专题23 立体几何中的压轴小题（解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳

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专题23 立体几何中的压轴小题
【题型归纳目录】
题型一：球与截面面积问题
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
题型四：立体几何中的交线问题
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
题型六：空间角问题
题型七：立体几何装液体问题
【典例例题】
题型一：球与截面面积问题
例1．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知球O的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球O和圆锥所得的截面面积分别为，若，则（       ）
A．2 B． C． D．
【解析】球O半径为R，由得，平面截球O所得截面小圆半径，由得，
因此，球心O到平面的距离，而球心O在圆锥的轴上，则圆锥的轴与平面所成的角为，
因圆锥的高为1，则球心O到圆锥底面圆的距离为，于是得圆锥底面圆半径，
令平面截圆锥所得截面为等腰，线段AB为圆锥底面圆的弦，点C为弦AB中点，如图，

依题意，，，，弦，
所以．
故选：C
例2．（2022·广西·南宁二中高三阶段练习（理））已知正四棱柱中，，E为的中点，P为棱上的动点，平面过B，E，P三点，有如下四个命题：
①平面平面；
②平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形；
③当P与A重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为；
④存在点P，使得AD与平面所成角的大小为．
则正确的命题个数为（       ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由题意可知，，，
所以，所以，

又因为平面，且平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故①正确；
对于②，当时，可延长BP交的延长线于点M，
延长BE交的延长线于点N，连结MN，分别交，于点R，Q，连结PR，EQ，

则截面为五边形BPRQE，故②错误；
对于③，当P与A重合时，可取的中点为点F，截面为图示中的矩形ABEF，

则四棱柱的外接球半径为，
设点为平面的中心，过作于，连接，
则可得，平面，
所以点到平面ABEM的距离，
所以截此四棱柱的外接球所得的截面圆的半径，
所以截此四棱柱的外接球所得的截面的面积为，故③正确；
对于④，AD与平面所成角的大小，即为BC与平面所成角，可设为，
作于点H，设点C到平面的距离为h，则，

所以，则，故④错误．
综上，正确的命题个数为2．
故选：B．
例3．（2022·四川资阳·高二期末（理））如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，，，点P在线段EF上．给出下列命题：

①存在点P，使得直线平面ACF；
②存在点P，使得直线平面ACF；
③直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是；
④三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面面积是．
其中所有真命题的序号（       ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④
【解析】取EF中点G，连DG，令，连FO，如图，

在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则且，即四边形DGFO是平行四边形，
即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，当点P与G重合时，直线平面ACF，①正确；
假定存在点P，使得直线平面ACF，而平面ACF，则，又，从而有，
在中，，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，
因此，假设是错的，即②不正确；
因平面平面，平面平面，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，
于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，，
，而，则，
当P与E重合时，，，因此，，③正确；
因平面平面，平面平面，，平面，则平面，
，在中，，显然有，，
由正弦定理得外接圆直径，，
三棱锥的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圆，其面积为，④正确，
所以所给命题中正确命题的序号是①③④．
故选：D
例4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，圆锥的轴截面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，为中点．若底面所在平面上有一个动点，且始终保持，过点作的垂线，垂足为．当点运动时，

①点在空间形成的轨迹为圆
②三棱锥的体积最大值为
③的最大值为2
④与平面所成角的正切值的最大值为
上述结论中正确的序号为（       ）．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【解析】建系如图，为等腰直角三角形，



在所在圆上，设，
，
，
则M的轨迹为圆，
是以OA为直径在xoy面上的圆．
又随着M运动，H轨迹是以OC为直径的圆，故①正确
②由图可得，B到面COH的距离为1，，

故②正确；
③设，则，，
，当时等号成立，
即当H运动到点C时，，故③正确；
④由①知H在以OC为直径的圆上，且该圆所在的平面与平面PAB垂直，由对称性，只考虑C在上半圆，
如图，

过H作，过B作，
则BH与平面PAB所成的角为，又，
，
故④错误．
综上所述，正确的序号为①②③
故选：D
例5．（2022·安徽省舒城中学一模（理））已知正三棱锥的高为3，侧棱与底面所成的角为，为棱上一点，且，过点作正三棱锥的外接球的截面，则截面面积的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】如图①，∵三棱锥为正三棱锥，∴顶点在底面的射影为的中心，
连接，则三棱锥外接球的球心在上，连接，，．
显然过点作球的截面中，面积最小的是垂直于的截面，
∵正三棱锥的高为，即，侧棱与底面所成的角为，
在中，可解得，．
∵是正三角形，∴．
设正三棱锥的外接球半径为，则，解得，
如图②，在中，，，
由余弦定理得，
∴，
∴垂直于的截面半径满足，
∴，即截面最小面积为．
故选：A．

例6．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，底面，，，，是线段上一点，且．过点作球的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【解析】平面，，将三棱锥补成长方体，如下图所示：

