专题20 玩转外接球、内切球、棱切球（解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳

这是一份专题20 玩转外接球、内切球、棱切球（解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳，共104页。教案主要包含了考点预测，题型归纳目录，典例例题等内容，欢迎下载使用。

专题20 玩转外接球、内切球、棱切球
【考点预测】
知识点一：正方体、长方体外接球
1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
3．补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1 图2 图3 图4
知识点二：正四面体外接球
如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．

知识点三：对棱相等的三棱锥外接球
四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．

知识点四：直棱柱外接球
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

图1 图2 图3
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知识点五：直棱锥外接球
如图，平面，求外接球半径．

解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②．
知识点六：正棱锥与侧棱相等模型
1．正棱锥外接球半径： ．

2．侧棱相等模型：
如图，的射影是的外心
三棱锥的三条侧棱相等
三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知识点七：侧棱为外接球直径模型
方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
知识点八：共斜边拼接模型
如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．

知识点九：垂面模型
如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

图1 图2
知识点十：最值模型
这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等
知识点十一：二面角模型
如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．
（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．
（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．
（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．

知识点十二：坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
知识点十三：圆锥圆柱圆台模型
1．球内接圆锥
如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图、图可知，或，故，所以．

2．球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．

3．球内接圆台
，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
知识点十四：锥体内切球
方法：等体积法，即
知识点十五：棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
【题型归纳目录】
题型一：正方体、长方体模型
题型二： 正四面体模型
题型三：对棱相等模型
题型四：直棱柱模型
题型五：直棱锥模型
题型六：正棱锥与侧棱相等模型
题型七：侧棱为外接球直径模型
题型八：共斜边拼接模型
题型九：垂面模型
题型十：最值模型
题型十一：二面角模型
题型十二：坐标法模型
题型十三：圆锥圆柱圆台模型
题型十四：锥体内切球
题型十五：棱切球




【典例例题】
题型一：正方体、长方体模型
例1．（2022·陕西安康·高二期末（理））长方体的长，宽，高分别为3，，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】球O的半径为，
∴体积．
故选：A
例2．（2022·全国·高一阶段练习）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，

则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径，
∴该球的体积为．
故选：B
例3．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（       ）
A． B．4 C． D．．
【答案】B
【解析】解：正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，
则，解得，所以正方体的体对角线等于；
故选：B
例4．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，底面，，且，三棱锥外接球表面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，将三棱锥补形为正方体，

则外接球半径．
所以三棱锥外接球表面积．
故选：B．
例5．（2022·河北·高一期中）《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，平面，，的面积为4，则该“阳马”外接球的表面积的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，将四棱锥补成长方体，则该四棱锥的外接球与长方体的外接球相同．
因为长方体外接球的半径，
所以该“阳马”外接球的表面积为：．
故选：C．
例6．（2022·河南·模拟预测（文））在三棱锥中，已知平面，，且，，，则该三棱锥外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由平面，，知三棱锥可补形为以，为长宽高的长方体，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球的半径为，则，所以．
故选：A
题型二： 正四面体模型
例7．（2022·全国·高三专题练习（理））棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内
任意转动，则x的最大值为（          ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
棱长为的正方体的内切球的半径为，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为 的正四面体的外接球的半径为，
设正四面体为，过作平面，垂足为，为底面正的中心，则 ，体高为 ，由于外接球半径为 ，利用勾股定理得： ，解得，


选D．
例8．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，四面体是正四面体，棱长，将其补形成正方体，

则正方体的棱长，此正方体的体对角线长为，
正四面体与正方体有相同的外接球，则正四面体的外接球半径，
所以正四面体的外接球体积为．
故选：A
例9．（2022·贵州师大附中高二开学考试（理））已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高，
棱锥的高为，
设外接球半径为，则
，解得．
所以外接球的表面积为．
故选：B．
例10．（2022·河北·石家庄二中一模（理））如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示，菱形，

在菱形中，连接，交于点，则的长即为的最小值，即，
因为正四面体，所以，所以，
因为是棱的中点，所以，
所以，
设，则，
所以，则，所以，
则正四面体的棱长为，
所以正四面体的外接球半径为，
所以该正四面体外接球的表面积为，
故选：A
例11．（2022·贵州·凯里一中高二期末（理））我们将四个面均为正三角形的四面体称为“正四面体”，在正四面体中，分别为棱的中点，当时，四面体的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
设正四面体的棱长为，则：，
在等腰三角形ABF中，，
据此可得：，
正四面体的棱长为：，外接球半径为：，
其表面积为：．
本题选择D选项．
例12．（2022·全国·高三专题练习）金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的个顶点，个面的中心，此外在立方体的对角线的处也有个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为，则正四面体的棱长为__________；正四面体的外接球的体积是__________．

