Q点坐标为（﹣1，﹣4）；
综上所述，Q点坐标为（﹣1，﹣4），（﹣4，﹣1）．
故答案为（﹣1，﹣4），（﹣4，﹣1）．


17．（2021秋•长沙月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OC的中点A（3，2），交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．
（1）求反比例函数和直线EF的解析式；
（2）求△OEF的面积；
（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b＞0的解集．

【解答】解：（1）∵四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），
∴C点坐标为（6，4），
∵A点坐标为（3，2），
∴k1＝3×2＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
把x＝6代入y＝得x＝1，则F点的坐标为（6，1）；
把y＝4代入y＝ 得x＝，则E点坐标为（，4），
把F（6，1）、E（，4）代入y＝k2x+b，
得 ，
解得，，
∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5；
（2）△OEF的面积＝S矩形BCDO﹣S△ODE﹣S△OBF﹣S△CEF
＝4×6﹣×4×﹣×6×1﹣×（6﹣）×（4﹣1）
＝；
（3）由图象得：不等式k2x+b﹣＞0的解集为＜x＜6．
18．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴相交于A，B，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线AB相交于C，D两点，且C点坐标是（2，n），tan∠BOC＝．
（1）求直线AB及反比例函数的表达式．
（2）若x轴上有一点P，使∠ODP＝90°，求P点的坐标．

【解答】解：（1）如图1，
过点C作CE⊥OB于E，
∴∠OEC＝90°，
∵C（2，n），
∴CE＝2，OE＝n，
∵tan∠BOC＝，
∴，
∴＝，
∴n＝4，
∴C（2，4），
将点C的坐标代入直线AB：y＝﹣x+b中，得4＝﹣×2+b，
∴b＝5，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
将点C的坐标代入反比例函数y＝中，得k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；

（2）如图2，由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+5①，
反比例函数的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴D（8，1），
过点D作DF⊥OA于F，
∴∠OFD＝90°，
∴∠DOF+∠ODF＝90°，
∵∠ODP＝90°，
∴∠ODF+∠PDF＝90°，
∴∠DOF＝∠PDF，
∴△OFD∽△DFP，
∴，
∵D（8，1），
∴OF＝8，DF＝1，
∴，
∴PF＝，
∴OP＝OF+PF＝8+＝，
∴P（，0）．

19．（2021秋•长沙月考）已知反比例函数y＝，一次函数y＝mx﹣m+1．
（1）求证：这两个函数一定有交点；
（2）我们定义：若两个函数图象的两个交点的横坐标x1、x2（x1＞x2），满足2＜＜3，则称这两个函数有两个“梦想交点”，如果y＝与y＝mx﹣m+1有两个“梦想交点”，求m的取值范围．
【解答】解：（1）联立，
整理得mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0．
∴a＝m，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣1，
∴Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4m（﹣1）＝m2﹣2m+1+4m，
∴Δ＝（m+1）2≥0，
∴这两个函数一定有交点；
（2）∵mx2﹣（m﹣1）x﹣1＝0，
∴x＝1或﹣，
由题意得：2＜﹣m＜3或2＜﹣＜3，
解得：﹣3＜m＜﹣2或﹣＜m＜﹣．
综上所述，m的取值范围为：﹣＜m＜﹣或﹣3＜m＜﹣2．
20．（2021秋•开福区校级月考）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，AE＝1寸，CD＝10寸，则直径AB的长为　26　寸．

【解答】解：连接OC．设圆的半径是x寸，在直角△OCE中，OC＝x寸，OE＝（x﹣1）寸，
∵OC2＝OE2+CE2，
则x2＝（x﹣1）2+25，
解得：x＝13．
则AB＝2×13＝26（寸）．
故答案为：26．

21．（2021秋•望城区校级月考）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B，点M运动的路径长是 　π　．

【解答】解：取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵，
∴，
∴，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，为半径的半圆，
∴，
∴点M的运动路径长＝，
故答案为：π．

22．（2021秋•雨花区校级月考）如图所示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧的中点，AC与BD交于点E．若AE＝3，CD＝2，则CE等于（　　）

A．5 B．4 C．2 D．12
【解答】解：延长BA、CD交于点G，

∵D是的中点，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，
又∵BC为直径，
∴∠BDC＝90，
∴△BCG为等腰三角形，
∴BD平分CG，
∴CG＝2CD＝4，
在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，∠CDE＝∠CAG＝90°，
∴△CDE∽△CAG，
∴＝，
即＝，
解得CE＝5或CE＝﹣8（舍去），
故CE的长为5，
故选：A．
23．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连接CO，AD．若∠BAD＝20°，则（　　）

A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
【解答】解：∵AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE，＝，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°．
故选：D．
24．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝　13°　．

【解答】解：如图，连接DC，
∵∠DBC＝90°，
∴DC是⊙O的直径，
∵点B是的中点，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，
∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，
故答案为：13°．