设，连接、、，可知点为的中点，
因为四边形为矩形，，则为的中点，所以，且，
设，且，，
所以，球的半径为，
在中，，，，，
在中，，，
由余弦定理可得，
平面，平面，
平面，则，
，，
设过点的球的截面圆的半径为，设球心到截面圆的距离为，设与截面圆所在平面所成的角为，则．
当时，即截面圆过球心时，取最小值，此时取最大值，即；
当时，即与截面圆所在平面垂直时，取最大值，即，
此时，取最小值，即．
由题意可得，，解得．
所以，，
因此，球的表面积为．
故选：B．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由直四棱柱内接于球，则四点在球面上，
所以四边形为球的一截面圆的内接四边形，所以对角互补．
又四边形是平行四边形，所以为矩形．
在直四棱柱中，平面，所以
又，，所以平面，所以
所以四边形为正方形，所以直四棱柱为正四棱柱．
由外接球体积为，则球的半径为，
由为该外接球的直径，则
设，则，则
在中，，
由余弦定理可得
所以
设的外接圆的半径为，由正弦定理可得
所以
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为
其外接球被平面截得图形面积的最小值为：
故选：A

例8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（        ）
A． B． C． D．
【解析】如图，

由题，设的中心为，球的半径为，连接，则，，
在中，，解得，
所以，
因为，所以，
在中，，
所以，
过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面的半径为，则截面面积为，
当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为，
故选：D
例9．（2022·浙江省江山中学模拟预测）如图，在单位正方体中，点P是线段上的动点，给出以下四个命题：

①异面直线与直线所成角的大小为定值；
②二面角的大小为定值；
③若Q是对角线上一点，则长度的最小值为；
④若R是线段上一动点，则直线与直线不可能平行．
其中真命题有（       ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】对于①，由正方体的性质可知，平面，又平面，
故，异面直线与直线的所成的角为定值，①正确；
对于②，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，②正确；
对于③，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下，过点做，，，此时，的值最小．
由题可知，，，
，
则，，
故，又，
故的最小值为，故③正确．

对于④，在正方体中易证平面，设，则即为二面角的平面角，又正方体边长为1，故，则，由余弦定理得，故，同理，
故在上必然存在一点，使得二面角为，即平面平面，平面与平面的交线为，
则，过点作的垂线．此时平面，又平面，故．故④错误．

故选：C．
例10．（2022·北京·人大附中模拟预测）已知正方体为对角线上一点（不与点重合），过点作垂直于直线的平面，平面与正方体表面相交形成的多边形记为，下列结论不正确的是（       ）

A．只可能为三角形或六边形
B．平面与平面的夹角为定值
C．当且仅当为对角线中点时，的周长最大
D．当且仅当为对角线中点时，的面积最大
【解析】如下图，在正方体中，体对角线与平面，平面，平面都垂直，由图可知，在平面运动过程中只可能为三角形或六边形，故A正确；由题可知平面与都垂直，所以平面在移动过程中都是平行平面，与平面的夹角为定值，故B正确；如下图，当为对角线中点时，为正六边形，而三角形为等边三角形，根据中位线定理，可得两个截面周长相等，故C错误；由图可得，当为对角线中点时，为正六边形，设边长，面积为，当向下刚开始移动时，为六边形，结合图形可知两邻边一条增大，一条减小且变化量相等，设，而且所有六边形的高都相等且等于，两邻边夹角都为，则六边形梯形，当为三角形时面积最大为，所以当且仅当为对角线中点时，的面积最大，故D正确．
故选：C．

例11．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（       ）

A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与，的位置有关
【解析】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．
故选：C．

例12．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，点P，Q分别为的中点，G在侧面上运动，且满足G∥平面，以下命题错误的是（　　）

A．
B．多面体的体积为定值
C．侧面上存在点G，使得
D．直线与直线BC所成的角可能为
【解析】对A：连接，作图如下：

因为为正方体，故可得//，又，与是同一条直线，
故可得，则，故A正确；
对B：根据题意，，且线段在上运动，且点到直线的距离不变，
故△的面积为定值，又点到平面的距离也为定值，
故三棱锥的体积为定值，故B正确；
对C：取的中点分别为，连接，作图如下：

容易知在△中，//，又//，，
面面，故面//面，
又G在侧面上运动，且满足G∥平面，故的轨迹即为线段；
又因为为正方体，故面面，故，
则当与重合时，，故C正确；
对D：因为//，故直线与所成角即为直线与所成角，即，
在中，，
故，而当直线与直线BC所成的角为时，
，故直线与直线BC所成的角不可能为，故D错误．
故选：D．
例13．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，过对角线的一个平面交于E，交于F，给出下面几个命题：