【答案】         
【解析】依题意可知，为正四面体的中心，如图：

连接，延长交平面于点，则为△的中心，
所以设，，
因为，所以，
由，得，
得，解得，
所以正四面体的棱长为．
依题意可知，正四面体的外接球的圆心为，半径为，
所以正四面体的外接球的体积是．
故答案为：；．
题型三：对棱相等模型
例13．（2022•让胡路区校级模拟）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：如下图所示，

将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，
由勾股定理得，
上述三个等式全加得，
所以，该四面体的外接球直径为，
因此，四面体的外接球的表面积为，
故选：．
例14．已知四面体中，，，，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为，，，
长方体的对角线长为，
球的半径为，
此球的表面积为．
故选：．
例15．如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为　　

A． B． C． D．
【解析】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，
可得长方体的三条对角线分别为，2，，
即，，，
解得：，，．
外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．
故选：．
例16．（2022•永安市校级期中）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：三棱锥中，，，，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，
则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径．
设长方体的棱长分别为，，，则，，，
，
三棱锥外接球的直径为，
三棱锥外接球的表面积为．
故选：．
例17．（2022•罗湖区月考）已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为 　　．
【解析】解：如下图所示，将四面体放在长方体内，在四面体中，，设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，
所以，该四面体的外接球直径为，
因此，四面体的外接球的表面积为，

故答案为：．
例18．（2022•三模拟）在四面体中，，，，则其外接球的表面积为 　　．
【解析】解：如下图所示，

将四面体放在长方体内，设该长方体的长、宽、高分别为、、，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为，
由勾股定理得，
上述三个等式全加得，
所以，该四面体的外接球直径为，
因此，四面体的外接球的表面积为，
故答案为：．
题型四：直棱柱模型
例19．（2022·山西·太原五中高一阶段练习）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，
直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，，设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为，
故选：C

例20．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，，，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，因为，
所以，，
而，所以（于是是外接圆的半径），，即，
如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心，
，
所以外接球为．
于是球的表面积为．
故选：C．

例21．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，，则球O的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以正六边形ABCDEF外接圆的半径，
所以球O的半径，故球O的表面积为．
故选：D
例22．（2022·全国·高二课时练习）表面积为81π的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为______．
【答案】4
【解析】由题意知：正四棱柱的体对角线即为球的直径，设球的半径为，则，解得，
设正四棱柱的底面边长为，则，解得．
故答案为：4．
例23．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．
【答案】
【解析】
由已知可得正三棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，由外接球的表面积求出外接球半径，由底面边长求出底面外接圆半径，求出球心到底面的距离，进而求出正三棱柱的高，即可求出结论，
【详解】
设正三棱柱上下底面中心分别为，连，
取中点为正三棱柱外接球的球心，
连为外接球的半径，如图，

，

设正三棱柱的底面边长为x，
，在中，
，

三棱柱的所有棱长之和为．
，
令，解得，
当时，，当时，，
所以是函数在定义域内有唯一极大值点，
故当时，有最大值．
故答案为： ．
例24．（2022·浙江·高二期中）在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______．
【答案】
【解析】设BC的中点为D，的中点为，，
由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，
由三棱柱的体积为2，得，即，
由题，得，
所以，外接球表面积
．
故答案为：

题型五：直棱锥模型
例25．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（       ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．
由题意，易知，得，
设，得，解得，
所以四棱锥P-ABCD的体积为．
故选：D
例26．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图所示，作边上的中点，边上的中点，连接
平面，可得：，
可得：为球的球心，为球的半径
在直角三角形中，可得：
在直角三角形中，可得：
故球的表面积为：
故选：D
例27．（2022·广西·宾阳中学高一阶段练习）已知三棱锥中， 平面，，三棱锥外接球的表面积为，则球的体积为_______，异面直线，所成角的余弦值为________．
【答案】     ；
【解析】由外接球表面积可知，解得，所以球的体积，
如图，设球心为，为中点，为中心，连接，，

因为为中心，球心为，所以平面，又平面，
所以，由可知，异面直线，所成角为，
在中，，
故答案为：；．
例28．（2022·河南·新乡市第一中学高一期末）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如下图所示：

圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，
则为圆柱的外接球球心，球的半径为，
可将三棱锥置于圆柱内，使得圆为的外接圆，如下图所示：

由正弦定理可知圆的直径为，
所以，三棱锥外接球的半径，
因此，三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．
例29．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

在中，由余弦定理得：，
，
外接圆半径，又平面，
三棱锥的外接球半径，
则三棱锥的外接球的表面积．
故选：A．
例30．（2022·全国·高一阶段练习）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，

则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，
所以外接球的直径，
∴该球的体积为．
故选：B
例31．（2022·河北沧州·高一期末）已知在三棱锥中，平面，，则三棱锥外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因平面，平面，则，而，
则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，，
连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图，