25．（2021秋•天心区月考）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为　　m．

【解答】解：如图，连接OA，OB，OC，

则OB＝OA＝OC＝1m，
因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，
则扇形的弧长为：m，
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
2πr＝，
解得，r＝（m），
故答案为：．
26．（2021秋•长沙月考）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　12　．

【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝6．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2BO＝12．
故答案为12．
27．（2021秋•开福区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝，求BF和AD的长．

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵cosB＝＝，BE＝5，
∴BF＝BE＝×5＝4，
∴EF＝＝＝3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3．
28．（2021秋•望城区校级月考）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．

【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠BAC＝∠OBA，
∵∠PBA＝∠C，
∴∠PBA+∠OBA＝90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，AC＝4，
∵OP∥BC，
∴∠CBO＝∠BOP，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠C＝∠BOP，
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC＝2．

29．（2021秋•天心区月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）求证：CD2＝CB•CA；
（3）若BC＝3，CD＝，求弦AD的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠EAC，
∴∠OAD＝∠EAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∵OD为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∵∠ADB＝90°，
∴∠CDO＝∠ADB，
∴∠ODA＝∠CDB＝∠OAD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴＝，
∴CD2＝CB•CA；
（3）解：∵CB＝3，CD＝3，
∴CA＝＝6，
∴AB＝6﹣3＝3，
由（2）可知：△CDB∽△CAD，
∴＝＝＝，
∴BD＝AD，
在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2，即AD2+（AD）2＝32，
解得：AD＝．

30．（2021秋•雨花区校级月考）如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）证明：DE为⊙O的切线；
（2）若BC＝4，求DE的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠B，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠ODB＝∠A，
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEA＝90°，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：连接CD，
∵BC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠A＝30°，
又∵AC＝BC＝4，
∴AD＝AC•cos30°＝4×＝2，
∴DE＝AD＝．

31．（2021秋•开福区校级月考）如图，把矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在BC边上的点F处，折痕交CD于E，若AE＝10，tan∠EFC＝，则矩形ABCD的面积为　64　．

【解答】解：设CE＝3k，则CF＝4k，由勾股定理得EF＝DE＝＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝10，
解得：k＝，
∴BC＝4，AB＝，
∴矩形ABCD的面积为BC×AB＝4×＝64．
故答案为：64．
32．（2021秋•岳麓区校级月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝3，将△ABC以点C为中心顺时针旋转90°，得到△DEC，连接BE、AD．下列说法错误的是（　　）

A．S△ABD＝6 B．S△ADE＝3 C．BE⊥AD D．∠AED＝135°
【解答】解：∵将△ABC以点C为中心顺时针旋转90°，得到△DEC，
∴AC＝CD＝3，BC＝CE＝1，∠ACD＝90°，
∴AE＝AC﹣CE＝2，BD＝BC+CD＝4，∠ADC＝∠CAD＝∠CBE＝∠CEB＝45°，
∴S△ABD＝×BD×AC＝6，S△ADE＝×AE×CD＝3，∠CBE+∠ADC＝90°，∠ADE＜45°，
∴BE⊥AD，
故A、B、C选项不符合题意，D选项符合题意．
故选：D．
33．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝　2　．

【解答】解：连接MB，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，
∴AB＝AM，∠MAB＝60°，

∴△ABM是等边三角形，
∴MB＝AB＝2，
故答案为：2．
34．（2021秋•天心区月考）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
A、C、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC＝，AC＝2，
对应的图形B中的边长分别为1和，
∵＝，
∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故选：B．
35．（2021秋•岳麓区校级月考）如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为　3或　．

【解答】解：∵AC＝4，P是AC的中点，
∴AP＝AC＝2，
①若△APQ∽△ACB，则，
即，
解得：AQ＝3；
②若△APQ∽△ABC，则，
即，
解得：AQ＝；
∴AQ的长为3或．
故答案为：3或．
36．（2021秋•望城区校级月考）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于　　．

【解答】解：∵＝，
∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
∴AC＝a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC
∴a2＝CE•a，2a2＝AE•a，
∴CE＝，AE＝，
∴＝，
∵△CEF∽△AEB，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
37．（2021秋•长沙月考）如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点C的坐标为（﹣1，﹣），则点A的坐标为（　　）

A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）
【解答】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，C（﹣1，﹣），
∴点A的坐标为（﹣1×（﹣3），﹣×（﹣3）），即（3，2），
故选：D．
38．（2021秋•雨花区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝3，CD＝2，则tanB的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
又∠B+∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝∠B，
∴tan∠B＝，tan∠CAD＝，
∴＝，即AD2＝BD•CD＝3×2＝6．
∴AD＝．
故tan∠B＝＝．
故选：D．
39．（2021秋•岳麓区校级月考）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（　　）