①四边形一定是平行四边形；
②四边形有可能是正方形；
③平面有可能垂直于平面；
④设与DC的延长线交于M，与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线；
⑤四棱锥的体积为定值．
以上命题中真命题的个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】因为平面与平面平行，截面与它们交于，BF，可得，
同样可得，所以四边形是一个平行四边形，故①正确；
如果四边形是正方形，则，
因为，所以平面，
又平面，E与A重合，此时不是正方形，故②错误；
当两条棱上的交点是中点时，四边形为菱形，平面，
此时四边形垂直于平面，故③正确；
由与DC的延长线交于M，可得，且，
又因为平面，平面ABCD，
所以平面，平面ABCD，
又因为平面，平面ABCD，
所以平面平面，
同理平面平面，
所以BM，BN都是平面与平面ABCD的交线，
所以B，M，N三点共线，故④正确；
由于，平面，
则E，F到平面的距离相等，且为正方体的棱长，三角形的面积为定值，
所以四棱锥的体积为定值，故⑤正确．
故选：C．
例14．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（       ）

A． B．三棱锥的体积为定值
C． D．的最小值为
【解析】由平面，可得，则
由，可得平面
又平面，则，所以A项命题正确；
由于M，N分别为中点，可得∥
因为点P在上，所以点P到平面的距离为定值，
则三棱锥的体积
由于和h都为定值所以三棱锥的体积为定值，所以B项命题正确；
设，由对称性可得，则
当P与C重合时，，此时，达到最小为，
当交于P时，由等面积法可得，此时，达到最大为，所以C项命题正确；
将平面与平面沿展成平面图，当交于P时，可得，此时为最小值，
所以D项命题错误；故选D．


例15．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点P为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（       ）

A．
B．三棱锥的体积为定值
C．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形
D．DP与平面所成角的正弦值最大为
【解析】由题可知平面，所以，故A正确；
由等体积法得为定值，故B正确；
设的中点为，当时，如下图所示：

此时截面是三角形，
当时，如下图所示：

此时截面是梯形，故C正确；
选项D，在正方体中，连接，则为在平面上的射影，则为与平面所成的角，
设正方体的棱长为1，，则，，
当取得最小值时，的值最大，即时，的值最小为，
所以的值最大为，故D不正确．
故选：D．
例16．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：
①若点在线段上运动，则始终有；
②若是棱中点，则直线与是相交直线；
③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；
④为中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为；
以上命题为真命题的个数为（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】因为正方体内切球的表面积为，
设内切球的半径为，则，解得，
所以正方体的棱长为，

因为，且，
所以面，因为面，
所以恒成立，故①是真命题；

由图可知，直线与是异面直线，故②是假命题；

由图可知：因为，三棱锥体积等于三棱锥的体积，
由①知，面，所以点到面的距离为，
因为动点到直线的距离等于1，
所以的面积等于，
所以，故棱锥体积为定值，故③是真命题；

取中点为，中点为，连接，
因为，所以面面，
所以过点，且与平面平行的正方体的截面为面，
由图可知面是菱形，其中对角线长为，
所以，故④是真命题；真命题的个数有3个，
故选：B；
例17．（2022·江西南昌·三模（理））已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【解析】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为，
连接，由题意可知，，所以，
由抛物线定义可知，的轨迹为抛物线一部分，所以的轨迹为抛物线一部分，
当点到线段距离最短时，三角形面积最小，三棱锥体积最小，
建立如图所示直角坐标系，则直线的方程为，
抛物线的方程为，，
由题意，，得，代入，得，
所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为
，因为，
所以，
所以三棱锥体积的最小值为．
故选：C


例18．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点．过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．
【解析】

过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面．由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为．
故选：A．
例19．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论：
①线段的长度为；②点到面的距离范围为；
③周长的最小值为；④的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为（       ）
A． B． C． D．
【解析】四面体所有棱长均为，四面体为正四面体；
对于①，作平面，垂足为，
四面体为正四面体，为的中心，且；
取中点，连接，则，且平面；

，，；
平面，平面，，，①正确；
对于②，在上取点，使得，则，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，
设，，
，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
，
点到平面的距离，
令，则，，
，，即点到平面的距离的取值范围为，②正确；
对于③，将等边三角形与沿展开，可得展开图如下图所示，

则（当且仅当为中点时取等号），
四边形为菱形，分别为中点，，
，
则在四面体中，周长的最小值为，③正确；
对于④，设为中点，若点在线段上，设，则，其中，

在中，；
在中，同理可得：，
；
当时，；
当时，，，
，；
的取值范围为；
同理可得：当在线段上时，的取值范围为；
综上所述：的余弦值的取值范围为，④正确．
故选：D．
例20．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（       ）

A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为
C．为定值 D．不确定，与，的位置有关
【解析】如下图，连接，在正方体中，，分别为，的中点，可得，，所以当在棱移动时，到平面的距离为定值，当在棱移动时，到的距离为定值，所以为定值，则三棱锥的体积为定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．
故选：C．

例21．（2022·全国·高三专题练习（理））已知某正四棱锥的体积是，该几何体的表面积最小值是，我们在绘画该表面积最小的几何体的直观图时所画的底面积大小是，则和的值分别是（       ）
A．3； B．4； C．4； D．3；
【解析】如图，O为底面ABCD的中心，E为BC的中点，连接PO，OE，