则四边形是矩形，，因此，球的半径有：，
所以三棱锥外接球的表面积．
故选：C
题型六：正棱锥与侧棱相等模型
例32．（2022·江西·高三阶段练习（文））在正三棱锥中，，P到平面ABC的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC两两垂直且相等．设，则．
根据，得，
解得．
设三棱锥外接球的半径为，则，所以．
故所求外接球的表面积为．
故选：A．
例33．（2022·江苏·高一课时练习）如图在正三棱锥中，分别是棱的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在中，分别是棱的中点，
所以，因为，所以，
因为三棱锥为正三棱锥，所以（对棱垂直），
又因为面，，
所以面，因为面，所以，
在中，，
因为三棱锥为正三棱锥，所以是等腰三角形，是等边三角形，
所以，，
所以，即，
所以两两垂直，
将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，为，
则该正方体棱长为，外接球半径，
正方体外接球体积，
此正三棱锥的外接球体积和正方体外接球体积相同，为．
故选：D
例34．（2022·重庆市实验中学高一阶段练习）三棱锥体积为，且，则三棱锥外接球的表面积为____________．
【答案】
【解析】三棱锥中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O1，使DO1=AD，连接BO1，CO1，PO1，如图：

于是得四边形为平行四边形，而，是菱形，
在中，，由余弦定理有，即，
则，是正三角形，，于是得O1是外接圆圆心，
因，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，从而有平面，，
同理，而，从而得平面，由球的截面小圆性质知，三棱锥外接球球心O在直线上，
又，则，解得，
设球O的半径为R，则，，中，，即，解得，
则球O的表面积为，
所以三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：
例35．（2022·重庆·高二期末）如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．

【答案】
【解析】取的中点，连接，，过点A作，交DE的延长线于点，


所以为二面角的平面角，
设，则，，
所以，
所以，EH=，
因为三棱锥的体积为，
所以，解得：，，
设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接，，，过点O作OF⊥AH于点F，则，，，，设，则，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱锥外接球的半径满足，
则三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：．
例36．（2022·全国·高一期末）在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设点G为的外心，则平面，
由，
∴，则三棱锥的外接球的球心O在直线上．设其外接球的半径为R，
由正弦定理得，在中，，
由勾股定理得，即，解得．
正三棱锥外接球的表面积是，
故选：C．

例37．（2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测）已知正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，则此三棱锥的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1，
此三棱锥可补形为一个棱长为1的正方体，
三棱锥的外接球与补成的棱长为1的正方体的外接球为同一个球，
设正方体的外接球的半径为，可得，即，
所以此三棱锥的外接球的表面积为．
故选：B．
例38．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接

过作∥，且=，连接，则
∵△为等边三角形，则
∴，，根据题意可得
∵，则
由题意可得，则，则
如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接
，则
∴△的外接圆半径，则
设棱锥的外接球的半径为，则
即，解得
三棱锥的外接球的表面积为
故选：D．

例39．（2022·江苏南通·高三期末）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（       ）
A．16π B． C．8π D．
【答案】B
【解析】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连，如图，

则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，
于是得，
因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，
所以球O的体积是．
故选：B
例40．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为，所以球的半径，


设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，，

所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，，
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是．
故选：C．
题型七：侧棱为外接球直径模型
例41．（2022•五华区校级期末）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：如图所示，由条件为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心，
连接得平面，，
，，
平面，
三棱锥的体积为．
故选：．

例42．（2022•红花岗区校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，若该三棱锥的体积为，则该球的表面积　　
A． B． C． D．
【解析】解：根据题意作出图形：
设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面，
延长交球于点，则平面．
该三棱锥的体积为，
，
解得，
为球的直径，，
，球半径．
该球的表面积．
故选：．

例43．（2022•抚顺校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：设球心为，球的半径．
，，平面，
三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和．
，
，
球的表面积为．
故选：．

例44．（2022•永春县校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：设球心为，过，，三点的小圆的圆心为，则平面，
延长交球于点，则平面，
因为，
所以，
故高，
因为是边长为1的正三角形，
所以，
故．
故选：．

例45．（2022•本溪月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且；则棱锥　　
A． B． C． D．
【解析】解：根据题意作出图形：
设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面，
延长交球于点，则平面．
，
，
高，
是边长为1的正三角形，
，
．
，
，
棱锥．
故选：．

例46．（2022•云南校级月考）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：因为是边长为2的正三角形，所以外接圆的半径，
所以点到平面的距离，
为球的直径，点到平面的距离为，
此棱锥的体积为，
故选：．
题型八：共斜边拼接模型
例47．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知．
∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示．