A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
【解答】解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，
∴sinα＝＝，
∴BC＝30sinα米．
故选：A．
40．（2021秋•雨花区校级月考）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小马同学在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡比i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，参考数据：，tan53°
（1）求点B距水平地面AE的高度．
（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．

【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝5（米），
即点B距水平地面AE的高度为5米；
（2）在Rt△ABM中，
∴BM＝AB＝5（米）＝NE，
AM＝AB＝5（米），
∴ME＝AM+AE＝（5+21）米＝BN，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（5+21）米，
∴CE＝CN+NE＝（5+26）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，
∴DE＝AE•tan53°≈21×＝28（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝5+26﹣28
＝5﹣2
≈6.7（米）＜7米，
∴符合要求，

41．（2021秋•雨花区校级月考）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2＝CA•CB．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝10，，求BE的长．

【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵CD2＝CA•CB，
∴，
∵∠C＝∠C，
∴△DCA∽△BCD，
∴∠ADC＝∠DBC，
∵OB＝OD，
∴∠BDO＝∠DBO，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ODA＝∠CDA+∠ODA＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD为O0的切线；
（2）∵BE、CE是⊙O的切线，
∴ED＝EB，
∵△DCA∽△BCD，
∴∠DBA＝∠CDA，
∴＝tan∠DBA＝tan∠CDA＝，
∴CD＝BC＝6，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝x+6．
在Rt△CBE中，
（x+6）2＝x2+102，
解得：x＝，
∴BE＝．
42．（2020秋•开福区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且DE是⊙O的切线．
（1）求证：∠CDE＝∠BAC；
（2）连接AD，若tan∠CAD＝，CE＝4，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）如图，连接OD，AD，

∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD＝BAC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADC＝∠ODE，
∴∠CDE＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴∠CDE＝∠CAD，
∵∠CAD＝BAC，
∴∠CDE＝∠BAC；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴tan∠CAD＝＝，
∴AD＝3CD，
设DC＝x，则AD＝3x，CE＝4，
∴AC＝＝x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DE＝12，x＝，
∴AC＝x＝32，
∴⊙O的半径为16．
二．几何压轴（共9小题）
43．（2021秋•雨花区校级月考）如图，在正方形ABCD中，F为CD上一点，AF交对角线BD于点E，点G是BC上的一点且AE＝EG，连结AG，交BD于点H．满足AH2＝HE•HD，现给出下列结论：①EG⊥AF；②BG+DF＝FG；③若tan∠DAF＝，则．其中正确的有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：∵AH2＝HE•HD，
∴＝，
∵∠HAE＝∠ADH，
∴△AHE∽△DHA，
∴∠HAE＝∠ADH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AC平分∠ADC，
∴∠ADH＝45°，
∴∠HAE＝∠EGA＝45°，
∵AE＝EG，
∴∠EAH＝∠EGA＝45°，
∴∠AEG＝90°，
∴EG⊥AF，
∴①正确；
将△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABM，
∴△ADF≌△ABM，
∴AF＝AM，DF＝BM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠FAG＝45°，∠DAB＝90°，
∴∠DAF+∠GAB＝45°，
∴∠GAB+∠BAM＝45°，
∴∠FAG＝∠MAG，
在△FAG和△MAG中，
，
∴△FAG≌△MAG（SAS），
∴FG＝MG，
∴MB+BG＝FG，
∴BG+DF＝GF，
∴②正确；
设正方形的边长为4，BG＝a，
∵tan∠DAF＝，
∴DF＝FC＝BM＝2，
∴CG＝4﹣a，MG＝GF＝2+a，
在Rt△FCG中，CG2+CF2＝GF2，
∴（4﹣a）2+4＝（a+2）2，
解得：a＝，
即BG＝，GC＝，
∴＝，
∴③错误．
正确的有2个．
故选：C．
44．（2021秋•长沙月考）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：CE＝CF；
（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．

【解答】解：（1）连接OC，如右图所示，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°，
∵CE＝CB，
∴∠CAE＝∠CAB，
∵∠BCD＝∠CAE，
∴∠CAB＝∠BCD，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC，
∴△ABC≌△AFC（ASA），
∴CB＝CF，
又∵CB＝CE，
∴CE＝CF；
（3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴，
∴，
∴DA＝2，
∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
设BC＝a，AC＝a，由勾股定理可得：，
解得：a＝，
∴．

45．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．

【解答】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO＝∠DAC．
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO，
∴∠DAC＝∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）证明：∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD＝90°．
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠PCB+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠PCB．
又∵∠DAC＝∠CAO，
∴∠CAO＝∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∴PC＝PF；
（3）解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴＝．
又∵tan∠ABC＝，
∴，
∴，
设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，
∵PC2+OC2＝OP2，
∴（4k）2+72＝（3k+7）2，
∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．
∴PC＝4k＝4×6＝24．