设该正四棱锥底面边长为，高为，且，由题意，．
易有，，则，
所以，，将代入并化简得：，
于是，

．
当且仅当时，取“=”．
易知，此时底面ABCD直观图的面积．
故选：C．
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知棱长为的正方体，棱中点为，动点、、分别满足：点到异面直线、的距离相等，点使得异面直线、所成角正弦值为定值，点使得．当动点、两点恰好在正方体侧面内时，则多面体体积最小值为（       ）

A． B． C． D．
【解析】由题意都在平面内，其中为定点．
点到异面直线、的距离相等，
在正方体中，平面，故连接，有，所以为点到直线的距离．
所以在平面上，点满足到点的距离等于到直线的距离．
所以动点的轨迹是为以为焦点，以为准线的抛物线在正方体侧面内的部分．
由，所以异面直线、所成角为（或其补角）
在正方体中，平面，又平面，所以
所以，又
所以，则
所以，即动点的轨迹是为以为圆心，为半径的圆．
在四边形中，，又

在平面内，取的中点，连接，以为轴，为轴
则直线的方程为：，即，
则点到直线的距离的最值为：
所以的最小值为．
动点的轨迹方程为：，设
所以点到直线的距离（当时取得等号）
所以面积最小值

所以四边形面积

点满足，又．
所以点在以为弦的劣弧上，由，则圆心角为．其半径为2，圆心到的距离为．
所以圆弧上的点到的距离的最大值为．
当劣弧所在的平面垂直于平面时，圆弧上的点到平面的距离最小值为
所以动点到面距离最小值为，
所以多面体体积最小值为
故选：A
例23．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为2的正方体中，点是对角线上的点（点与不重合），有以下四个结论：

①存在点，使得平面平面；
②存在点，使得平面；
③若的周长为L，则L的最小值为；
④若的面积为，则．
则正确的结论为（       ）
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④
【解析】

连接，设平面与体对角线交于点，
由，，，
平面，即平面，
平面，平面平面，
存在点，使得平面平面，故①对；

由，平面，平面，
所以平面，同理由可得平面，
又，所以平面平面，
设平面与交于点M，则平面，
所以平面，故②对；
将平面与平面展开到同一平面，如图所示


则，
所以的周长为L的最小值为，故③对；
连接交于点O，过O作，


在正方体中，平面，
平面，，
由，
则，即，
此时面积为，
故④错；
故选：B．
例24．（2022·河南·模拟预测（文））已知四面体的所有棱长均为，、分别为棱、的中点，为棱上异于、的动点．有下列结论：
①线段的长度为；
②存在点，满足平面；
③的余弦值的取值范围为；
④周长的最小值为．
其中所有正确结论的编号为（       ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．②③④
【解析】对于①，取的中点，取的中点，连接、，
，为的中点，则，同理可得，
，平面，平面，，
、分别为、的中点，则且，
同理可知，且，
，由勾股定理可得，①正确；
对于②，假设平面，由于平面，则．
事实上，由①可知，且是以为直角的等腰直角三角形，
所以，与所成的角为，故假设不成立，即与平面不垂直，②错误；
对于③，取线段的中点，则，设，则．
当时，，则，此时，
则；
当点在线段上（不包括端点、）上运动时，则，，，
由余弦定理可得
，
同理可得．


，则，
由余弦定理可得
；
当点在线段上（不包括端点、）上运动时，同理可知．
综上所述，的余弦值的取值范围是，③错误；
对于④，将侧面和侧面延展为同一平面，如下图所示：

当、、三点共线时，取得最小值，
如上图所示，由于四边形是边长为的菱形，则且，
、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则，
即的最小值为，
所以，在正四面体中，的周长为最小值为，④正确．
故选：B．
例25．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，


则、、、、、、、，
设点，其中．
①当时，点与点重合，，，，
所以，，，则，，
，平面，此时平面即为平面，
截面面积为；
②当时，同①可知截面面积为；
③当时，，，
，，则，
设平面交棱于点，，
，可得，不合乎题意．
设平面交棱于点，，
，可得，合乎题意，即，
同理可知，平面交棱于点，
，且与不重合，故四边形为平行四边形，
，，，
则，
所以，截面面积为．
综上所述，截面面积的最小值为．
故选：C．
例26．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））如图，正方形的中心为正方形的中心，，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥（，，，四点重合于点），则此四棱锥的体积的最大值为（       ）

A． B． C． D．
【解析】设，则所得的棱锥侧面的高为，
棱锥的高为其体积为：

，
当且仅当时等号成立，
即体积的最大值为，
故选：B．
例27．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））在棱长为3的正方体中，P为内一点，若的面积为，则四面体体积的最大值为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】设与平面相交于点，连接交于，连接，则交于点，
因为平面，平面，
所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以，
同理可证得，
因为
所以平面，
因为平面，所以，
所以是的高，
因为，，
所以，
所以点P的轨迹是以为原点，1为半径的圆，
因为平面，所以平面，
所以平面，
所以，
因为为常数，所以当最大时，取得最大值，
在中，设到的距离为，
所以，
所以只要求出的最大值，就取得最大值，
在四边形中，如下图，