∴外接球的半径．故．选C．
例48．三棱锥中，平面平面， ，，，则三棱锥的外接球的半径为
【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为．
例49．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】平行四边形中，
，
，
，
沿折成直二面角，
平面平面
三棱锥的外接球的直径为，

外接球的半径为1，
故表面积是．
故选：．

例50．在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】平行四边形中，
，
，
沿折成直二面角，平面平面，
三棱锥的外接球的直径为，

外接球的半径为1，
故表面积是．
故选：．
例51．（2022·全国·高一期末）已知三棱锥A-BCD中，，，则此几何体外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，O为CD的中点，

根据题意，和都是直角三角形，且
是三棱锥外接球的球心，且外接球的半径
所以外接球的表面积为：．
故选：D．
例52．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵底面ABCD为菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，
∴ 平面PBD，∴，即，
取PC的中点M，如下图：

连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，
在中MO=PC，
∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中点，所以是等腰三角形，
     ，
外接球半径为 ，外接球的体积为 ；
故选：B．
题型九：垂面模型
例53．已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【解析】由题意知的中点为 外接圆的圆心，且平面平面
过 作面的垂线，则垂线 一定在面 内．
根据球的性质，球心一定在垂线 上，
球心一定在平面 内，且球心也是 外接圆的圆心．
在 中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，
三棱锥的外接球的表面积．
故答案为：．

例54．已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内，
根据球的性质，球心一定在垂线，
球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心，
在中，由余弦定理得，，
由正弦定理得：，解得，
三棱锥外接球的表面积为，
故答案为：．

例55．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　．
【解析】如图，设的外接圆的圆心为
连接，，，连接．
由题意可得，且，．
因为平面平面，且，
所以平面，且．
设为三棱锥外接球的球心，
连接，，，过作，垂足为，
则外接球的半径满足，
即，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为．
故答案为：．

例56．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为　　．
【解析】取的中点，连接，，
在等边三角形中，，
在等边三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，
为等腰直角三角形，
设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，
底面的中心为，面的外心为，
则，，
在直角三角形中，．
而，解得，则，解得，
故答案为：．

例57．在边长为菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则　　
A． B． C． D．3
【解析】取的中点，连接，，
在等边三角形中，，
在等边三角形中，，
由平面平面，，平面平面，
可得平面，即有，
为等腰直角三角形，
设三棱锥的外接球的球心为，半径设为，
底面的中心为，
在直角三角形中，，
而，解得，
则，解得，
故选：．

例58．在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】如图，过点 作 于， 为 的中点，
设 的外心是，半径是，连接，，，
由正弦定理得，
则，
为 的中点，，
，所以，
因为平面平面， 于，平面平面，
则平面，所以直线 与平面 所成的角是，则
，即，
因为，所以
，则，故，
设三棱锥 外接球球心是，
连接，，，过 作 于，
则平面，于是，从而 是矩形，
所以外接球半径 满足
，
解得．
所以外接球的表面积为．
故选：．

例59．已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则　　
A． B． C． D．
【解析】设外接球球心，半径，由题意可得，，解可得，
根据题意可得为正三角形的中心，
因为，所以，，
所以正三角形的边长为，
由可得，
因为平面平面，所以，
所以．
故选：．

例60．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．
【解析】取的中点，连接，
中，，，，，
设的中心为，球心为，则，
设到平面的距离为，则，
，，
四棱锥的外接球的表面积为．
故选：．

题型十：最值模型
例61．（2022·河南省杞县高中模拟预测（文））在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起到的位置，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（       ）
A．60π B．45π C．30π D．20π
【答案】A
【解析】当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，

取的中点为，连接，则．
设分别为，外接圆的圆心，
为三棱锥的外接球的球心，
则在上，在上，且,
且平面，平面．
平面平面，平面平面，
平面，
平面，，同理
四边形为平行四边形
平面，平面
，即四边形为矩形．


外接球半径
外接球的表面积为
故选：A．
例62．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，
故选：．

例63．已知三棱锥的顶点，，都在半径为2的球面上，是球心，，当与的面积之和最大时，三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解析】设球的半径为，因为，所以当时，取得最大值，此时，所以平面，所以
．
例64．体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 ．
【解析】设，则，因为体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，所以，解得．

由，得或（舍），所以．
由题意知点为的中点，在中，，解得，
所以当截面垂直于时，截面圆的半径为，
故截面圆面积的最小值是．
例65．已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为　 　．
【解析】解过球心作平面，则为正三角形的中心，连结，则．
设三棱柱的底面边长为，则．．
．
棱柱的高．
棱柱的体积．
令．
则，令得或（舍或（舍．
当时，，当时，．
当时，（a）取得最大值，
当时，取得最大值1．
故答案为1．