46．（2021秋•天心区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

【解答】解：（1）连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，
∴∠GFB＝90°，
∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，
∴∠FGB＝∠PCG，
∵∠FGB＝∠PGC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG；
（2）如图1，连接EC、CD，
∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，
∴＝，
∴∠ECB＝∠BCD，
∵PG＝PC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，
∴∠PCD＝∠E，
∴△PCD∽△PEC，
∴＝，
∴PC2＝PE•PD，
∵PC＝PG，
∴PG2＝PD•PE；
（3）如图2，连接OG，EO，
∵G为BC中点，
∴OG⊥BC，
在Rt△BOG中，OG＝，sinB＝，
∴OB＝5，BG＝2，
∵GF⊥OB，
∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，
∴∠GOF＝∠FGB，
∴△FGB∽△GOB，
∴，
∴＝，
∴FB＝4，
∴OF＝1，
在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，
∴EF＝2，
∴ED＝4．


47．（2021秋•岳麓区校级月考）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，CD为⊙O的切线，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，BD＝1，DE＝．
（1）求证：CD＝DE；
（2）求⊙O的半径；
（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠ACO+∠ECD＝90°，
∵ED⊥AD，
∴∠A+∠E＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝DE；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r，
∵BD＝1，DE＝，
∴OD＝r+1，CD＝，
在Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，
∴r2+（）2＝（r+1）2，
解得：r＝2，
∴⊙O的半径为2；
（3）解：如图2，连接AF，BF，AP，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴＝，
∴AF＝BF，∠ACF＝∠BCF＝∠ABF＝∠BAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝4，
∴AF＝BF＝2，
∵P为△ABC的内心，
∴AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP，
∵∠PAF＝∠BAP+∠BAF，∠APF＝∠CAP+∠ACF，
∴∠PAF＝∠APF，
∴PF＝AF＝2．


48．（2021秋•岳麓区校级月考）有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．
（1）已知Rt△ABC为智慧三角形，且Rt△ABC的一边长为，则该智慧三角形的面积为　或1或或或　；
（2）如图①，在△ABC中，∠C＝105°，∠B＝30°，求证：△ABC是智慧三角形；
（3）如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A（3，0），点B，C在函数y＝上（x＞0）的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当△ABC是直角三角形时，求k的值．

【解答】解：（1）如图1，设∠A＝90°，AC≤AB，S△ABC＝AC•AB
①若AC＝
i）AB＝AC＝2，
∴S＝
ii）BC＝AC＝2，则AB＝，
∴S＝
②若AB＝
i）AB＝AC，即AC＝，
∴S＝
ii）BC＝AB＝2，则AC＝
∴S＝
③若BC＝，若AB＝AC＝＝1
∴S＝，
若AB＝AC，AB＝，，S＝××＝
故答案为：或1或或或．


（2）证明：如图2，过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°
在Rt△BCD中，∠B＝30°，
∴BC＝2CD，∠BCD＝90°﹣∠B＝60°
∵∠ACB＝105°
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝45°
∴Rt△ACD中，AD＝CD
∴AC＝
∴
∴△ABC是智慧三角形．


（3）∵△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角
∴BC＝AB
∵△ABC是直角三角形，
∴AB不可能为斜边，即∠ACB≠90°
∴∠ABC＝90°或∠BAC＝90°
①当∠ABC＝90°时，过B作BE⊥x轴于E，过C作CF⊥EB于F，过C作CG⊥x轴于G，如图3，
∴∠AEB＝∠F＝∠ABC＝90°
∴∠BCF+∠CBF＝∠ABE+∠CBF＝90°
∴∠BCF＝∠ABE
∴△BCF∽△ABE
∴
设AE＝a，则BF＝AE＝a
∵A（3，0）
∴OE＝OA+AE＝3+a
∵B的纵坐标为，即BE＝
∴CF＝BE＝2，CG＝EF＝BE+BF＝，B（3+a，）
∴OG＝OE﹣GE＝OE﹣CF＝3+a﹣2＝1+a
∴C（1+a，）
∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，
∴（3+a）＝（1+a）（+a）＝k
解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝1
∴k＝
②当∠BAC＝90°时，过C作CM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，如图4，
∴∠CMA＝∠ANB＝∠BAC＝90°
∴∠MCA+∠MAC＝∠MAC+∠NAB＝90°
∴∠MCA＝∠NAB
∴△MCA∽△NAB
∵BC＝，
∴2AB2＝BC2＝AB2+AC2
∴AC＝AB
∴△MCA≌△NAB（AAS）
∴AM＝BN＝
∴OM＝OA﹣AM＝3﹣
设CM＝AN＝b，则ON＝OA+AN＝3+b，
∴C（3﹣，b），B（3+b，）
∵点B、C在在函数y＝上（x＞0）的图象上，
∴（3﹣）b＝（3+b）＝k
解得：b＝
∴k＝18+15
综上所述，k的值为或