，，
所以，
所以，
，
在等边三角形中，如下图，
在高上，，
所以，
所以到的距离是到距离的，
因为到距离为，所以到的距离，
所以的最大值为，
所以四面体体积的最大值为，
故选：D

例28．（2022·四川省宜宾市第四中学校三模（理））函数，设球O的半径为，则（       ）
A．球O的表面积随x增大而增大 B．球O的体积随x增大而减小
C．球O的表面积最小值为 D．球O的体积最大值为
【解析】令，则，
故函数，，
即为单调增函数，
而在上递增，在上递减，
故在上递增，在上递减，
又在上递增，在上递减，
且是正值，也是正值，
故在上递增，在上递减，
即球O的半径在上递增，在上递减，
故A，B错误；
由以上分析可知当时，球O的半径取到最大值为，
故球O的表面积最大值为，无最小值，故C错误；
同时球O的体积最大值为，故D正确；
故选：D
题型四：立体几何中的交线问题
例29．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，点在平面中，，点在线段上，则下列结论正确的个数是（       ）

①点的轨迹长度为；
②线段的轨迹与平面的交线为圆弧；
③的最小值为；
④过、、作正方体的截面，则该截面的周长为
A． B． C． D．
【解析】设的中点为，则点的轨迹是平面上以为圆心，以2为半径的圆，所以点的轨迹长度为，故①错误；
连接，易知线段的轨迹是圆锥的侧面，而平面与轴不垂直，所以线段的轨迹与平面的交线不是圆弧，故②错误；
以的中点为原点，分别以水平向右、垂直平分为轴、轴建立平面直角坐标系，则所在的直线方程为，则点到直线的距离为，所以的最小值为，故③正确；
如下图，过作正方体的截面，为五边形，其中为的靠近的三等分点，为的靠近的四等分点．
可计算得，
，
所以该截面的周长为，故④错误．

故选：D．
例30．（2022·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，已知，为底面的中心，以点为球心作一个半径为的球，则该球的球面与侧面的交线长度为（     ）
A． B． C． D．
【解析】如图，取CD的中点为E，则有，，
，可得，，故，
为正三角形，球心O在平面PCD上的投影M即为的中心，
，球的半径，
在中，则截面圆半径，
在正三角形中，以点M为圆心，作半径为的圆，圆与三角形截得的三部分，
圆心角都为，故该球的球面与侧面的交线长度为截面圆周长的，
即为．
故选：A．

例31．（2022·全国·高三专题练习）已知正四面体的中心与球心O重合，正四面体的棱长为，球的半径为，则正四面体表面与球面的交线的总长度为
A． B． C． D．
【解析】考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示，

由题意结合几何关系可知：，
球心到截面的距离：，
则，，
据此可得截面对应的弧长为：，
则四面体的一个面截球面的弧长为：，
则正四面体表面与球面的交线的总长度为．
故选A．
例32．（2022·四川成都·模拟预测（理））如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD＝3，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体C－ABD，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（       ）

A．点P落在三棱锥E－ABC内部的概率为
B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为
C．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则点P的轨迹长度为
D．若点在平面上，且满足PA＝2PD，则线段长度为定值
【解析】如图所示，由题意可知底面BCD，

由于E为线段BD中点，
故，
故P落在三棱锥内部的概率为，故A正确；
若直线PE与平面ABC没有交点，则P点在过点E和平面ABC平行的平面上，
如图所示，设CD的中点为F，AD的中点为G，连接EF，FG，EG，
则平面EFG平面ABC，

则点P的轨迹与平面ADC的交线即为GF，
由于△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，故，
则，故B正确；
若点P在平面ACD上，且满足，以D为原点，DC，DA为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，

则，设，则，
即，故P点在平面ADC上的轨迹即为该圆被平面ADC截得的圆弧（如图示），由可得，则，
则点P的轨迹长度为，故C正确；
由题意可知，故平面ADC，
故，由于P在圆弧上，圆心为M，
故PD的长不是定值，如上图，当位于N点时，，
当位于T点时，，故线段PB长度不是定值，D错误，
故选：D
例33．（2022·江苏徐州·高二期中）如图1，在正方形中，点为线段上的动点（不含端点），将沿翻折，使得二面角为直二面角，得到图2所示的四棱锥，点为线段上的动点（不含端点），则在四棱锥中，下列说法正确的是（       ）

A．､､､四点一定共面
B．存在点，使得平面
C．侧面与侧面的交线与直线相交
D．三棱锥的体积为定值
【解析】A．假设､､､四点共面，则直线EC与BF共面，若EC与BF平行，又EC与AD平行，则AD与BF平行，这与AD与BF相交矛盾；若EC与BF相交，设交点为Q，则Q即在平面BAD内，又在平面AECD内，则点Q在交线AD上，这与EC与AD平行矛盾，所以假设不成立，所以B、E、C、F不共面，故错误；
B．如图所示：