例66．已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为　 　．
【解析】如图所示，设为外接球球心，三棱柱的高为，则由题意可知，，，，，
此时三棱柱的体积为，其中．

令，则，令，
则，当时，，函数增，
当时，，函数减．
故当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为．
故答案为：．
例67．如图，四边形的面积为，且，把绕旋转，使点运动到，此时向量与向量的夹角为．则四面体外接球表面积的最小值为　　

A． B． C． D．
【解析】由题意，设，，，
向量与向量的夹角为．
则，
四面体外接球为

，
当且仅当时，取等号，
故四面体外接球表面积的最小值．
故选：．
例68．已知长方体的体积，，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解析】设，，由于，所以．
根据长方体的对称性可知四面体的外接球的即为长方体的外接球，
所以，
所以（当且仅当，等号成立）．
故选：．
例69．如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点、分别为线段、上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．
【解析】在上取点，使得，
则，
当时，取得最小值，
即的最小值为，
为的中点，故而为的中点，
，，
设外接球的半径为，则，
解得：．
外接球的表面积为．
故选：．

题型十一：二面角模型
例70．（2022·全国·高三专题练习（文））在三棱锥A-BCD中，，，二面角A-BD-C是钝角．若三棱锥A-BCD的体积为2，则A-BCD的外接球的表面积是（       ）

A．12π B．13π C． D．
【答案】B
【解析】如图1，取中点，连接，则，，又，平面，所以平面，
，所以，
又，
，，
又由，，知为二面角的平面角，此角为钝角，
所以，
所以，
因此四面体可以放置在一个长方体中，四面体的六条棱是长方体的六个面对角线，如图2，
此长方体的外接球就是四面体的外接球，设长方体的棱长分别为，
则，解得，
所以外接球的直径为，，
球表面积为．
故选：B．

　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　图2
例71．（2022·河南·高三阶段练习（理））在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角是150°，则三棱锥外接球的表面积是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，作平面ABC，垂足为E，连接BE，记，连接PD．

由题意可得D为AC的中点．
在中，，D为AC的中点，
因为，所以，则．
因为二面角是150°，所以，
所以，．
因为是边长为的等边三角形，且D为AC的中点，所以．
设为外接圆的圆心，则．
设三棱锥外接球的球心为O，
因为，所以O在平面ABC下方，
连接，OB，OP，作，垂足为H，
则，．
设三棱锥外接球的半径为，
，即，解得，
故三棱锥外接球的表面积是．
故选：A．
例72．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，为直角三角形，又，
所以，
因为为正三角形，所以，
连接，为的中点，E为中点，
则，所以为二面角的平面角
所以．
因为为直角三角形，E为中点，
所以点为的外接圆的圆心，
设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．
则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，

，
所以,，
∴．
所以，
故选：C．
例73．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）两个边长为2的正三角形与，沿公共边折叠成的二面角，若点在同一球的球面上，则球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，设正三角形与的中心分别为，根据外接球的性质有平面，平面，又二面角的大小为，故，又正三角形与的边长均为2，故，故．易得，故，故，又，故球的半径，故球的表面积为

故选：B
例74．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知空间四边形ABCD，，，，二面角A-BD-C是，若A､B､C､D四点在同一球面上，则该球的表面积是（       ）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】C
【解析】设直角三角形BCD外接圆圆心为，则为斜边BC的中点．
设等边三角形ABD外接圆圆心为，则为等边三角形ABD的中心．连接延长交BD于E点，分别过，点作平面BCD与平面ABD的垂线，交于O点，则O点即为该外接球的球心．

连接，OE．
在等边三角形ABD中，．因为 为等边三角形ABD的中心，所以E为BD的中点，且,所以，．
在直角三角形BCD中，，，为中位线，所以．
因为,所以为二面角的平面角，所以．如图示：

因为,,，所以．
因为，所以，所以
所以该外接球．
所以该球的表面积是．
故选：C
例75．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））已知菱形中，，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在菱形中，，则为等边三角形，
设线段的中点为，连接、，则，
因为，则，同理可知，
所以，二面角的平面角为，即，
因为，则为等边三角形，所以，，
延长至点，使得为的中点，连接、，

易知，，则为等边三角形，可得，同理，
所以，为的外心，
延长至点，使得为的中点，同理可知点为的外心，
过点在平面内作，过点在平面内作，设，
因为，，，平面，
平面，，
，，平面，同理可证平面，
所以，为三棱锥的外接球球心，如下图所示：

因为，，，所以，，
所以，，则，
因为，由勾股定理可得，
因此，三棱锥的外接球半径为，
因此，三棱锥的表面积为．
故选：A．
例76．（2022·全国·高三专题练习）四边形ABDC是菱形，，，沿对角线BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积为_____．
【答案】
【解析】如图，取的中点为，连接AM,DM,则 ,