49．（2021秋•岳麓区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　20　°；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，
①求证：△BDC是“近直角三角形”；
②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的长．

【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为20；
（2）①如图1，设∠ABD＝∠DBC＝β，∠C＝α，

则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②存在，理由：
在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，
AB＝3，AC＝4，则BC＝5，
则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，
即，即，解得：AE＝，
则CE＝4﹣＝；
（3）①如图2所示，连接DE，

当∠ACB+2∠DBC＝90°时，
又∵∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠DBC＝β，
∴AD＝DE，
∵BD是直径，
∴∠BAD＝∠BED＝90°，
∴∠ADB＝∠BDE，
∴AB＝BE，
∴BD垂直平分AE，
∴BF＝＝＝4，
∵∠DAE＝∠DBE＝∠ABD，∠AFD＝∠AFB＝90°，
∴△ADF∽△BAF，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝；
②如图3所示，当2∠C+∠DBC＝90°时，
又∵∠DBC+∠C+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C＝β，

过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），
∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，
∴AE＝AB＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，AH⊥BC，
∴ED∥AH，则AF：EF＝AG：DE＝3：2，
则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝DE＝k，
在△BGH中，BH＝＝＝2k，
∵AG＝3k，GH＝k，
∴AH＝4k，
∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，
∴∠C＝∠BAH，
∴tanC＝tan∠BAH＝tan∠ABD＝＝，
∴，
∴AD＝，
综上所述：AD的长为或．
50．（2021秋•雨花区校级月考）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP；
（3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．

【解答】（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．

（2）证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴＝，
即AE2＝AO•AP，
∵AO＝AC，
∴AE2＝AC•AP，
∴2AE2＝AC•AP．

（3）解：设AB＝xcm，BF＝ycm．
∵由（1）四边形AFCE是菱形，
∴AF＝AE＝10cm．
∵∠B＝90°，
∴x2+y2＝100．
∴（x+y）2﹣2xy＝100①．
∵△ABF的面积为24cm2，
∴xy＝24．即xy＝48 ②．
由①、②得（x+y）2＝196．
∴x+y＝14或x+y＝﹣14（不合题意，舍去）．
∴△ABF的周长为：x+y+AF＝14+10＝24（cm）．
51．（2021秋•开福区校级月考）如图，在等边△ABC中，AB＝20，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的⊙P与边AB的另一个交点为D，过点D作DE⊥CB于点E．
（1）当⊙P与边BC相切时，求⊙P的半径；
（2）连结BP交DE于点F，设AP的长为x，PF的长为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的⊙Q与⊙P相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长．

【解答】解：（1）如图1，

设BC与⊙P相切于点E，连接AE，
∴PE⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，AC＝AB＝20，
在Rt△PCE中，PE＝AP＝x，PC＝20﹣x，∠C＝60°，
由PE＝PC•sinC得，
•（20﹣x）＝x，
∴，
∴⊙P的半径为；
（2）如图2，

作PH⊥AB于H，作FG⊥AB于G，
在Rt△APH中，∠A＝60°，AP＝x，
∴AH＝＝，PH＝＝，
在Rt△APH中，BH＝AB﹣AH＝20﹣，PH＝，
∴BP＝＝，
在Rt△DFG中，∠FDG＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
设FG＝a，则DG＝，
∴BG＝AB﹣AD﹣DG＝20﹣x﹣，
∵FG∥PH，
∴△BFG∽△BPH，
∴，
∴＝＝，
∴a＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴PF＝BP﹣BF＝（1﹣）＝，
∴y＝，（0＜x＜20）；
（3）如图3，

连接EG，
∵PD＝PA，∠A＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴∠APD＝∠ADP＝60°，
∵∠B＝60°，
∴∠B＝∠ADP，
∴PD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴PD⊥DE，
∴∠PDE＝90°，
∴点D在⊙Q上，
∵PE是⊙Q的直径，
∴∠EPF＝90°，
在Rt△EPG和Rt△EPD中，∠EGP＝∠EDP＝90°，
，
∴Rt△EPG≌Rt△EPD（HL），
∴∠EPG＝∠EPD＝＝60°，
∵∠C＝60°，
∴△ECP是等边三角形，
∴CG＝PG＝AP，
∴PG＝PD＝，
在Rt△PGT中，
GT＝，
∴DG＝2GT＝，
即⊙P和⊙Q的公共弦的长为：．
三．函数压轴（共9小题）
52．（2021秋•岳麓区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．

【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图，设BP与y轴交于点E，
∵PD∥y轴，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
设OE＝a，则CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a＝，
∴E（0，），
设BE所在直线表达式为y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直线BP的表达式为y＝﹣x+；
（3）有最大值．
如图，设PD与AC交于点N，
过点B作y轴的平行线与AC相交于点M，
设直线AC表达式为y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AC表达式为y＝x+4，
∴M点的坐标为（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝，
设P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），则N（a0，a0+4），
∴＝＝＝，
∴当a0＝﹣2时，有最大值，
此时，点P的坐标为（﹣2，6）．