在AD上取点G，使得AG=EC，当时，，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，则平面，故存在点，使得平面，故正确；
C．设侧面与侧面的交线为l，因为，且面，面，所以面，则，所以，故错误；
D．因为二面角为直二面角，当点E移动时，点B到AE的距离即三棱锥的高变化，而是定值，故三棱锥的体积不是定值，故错误；
故选：B
例34．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体的棱长是2，E，F分别是棱和的中点，点P在正方形（包括边界）内，当平面时，长度的最大值为a．以A为球心，a为半径的球面与底面的交线长为（       ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示：

分别取的中点M，N，连接MN，AM，AN，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理平面，又，
所以平面AMN平面，
因为点P在正方形（包括边界）内，且平面，
所以点P的轨迹是线段MN，
所以长度的最大值为，
在平面内取一点P，使得，则，
所以以A为球心，为半径的球面与底面的交线为
以为圆心，以1为半径的圆弧RPQ，
其长度为，
故选：A
例35．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知正四棱柱中，，为的中点，为棱上的动点，平面过，，三点，则（       ）
A．平面平面
B．平面与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形
C．当与A重合时，截此四棱柱的外接球所得的截面面积为
D．存在点，使得与平面所成角的大小为
【解析】因为，为的中点，底面ABCD为正方形，
所以，又因为平面，平面，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，即A正确；

当时，画出平面与正四棱柱表面的交线围成的图形如下图：
其中F在线段上，G在上，BP∥EG，BE∥PF，

可知交线围成的图形为五边形，即B错误；
如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线为，y，z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
设平面ABEF的法向量为，
则有，令，则，
则
球心到平面的距离，
此正四棱柱的外接球半径为，
所以截面半径，则截面积，

即C正确；
设，，
则平面的法向量为，则，
令，则，所以，
设与平面所成角为，
则，
因为在上单调递增，
所以，

所以不存在点，使得与平面所成角的大小为，即D错误．
故选：AC
例36．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段是圆柱下底面的直径，点是下底面的圆心．线段是圆柱的一条母线，且．已知平面经过，，三点，将平面截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”．记平面与圆柱侧面的交线为曲线．则（       ）

A．曲线是椭圆的一部分 B．曲线是抛物线的一部分
C．二面角的大小为 D．马蹄体的体积为满足
【解析】


将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切，又与曲线C所在平面相切，球与曲线C的切点为，取曲线C上一点，过点的圆柱母线与两球交于两点，由于同是下面球的切线，同是上面球的切线，可得，，则，由椭圆定义知：曲线是椭圆的一部分，A正确；B错误；连接，由，，知面，故，则为二面角的平面角，又，则，C正确；由补成的几何体知马蹄体的体积为为圆柱体的，即为，D错误．
故选：AC．
例37．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）如图，正方形ABCD-A1B1C1D1边长为1，P是上的一个动点，下列结论中正确的是（       ）

A．BP的最小值为
B． 的最小值为
C．当P在直线上运动时，三棱锥 的体积不变
D．以点B为球心，为半径的球面与面 的交线长为
【解析】对于A，当时，BP最小，由于到直线的距离对．
对于B，以为坐标原点建系，以分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，设，

，
表示平面上之间的距离，
表示平面上之间的距离，
错；
对于C，，平面，
平面到平面的距离为定值，
为定值，则为定值，对．
对于D，由于平面，设与平面交于点，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，在以为圆心，为半径的圆上，由于为正三角形，边长为，其内切圆半径为，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为正确．
故选：ACD
例38．（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为a，M是的中点，则（       ）
A．任意，
B．存在，直线与直线BM相交
C．平面与底面交线长为定值
D．当时，三棱锥外接球表面积为
【解析】对于选项A，，，，，平面，
∴平面，平面，∴，A对；
对于选项B，平面，平面，∴平面
∴与异面不相交，B错；
对于选项C，延长，交于点，为中点，，

∴，∴，，∴，
平面平面，平面与底面交线为，
其中P为中点，，C对；
对于选项D，，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆，
半径，此时三棱锥外接球的半径，
可知外接球表面积应大于等于，可知D错；
故选：AC．
题型五：空间线段以及线段之和最值问题
例39．（2022·山东·高一阶段练习）已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示．
设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为，
易知：三点均在上，且平面，
设内切球的半径为，外接球的半径为，则．

由等体积法：，得，
由等体积法：，得，
将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面，

∴两点间距离的最小值为．
故选：B．
例40．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的底面边长为，外接球表面积为，，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】依题意，，解得，
由是正三角形可知：其外接圆半径为，
设点S到平面ABC的距离为h，故，
解得或，
则或（舍去），
故，则，而，故为等腰直角三角形，，
故为等腰直角三角形，，则，
又，故平面SCM，
取CB中点F，连接NF交CM于点O，则，则平面SCM，