则二面角的平面角为，，
由四边形ABDC是菱形，可知为正三角形，
设球心在平面内的射影为，在平面内的射影为，
则为的中心，
所以，，，
由于二面角A-BD-C的余弦值为，
故设，则， ，
故，则，
，球的半径，
所求外接球的体积为，
故答案为：．
例77．（2022·河南·南阳中学三模（文））在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为___________．

【答案】
【解析】取的中点，连，如图：

依题意可知，，
因为平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，即平面CDEF平面ABFE，
所以平面，所以，，，
因为，且，所以平面，所以，
因为为的中点，所以，
所以为四面体CEGF的外接球的球心，其半径为，
所以其表面积为．
故答案为：
题型十二：坐标法模型
例78．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角中，是斜边上的一动点，沿将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，图1的直角三角形沿将翻折到使二面角为直二面角，
所以，过点作交延长线于，过点作交于，
再作，使得与交于点，
所以，由二面角为直二面角可得，
设，即，则，
因为，所以，
所以，在中，，
在中，，
所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，，，
在图1中，由于，即为角的角平分线，
所以，即，
所以，所以，，
由题知，两两垂直，故以为坐标原点，以的方向为正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，设四面体的外接球的球心为，
则，
即，即，
解得，，即，
所以四面体的外接球的半径为       ，
所以四面体的外接球的表面积为．
故选：D

例79．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体中，，，，是棱上靠近的三等分点，分别为的中点，是底面内一动点，若直线与平面垂直，则三棱锥的外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，的正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
设，，，，
平面，，解得：，
与重合，
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
外接球，外接球表面积.
故选：B.
例80．（2022·山西·一模（理））如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：依题意，，，平面，所以平面，又，如图建立空间直角坐标系，则、、、、、，依题意为直角三角形，所以的外接圆的圆心在的中点，设外接球的球心为，半径为，则，即，解得，所以，所以外接球的体积；
故选：B

例81．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
则，，，
于是，
则，∴，四棱锥外接球直径为，故其表面积为．
故选：B.

例82．（2022·江苏南通·一模）在三棱锥中，已知是边长为的正三角形，平面，、分别是、的中点，若异面直线、所成角的余弦值为，则的长为______，三棱锥的外接球表面积为______．       
【答案】          【解析】连接，则，又因为平面，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、、，
，，
由已知可得，解得，
因此，，则点，
设三棱锥的外接球球心为，
由，即，解得，
所以，三棱锥的外接球半径为，
因此，该三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：；.
例83．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.

【答案】     ；     .
【解析】在直角梯形中，∵，，，
∴，，可得，即，
当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，
取中点E，中点F，连接，，则，
∵平面平面，且平面平面，∴平面，
∵，，∴，
以E为坐标原点，分别以､､所在直线为x､y､z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
∴，，
设异面直线与所成角为，
则 ，
即异面直线与所成角的余弦值为；
显然，又，
所以点是三棱锥外接球的球心，且球半径.
由，解得.
故答案为：① ；② .

例84．（2022·全国·高三专题练习）一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是、、、，则该四面体的内切球与外接球体积之比为______
【答案】
【解析】点、、、恰为棱长为的正方体的四个点，
该四点构成了一个棱长为的正四面体（如图所示）.

设该正四面体的内切球和外接球半径分别为、，体积分别为、，
则该正四面体的外接球也是正方体的外接球，
则，即.
由图可得该四面体的体积为：
，
又，
所以，解得，
则，.
故答案为：.
例85．（2022·辽宁·沈阳二十中高三期末）在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，过点与直线垂直的平面交直线于点，则三棱锥的外接球的表面积为____.
【答案】
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,先确定M是中点，再求三棱锥的外接球的半径，即得解.
【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题得BD=.
则A(2,0,0),B(,,设，
所以,所以.
所以，所以.
即点M是中点时，平面BDM.
设三棱锥的外接球的半径为R,设△MBD的外接圆半径为r,
则，
所以.
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.

题型十三：圆锥圆柱圆台模型
例86．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图等腰梯形是圆台的轴截面，是圆台的对称轴，
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径分别为r，2r，
因母线与轴的夹角是，母线长为2，可得圆台的高为1，，设圆台外接球的半径为R，球心到下底面（大圆面）的距离为x，若球心在圆台两底面之间，如图点位置，则且，无解；
若圆台两底面在球心同侧，如图点位置，则且，解得，则，
则该圆台外接球的表面积为．
故选：C．