53．（2021秋•长沙月考）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为C（3，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+6，
将B（0，3）代入可得a＝﹣，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）连接PO，

由题意，BO＝3，AO＝3，
设P（n，﹣n2+2n+3），
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO，
S△BPO＝n，
S△APO＝﹣n2+3n+，
S△ABO＝，
∴S△ABP＝S△BOP+S△AOP﹣S△ABO＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+，
∴当n＝时，S△ABP的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为（t，﹣t2+2t+3），
过D作对称轴的垂线，垂足为G，

则DG＝t﹣3，CG＝6﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t+3，
∵∠ACD＝30°，
∴2DG＝DC，
在Rt△CGD中，
CG＝DG，
∴（t﹣3）＝t2﹣2t+3，
∴t＝3+3或t＝3（舍）
∴D（3+3，﹣3），
∴AG＝3，GD＝3，
连接AD，在Rt△ADG中，
∴AD＝＝6，
∴AD＝AC＝6，∠CAD＝120°，
∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，∠CQD＝∠CAD＝60°，
设Q（0，m），AQ为圆A的半径，
AQ2＝OA2+QO2＝9+m2，
∴AQ2＝AC2，
∴9+m2＝36，
∴m＝3或m＝﹣3，
综上所述：Q点坐标为（0，3）或（0，﹣3）．
54．（2021秋•雨花区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，且OB＞OA，以AB为直径的圆过点C，若点C的坐标为（0，4），且AB＝10．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与C，B重合），过点P作PD⊥BC，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与△COA相似时，求点P的坐标；
（3）若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点E，过点E任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．


【解答】解：（1）∵以AB为直径的圆过点C，
∴∠ACB＝90°，
∵点C的坐标为（0，4），
∴CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠COB＝90°，
∴∠ACO+∠OCB＝∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠OCB＝∠OAC，
∴△AOC∽△COB，
∴＝，
∵CO＝4，AO+BO＝AB＝10，
∴AO＝10﹣OB，
∴＝，
解得OB＝2或OB＝8，经检验，均满足题意，
∵OB＞OA，
∴OB＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把点A、B、C三点的坐标代入，
则，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4．
（2）根据题意，如图：

当△AOC∽△PDC时，
∴∠ACO＝∠PCD，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠PCD+∠OCB＝90°，
∴PC⊥OC，
∴点P的纵坐标为4，
当y＝4时，有﹣x2+x+4＝4，
解得x＝6或x＝0（舍），
∴点P的坐标为（6，4）；
当△AOC∽△CDP时，
∴∠P′D′C＝90°，∠P′CD′＝∠CAO，
∴BC垂直平分OP′，
作P′G⊥y轴于点G，如上图，
∴∠CQP′＝∠AOC＝90°，
∴AC∥OP′，
∴∠ACO＝∠P′OG，
∵∠P′GO＝∠AOC＝90°，
∴△AOC∽△P′GO，
∴AO：P′G＝OC：GO，
设P′（x，﹣x2+x+4），
∴P′G＝x，GO＝﹣x2+x+4，
∴＝，
解得x＝﹣1（负值舍去），
∴﹣x2+x+4＝2﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，2﹣2）．
综上，点P的坐标为：（6，4）或（﹣1，2﹣2）．
（3）过点E作EI⊥AC于I，EJ⊥CN于J，如图，

∵点C是∠ACB的平分线，EI⊥AC，EJ⊥CN，
∴EI＝EJ，
∵EN∥CN，EJ∥CM，
∴△MEI∽△MNC，△NEJ∽△NMC，
∴＝，＝，
∴+＝+＝1，
∴+＝1，
∴＝，
∵△ACO∽△AEI，
∴，
∵AC＝＝2，
AC＝AI+IC＝AI+EI，
∴＝，
解得EI＝，经检验，符合题意；
∴＝＝；
∴是一个定值．
55．（2021秋•长沙月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；
（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．

【解答】解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），
令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），
把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；

（2）∵PM∥y轴，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝∠BCP，
∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：
①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，

设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x，x﹣2），
∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠PBN＝∠OAB，
∵∠AOB＝∠BNP＝90°，
∴△AOB∽△BNP，
∴，即＝，
解得：x1＝0（舍），x2＝，
∴P（，﹣5）；
②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，

当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，
∴x1＝0（舍），x2＝，
∴P（，﹣2）；
综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；

（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠BOA≠45°，
∴∠BQP≠2∠BOA，
∴分两种情况：
①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，