故平面SCM，则，
要求最小，首先需PQ最小，此时可得平面SCM，则；
再把平面SON绕SN旋转，与平面SNA共面，即图中位置，
当共线且时，的最小值即为的长，
由为等腰直角三角形，
故，，
∴，即，∴，
可得，，
故选：B．
例41．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体中，点满足，点在平面内，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】以点为坐标原点，分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则，
因为，且，则平面，
所以，同理得平面，所以，
而，所以平面，
记与平面交于点，连接，且，
则，易得，
从而得点关于平面对称的点为，
所以的最小值为．
故选：B．

例42．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．3
【解析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，


设点的新位置为，连接，则有．
当三点共线时，则即为的最小值．
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：，所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：，且．
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，，，
由余弦定理得：．
故选B．
例43．（2022·湖北·高一阶段练习）已知正方体的棱长为2，E为线段的中点，，其中，则下列选项正确的是（       ）
A．时， B．时，的最小值为
C．时，直线与面的交点轨迹长度为 D．时，正方体被平面截的图形最大面积是
【解析】取AD中点F，BC的中点G，连接，，，则，
因为，，
所以，即点在线段上，
因为E为线段的中点，则，故，
所以，由于，
所以，
又⊥平面，平面，
所以⊥，
因为，所以平面，
因为平面，
所以，A正确；

B选项，在AB上取点H，使得，在DC上取点K，
使得，
因为，，
所以点P在线段HK上，
将平面与平面沿着HK展开到同一平面内，如图1，
连接交HK于点P，即三点共线时，取得最小值，
其中由勾股定理得：，所以，
所以，故B正确；


C选项，，，时，
由向量共线定理的推论可得：P点在线段BD上，
连接，交于点M，交于点N，连接MN，
则线段MN即为直线与面的交点轨迹，
其中三角形是等边三角形，，
由三角形相似可知：，而，所以，
同理可得：，所以三角形是等边三角形，所以，
直线与面的交点轨迹长度为，C错误；

由C选项的分析可知，：P点在线段BD上，
连接AC，BD相交于点Z，当P位于线段DZ上时，连接AP并延长交CD于点Q，
连接，则平面截正方体所得图形为三角形，
则当与重合时，Q与C重合，此时截面三角形面积最大，
面积为；
当P位于线段BZ上时，如图3，连接AP并延长，交BC于点W，
过点W做WR∥交于点R，连接，
则四边形即为平面截正方体所得的截面，
设，则由平行性质可知：，
则，所以四边形为等腰梯形，
其中，设梯形的高为h，则，
则截面面积为，
如图4所示，直角三角形，直角边，
在上取一点，连接，
则三角形的面积即为，
显然当时，面积取得最大值，最大面积为，
因为，所以时，正方体被平面截的图形最大面积是，D正确．．



故选：ABD
例44．（2022·湖南岳阳·三模）如图，在直棱柱中，各棱长均为2，，则下列说法正确的是（       ）

A．三棱锥外接球的体积为
B．异面直线与所成角的正弦值为
C．当点M在棱上运动时，最小值为
D．N是所在平面上一动点，若N到直线与的距离相等，则N的轨迹为抛物线
【解析】因为在直棱柱中，各棱长均为2，，
所以△ABC为等边三角形，
设三棱锥外接球球心为O，则O在底面ABC的投影为△ABC的中心H，
设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理得：，
所以△ABC外接圆半径为，
设三棱锥外接球的半径为r，则，
故三棱锥外接球的体积为，A正确；
连接，，则，且从图中可以看出为锐角，所以异面直线与所成角即为，
由勾股定理得：，
由余弦定理得：，
故在△中，由余弦定理得：，
所以，B错误；

将平面与平面沿着公共边折叠到同一平面内，如图

连接，与的交点即为取得最小值的M，此时的长度即为最小值，
其中，，
由勾股定理得：，C正确；
因为平面ABCD，故点N到直线的距离即为的长，
又因为平面ABCD，
故在平面ABCD上，到一点N的距离等于到直线BC的距离，
由抛物线的定义可知：N的轨迹为抛物线，D正确．
故选：ACD
例45．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（       ）
A．当时，平面
B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为
C．当时，长度的最小值为
D．当时，与平面所成的角不可能为
【解析】对于A，当时，，即点在线段上，利用正方体的性质，易证平面平面，平面，平面，故A正确；

对于B，当时，，设的中点为H，则，即，即点为中点，此时，故B错误；

对于C，当时，可知三点共线，线段在中，当点为中点时，最小，此时，，故长度的最小值为，故C正确；

对于D，当时，可知三点共线，点在平面内的射影为Q在线段上，则为与平面所成的角，，又，所以，而，所以与平面所成的角不可能为，故D正确；

故选：ACD
例46．（2022·全国·模拟预测）如图，点M是棱长为1的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（       ）