例87．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）已知圆锥的顶点和底面圆周均在球的球面上.若该圆锥的底面半径为，高为6，则球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故球心在圆锥的内部且在高上，
设球心到圆锥底面的距离为，
则有，解得，则圆半径，
表面积.
故选：C
例88．（2022·河南洛阳·二模（文））已知高为4的圆锥外接球的体积为，则圆锥的体积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：因为圆锥外接球的体积为，所以，解得，即外接球的半径为3，
因为圆锥的高为4，所以球心到圆锥底面圆圆心的距离为，
所以圆锥底面圆的半径，
所以圆锥的体积，
故选：A.
例89．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图等腰梯形是圆台的轴截面，是圆台的对称轴，
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径分别为r，2r，
因母线与轴的夹角是，母线长为2，可得圆台的高为1，，设圆台外接球的半径为R，球心到下底面（大圆面）的距离为x，若球心在圆台两底面之间，如图点位置，则且，无解；
若圆台两底面在球心同侧，如图点位置，则且，解得，则，
则该圆台外接球的表面积为．
故选：C．

例90．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1：4，则该圆台外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径为，因母线与轴的夹角为60°，可得圆台高为1，则；
设圆台外接球的半径为，球心到下底面的距离为，易得圆台两底面在球心同侧，则，且，
解得，则该圆台外接球的表面积为.
故选：C.
例91．（2022·广西·高二阶段练习（理））已知一个圆台的上下底面半径分别为5和12，高为7，则它的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由圆台上下底面圆心与球心在同一直线上，
设球心到上底面圆心的距离为，则到下底面的距离为，
由题设，球体半径为R，则，解得，
所以，故外接球的表面积为.
故选：A
例92．（2022·浙江温州·高一期末）轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】轴截面如下图，ABCD为正方形，设圆柱底面圆直径，则球直径，故圆柱表面积为，球表面积为，故它们的表面积之比为，
故选：C

例93．（2022·河南商丘·三模（理））已知体积为的圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的外接球的表面积为___________．
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意得，所以，
则圆锥的高为，
由，解得，则，，
设圆锥的外接球的半径为，由球的性质可知，，
即，解得，
所以该圆锥的外接球的表面积为．
故答案为：
例94．（2022·湖北·黄冈中学三模）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为_______
【答案】
【解析】球的半径为，，解得，圆柱的高为：．可得．
故答案为：．
例95．（2022·全国·模拟预测）如图，棱长均相等的直三棱柱的上、下底面均内接于圆柱的上、下底面，则圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为______．

【答案】
【解析】设三棱柱的棱长为，
所以外接圆的半径，
所以圆柱外接球的半径．
故外接球的表面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆柱的侧面积与其外接球的表面积之比为．
故答案为：
题型十四：锥体内切球
例96．（2022春•虎丘区校级期末）在三棱锥中，平面，，且，，，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：因为平面，，平面，平面，平面，
所以，，，
又，，
所以平面，所以，
所以，，，均为直角三角形，
设球的半径为，则，
而，，
所以，解得，

所以球的表面积为，
故选：．
例97．（2022春•宁波期末）已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，其内切球与两侧面，分别切于点，，则的长度为　　
A． B． C． D．
【解析】解：如图，设正四棱锥的内切球的球心为，底面中心为，
连接，则底面，且，再设内切球的半径为，

正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为，
可求得，由球切线的性质可得，
由已知求得，
，则，得．
故选：．
例98．（2022•青海模拟）已知四面体的所有棱长都相等，其外接球的体积等于，则下列结论错误的是　　
A．四面体的棱长均为2
B．异面直线与的距离为
C．异面直线与所成角为
D．四面体的内切球的体积等于
【解析】解：如图所示，设该四面体的棱长为，底面三角形的重心为，该四面体的外接球球心为，半径为，连接，，，为四面体的高，在高上，

在中，，
在中，，解得，
由于外接球的体积等于，
即，故，
故，，故正确；
分别取，的中点为，，连接，
正四面体中，，故，同理，
即为，的公垂线，而，
则，故正确；
由于，，，平面，故平面，
又平面，所以，
即异面直线与所成角为，故错误；
设四面体内切球的半径为，而，
故，故，
所以四面体的内切球的体积等于，故正确，
故选：．
例99．（2022•烟台三模）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为　　

A． B． C． D．
【解析】解：连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，

在三棱锥中，，，
三棱锥是正四面体，是的重心，平面，
三棱锥的内切球的表面积为，
，解得球的半径，
设，则，，
，
，，，
解得，，
此三棱锥的体积为．
故选：．
例100．（2022春•南和区校级月考）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：画出该几何体的轴截面，如图所示：
由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为，
所以该圆柱的侧面积为．
故选：．

例101．（2022春•山西月考）设体积为的正四面体的外接球和内切球的半径分别为和，则的值为　　
A．4 B． C． D．1
【解析】解：如图，设正四面体的下底面中心为，连接，则平面，