∴OE＝AE，
∴∠OAB＝∠AOE，
∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，
∵OB∥PG，
∴∠OBE＝∠PHB，
∴△BOE∽△HPB，
∴，
由勾股定理得：AB＝＝2，
∴BE＝，
∵GH∥OB，
∴，即，
∴BH＝x，
设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x，x﹣2），
∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，
∴，
解得：x1＝0，x2＝3，
∴点P的横坐标是3；
②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，

设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，t﹣2），
∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，
∵OB＝2，OA＝4，
∴AB＝2，
∴OE＝BE＝AE＝，OF＝＝＝，
∴EF＝＝＝，
S△ABP＝＝，
∴2PQ＝4（﹣t2+4t），
PQ＝，
∵∠OFE＝∠PQB＝90°，
∴△PBQ∽△EOF，
∴，即，
∴BQ＝，
∵BQ2+PQ2＝PB2，
∴＝，
化简得，44t2﹣388t+803＝0，
即：（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，
解得：t1＝5.5（舍），t2＝；
综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．
56．（2021秋•雨花区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）与函数（k为常数，k＞0，x＞0）交于A，B两点（B在A右侧），与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求tan∠DCO的值；
（2）如图1，若点B的坐标为（6，1），在x轴上是否存在点P，使△ACP与△CDO相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，将直线AB平移到直线EF，其中点E为（0，1），点F在x轴上，连接AE，若AE⊥EF且AB＝2EF，求k的值．


【解答】解：（1）对y＝﹣，令x＝0，则y＝b，令y＝0，则x＝2b，
∴C（2b，0），D（0，b），
由题意可得OD＝b，OC＝2b，
∴tan∠DCO＝；
（2）存在，
∵B（6，1）在y＝﹣和y＝上，
∴1＝﹣，k＝1×6＝6，
解得b＝4，
∴OD＝4，OC＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣，反比例函数的解析式为y＝，
解方程组得：，，
∴A（2，3），
若△ACP与△CDO相似，由于∠ACO为公共角，
则有两种情况：①∠APC＝90°时，如图，

满足△ACP与△CDO相似，此时OP＝2，AP＝3，
即P（2，0）；
②当∠PAC＝90°时，如图，

满足△ACP与△CDO相似，此时CP：CD＝CA：CO，
∵CD＝，AC＝，
∴CP：4＝3：8，
解得CP＝，
∴OP＝，
即点P（）；
综上所述，P（2，0）或（，0）；
（3）由题意可得平移后的直线EF解析式为y＝﹣，
∴F（2，0），
∵E（0，1），
∴EF＝＝，
过点F作FG⊥AB于G，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BH⊥AM于点H，如图，

则四边形AEFG是矩形，
∴AG＝EF，
∵AB＝2EF，
∴AB＝2AG＝2EF＝2，
∵AB∥EF，MH∥OC，
∴∠ACO＝∠HAC＝∠EFO，
∵∠MEA+∠MAE＝∠MEA+∠HAC＝90°，
∴∠ACO＝∠HAC＝∠MEA＝∠DAM，
∴＝tan，
∵OD＝b，OE＝1，
∴DE＝，AM＝，ME＝，HB＝2，AH＝4，
∴A（），B（4+），
由于A，B都在双曲线上，
∴[1+]＝4[4+]×，
解得b＝，
∴A（），
∴k＝．
57．（2021秋•岳麓区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的，求此时点M的坐标；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．

【解答】解：（1）令x＝0，则y＝5，
∴C（0，5），
令y＝0，则x＝1，
∴A（1，0），
将点A（1，0），C（0，5）代入y＝x2+bx+c，
得，
∴，
∴y＝x2﹣6x+5；
（2）设M（m，m2﹣6m+5），
令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得x＝5或x＝1，
∴B（5，0），
∴AB＝4，
∴S△ABC＝×4×5＝10，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的，
∴S△AMB＝6＝×4×（m2﹣6m+5），
解得m＝2或m＝4，
∴M（2，﹣3）或M（4，﹣3）；
（3）将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，
∵∠B'AD+∠BAD＝90°，∠PAB+∠BAD＝90°，
∴∠B'AD＝∠PAB，
∵AB＝AB'，PA＝AD，
∴△ADB'≌△APB'（SAS），
∴BP＝B'D，
∵PB＝2，
∴B'D＝2，
∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，
∵B（5，0），A（1，0），
∴B'（1，﹣4），
∵BF＝2，
∴F（7，0），
∴B'F＝2，
∴DF的最大值为2+2，DF的最小值为2﹣2，
∴2﹣2≤DF≤2+2．