连接并延长，交于，设此正四面体的棱长为，则，
，即四面体的高，
由，解得，
设四面体外接球的球心为，连接，
则，解得，
四面体内切球半径为，由等体积可得，
即，
，
故选：．
例102．（2022春•江西月考）已知四面体中的所有棱长为，球是其内切球．若在该四面体中再放入一个球，使其与平面、平面、平面以及球均相切，则球与球的半径之比为　　
A． B． C． D．
【解析】解：如图，

设在平面内的射影为，为球的半径，为球的半径，，分别为球，球与侧面的切点，
在中，该四面体的高，
又四面体的表面积，
则，解得，
所以，即，
解得，故．
故选：．
例103．（2022春•重庆月考）在直角中，．以为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：如图所示，旋转体的轴截面为边长为的正方形，为内切球的球心，
在直角中，，则，
其中，
所以该几何体的内切球的体积为．

故选：．
例104．（2022•南京模拟）在三棱锥中，垂直底面，，，若三棱锥的内切球半径为，则此三棱锥的侧面积为 　　．
【解析】解：设三棱锥内切球圆心为，以为顶点将三棱锥分为四个小三棱锥，
则三棱锥的体积
底面，
三棱锥的体积，
则通过三棱锥体积不变可知，．
故答案为：．
题型十五：棱切球
例105．（2022•涪城区校级开学）一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为
　　
A． B． C． D．
【解析】解：设正方体的棱长为1，正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即：1，外接球的直径为正方体的对角线长为：；
正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：，
所以，正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为：．
故选：．
例106．（2022•江苏模拟）正四面体的棱长为4，若球与正四面体的每一条棱都相切，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，
正四面体的棱长为4，
正方体的棱长为，
球与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，
球是正方体的内切球，其直径为，
球的表面积为，

故选：．
例107．（2022•昆都仑区校级一模）已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：如图，正三棱柱的高等于1，
设上底面中心为，下底面中心为，连接，
则球的球心在的中点上，设球切棱于，切棱于，
则、分别为所在棱的中点，设底面边长为，则，
，又，
，
，解得．
则球的半径为，球的体积．
故选：．

例108．（2022春•东至县校级期末）某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积为，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为　　

A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】解：设球的半径为，三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为，
因为球的体积为，则，解得，
因为正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，
所以底面正三角形的内切圆半径为，正三棱柱的高为4，
设球心为，正三角形的内切圆圆心为，
取的中点，并将这三点顺次连接，
则由球的几何知识可得△为直角三角形，
所以，
于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为．
故选：．

例109．（2022•辽宁模拟）已知球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为　　
A． B． C． D．
【解析】解：由于球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，
所以球的半径为，解得，
设球体的内接圆柱的底面半径为，设圆柱的高为，
则，
所以圆柱的侧面积，
当时，侧面积的最大值为．
故选：．
例110．（2022秋•南昌县期末）正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解析】解：设底面的外接圆的圆心为，连接，，延长交于，
球与棱和切于点，，设球的半径为，
则，，
而底面，，
可得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，，
所以，即有，
解得，
则这个球的表面积为，
故选：．

例111．（2022春•河南期末）已知正三棱柱的各棱长均为，以为球心的球与棱相切，则球位于正三棱柱内的部分的体积为　　．
【解析】解：如图，
正三棱柱的各棱长均为，
以为球心与棱相切的球的半径为，
则以平面为截面的上半球的体积为．
又，
球位于正三棱柱内的部分的体积为．
故答案为：．

例112．（2022春•蓬江区校级期中）已知一球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，则该球的表面积为 　　．
【解析】解：一球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，
所以球的直径为：，半径为．
所以球的表面积为：．
故答案为：．
例113．（2022春•梁园区校级期中）已知正三棱锥，，，球与三棱锥的所有棱相切，则球的表面积为 　　．
【解析】解：取等边的中心，连接，则平面，
连接并延长，交于点，则为中点，且，
在上找到棱切球的球心，连接，则即为棱切球的半径，
过点作于点，则也是棱切球的半径，设，
因为，所以求得，
由勾股定理得：，且，设，
，
由题意得：，解得：或，
当时，，此时球的表面积为，
当棱切球的半径最大时，切点为，，，由于，
可求得最大半径，
而当时，，
显然不成立，故舍去，
综上：球的表面积为．
故答案为：．

例114．（2022•三模拟）已知三棱锥所有棱长都相等，球与它的六条棱都相切，球与它的四个面都相切，则球与球的表面积之比为 　　．
【解析】解：显然该三棱锥为正四面体，如图1，取，中点，，连接，
则为球的直径，连接，，
设正四面体棱长为2，则，，
所以，所以，则球的半径，
如图2，过点作平面，垂足为，显然为的重心，
连接并延长交于，则为的中点，，
所以，，
所以，
由，
得，
所以，
故答案为：3

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