58．（2021秋•开福区校级月考）定义：T函数的图象是由一次函数部分图象与二次函数部分图象组合而成．现有T函数：y＝．
（1）当m＝6时，点P（5，n）在此函数图象上，求n的值；
（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出m的取值范围；
（3）当此函数图象上恰好有3个点到x轴的距离等于4，求m的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝6时，y＝，
当x＝5时，n＝﹣25+30+6＝11，
∴n＝11；
（2）如图1，函数与线段AB只有一个交点，只需直线y＝﹣2x+4m与线段AB有一个交点，
当x＝2时，﹣4+4m＝2，解得m＝，
当x＝4时，﹣8+4m＝2，解得m＝，
∴≤m≤时，函数与线段AB只有一个交点；
（3）如图2，当y＝﹣x2+mx+m与y＝4有一个交点时，
∴﹣x2+mx+m＝4，
∴Δ＝m2+4m﹣16＝0，
解得m＝﹣2+2或m＝﹣2﹣2（舍），
此时图象T到x轴的距离为4的点有三个；
当直线y＝﹣2x+4m经过点（m，4）时，2m＝4，
解得m＝2，此时图象T到x轴的距离为4的点有三个；
∴2≤m≤2﹣2时，图象T到x轴的距离为4的点有三个．


59．（2021秋•雨花区校级月考）若函数y1、y2满足y＝y1+y2，则称函数y是y1、y2的“融合函数”．例如，一次函数y1＝2x+1和二次函数y2＝x2+3x﹣4，则y1、y2的“融合函数”为y＝y1+y2＝x2+5x﹣3．
（1）若反比例函数y1＝和一次函数y2＝kx﹣3，它们的“融合函数”过点（1，5），求k的值；
（2）若y1＝ax2+bx+c为二次函数，且a+b+c＝5，在x＝t时取得最值，y2是一次函数，且y1y2的“融合函数”为y＝2x2+x﹣4，当﹣1≤x≤2时，求函数y1的最小值（用含t的式子表示）；
（3）若二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝﹣ax﹣b，其中a+b+c＝0且a＞b＞c，若它们的“融合函数”与x轴交点为A（x1，0）、B（x2，0），求|的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得：y1，y2的“融合函数”为：y＝y1+y2＝+kx﹣3，
将点（1，5）代入得：5＝+k﹣3，
∴k＝6．
（2）∵y1＝ax2+bx+c，y1+y2＝2x2+x﹣4，
∴y2＝（2﹣a）x2+（1﹣b）x﹣4﹣c，
∵y1是二次函数，y2是一次函数，
∴2﹣a＝0，a≠0，1﹣b≠0，
∴a＝2，b≠1，
∵y1＝ax2+bx+c在x＝t取得最值，
∴t＝﹣，t≠﹣，
∴b＝﹣4t，
∵a+b+c＝5，
∴c＝5﹣b﹣a
＝5+4t﹣2
＝3+4t，
∴y1＝2x2﹣4tx+3+4t，
开口向上，对称轴：x＝t，
∵﹣1≤x≤2，
∴当t≤﹣1时，x＝﹣1时，y1有最小值8t+5，
当﹣1≤t＜2时，x＝t时，y1有最小值﹣2t2+4t+3，
∵t≠﹣，
∴y1≠，
当t≥2时，x＝2时，y1有最小值﹣4t+11．
（3）∵设y为y1和y2的“融合函数”，
则y＝ax2+（b﹣a）x+c﹣b与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），
则x1，x2是方程ax2+（b﹣a）x+c﹣b＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣，
x1x2＝，
∵a+b+c＝0，a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴|x1﹣x2|＝
＝
＝
＝
＝
＝，
∵b＝﹣a﹣c，b＞c，
∴﹣a﹣c＞c，
﹣a＞2c，
﹣＞，
∵b＜a，
∴﹣a﹣c＜a，
﹣c＜2a，
∴﹣＜2，
∴＜﹣+2＜4，
∴＜（﹣+2）2＜16，
∴＜（﹣+2）2﹣4＜12，
∴＜|x1﹣x2|＜2，
∴＜|x1﹣x2|＜2．
60．（2020秋•长沙月考）已知抛物线y＝（2m﹣1）x2+（m+1）x+3（m为常数）．
（1）若该抛物线经过点（1，m+7），求m的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求满足条件的最大整数m；
（3）将该抛物线向下平移若干个单位长度，所得的新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，当﹣5≤x≤3时，点P是该部分函数图象的最低点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线经过点（1，m+7），
∴m+7＝2m﹣1+m+1+3，
∴m＝2；
（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：，
∴两式相加可得：2（2m﹣1）x02+6＝0，
化简得：x02＝﹣，
又∵x0≠0，
∴﹣＞0，
∴2m﹣1＜0，
∴m＜，
故满足条件的最大整数m＝0；

（3）∵新抛物线经过P（﹣5，y1），Q（7，y2）（其中y1＜y2）两点，
∵当﹣5≤x≤3时，点P是该图象的最低点，
①当2m﹣1＞0时，﹣≤﹣5，
∴＜m≤，
②当2m﹣1＜0时，﹣＞1，
∴＜m＜；
综上所述：＜m≤且m≠；
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