A．存在无数个点M满足
B．当点M在棱上运动时，的最小值为
C．在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是
D．满足的点M的轨迹是一段圆弧
【解析】对A，若M在上，此时必有，证明如下：平面，
所以，又，所以平面，
所以，所以A正确；
对B，如图

，旋转面使之与面共面，
连接交于，此时最短为，大小为，故B错误，
对C，

当在和交点处时，
此时直线与所成的角即直线与所成角，
此时此异面直线所成最小，其正切值为，
即最小角大于，故不存在，即C错误，
对D，在面上建立直角坐标系，
设，设，
由整理可得：，
根据解析式可得M的轨迹是圆的一部分，故D正确，
故选：AD．
例47．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（       ）

A．
B．
C．
D．
【解析】

如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线，
又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得．
过A作面EFG，垂足为P，过A作，垂足为Q，连接，易得即为直线与平面所成的角，
则，又面EFG，面EFG，则，又，面，，
所以面，面，则，则即为平面与底面所成的锐二面角，则，
又，则，同理可得，则，
又由，
，
则，
故，A，C错误；
故，由可知，所以，
即，整理可得，
即，即，
故，又，故，B正确，D错误．
故选：B．
例48．（2022·浙江·高三专题练习）在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（       ）
A．若，则
B．若，则
C．可能值为
D．当取值最大时，
【解析】

如图所示，连接延长交与，连接延长交与，设平面平面
顶点P在底面的射影为的垂心，平面，平面平面
则有：直线与平行
又，则
平面，则
又
则平面
从而
故为与平面的二面角，即
同理可得：
对选项A，，又，则有：
可得：与全等，则
又根据是的垂心，则，
综上可得：直线垂直并平分线段
可得：，故选项A正确；
对选项B，易知有如下角关系：


又，则有：



可得：
解得：
则，故选项B正确；
对选项C，若，则有：
则有：
化简后可得：
令，则有：
则有：，此时方程无解，故选项C错误；
对选项D，设（），则有：
可化简为：
令，则有：
则有：
解得：
故取得最大值时，，此时
同理可得：
故，且
则有：，故选项D正确；
故选：C
例49．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【解析】如图，分别取的中点，连接，
取的中点，连接
由三棱台的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，
又，，故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角，
要使直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，
又点P在侧面内，则需点到AP的距离最小，即点到面的距离，
设点到面的距离为，利用等体积法知
即，即，
在直角中，，，
又在中，，，，
，又
设直线与AP夹角的最小值为，则
故选：B

例50．（2022·浙江台州·高三期末）已知在正方体中，点为棱的中点，直线在平面内．若二面角的平面角为，则的最小值为（       ）
A．
B．
C．
D．
【解析】连接AE，取AE的中点P，过点P作FG⊥AE交CD于点F，交AB于点G，设正方体棱长为2，由勾股定理可知：，，同理，取的中点，连接，取的中点，过点作MN⊥交于点M，交于点N，则直线即为直线，此时，MF⊥CD，NG⊥AB，OP⊥底面ABCD，因为FG平面ABCD，所以OP⊥FG，因为AE∩OP=P，所以FG⊥平面AOP，连接OA，OE
，因为OA平面AOP，所以OA⊥FG，因为MN∥FG，所以OA⊥MN，同理可证：OE⊥MN，所以即为二面角的平面角，由对称性可知：此角即为二面角的平面角的最大值，且，其中，由勾股定理得：，所以，则

故选：B
例51．（2021·全国·高二课时练习）已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】如图1，为棱上靠近的三等分点，由正方体的对称性可知平面与平面和平面所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分点E，取棱DC上的三等分点N，M，容易证明：，则共面，即平面与平面和平面所成角相等，于是点P在线段FN上．

如图2，过点作垂直于FN于，容易知道当P位于时，最小．

如图3，由勾股定理可以求得，由等面积法，

．
故选：A．
例52．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知点P是正方体上底面上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】

如图取正方体的下底面的各边中点E，F，G，H，上底面的中心为O，下底面的中心为O'，
ABP，BCP所成的角为α，ABP，CDP所成的角为β，α>β，
等价于P到HF的距离比到EG的距离大，
所以P在如图所示的阴影范围内．
在△APC和△BPD中，AC=BD，PQ公用，Q为共同的中点，
∠APC，∠BPD的大小由PQ于AC，BD所成的角大小所决定，
所成角越小，则对应角越大，
显然PQ与AC和BD所成的角的大小关系不确定，当P在靠近A'时PQ与直线AC所成的角较小，与直线BD所成的角则接近于90°，此时∠BPD>∠APC，同样当P接近于D'时∠APC>∠BPD，故A、B错误；
∠APD与∠BPD的大小关系看P实在EG的左侧还是右侧．
若是在左侧，则∠APD>∠BPC，若是在右侧，则∠APD∠CPD，P在HF上，则∠APB=∠CPD，P在HF的后面，则∠APB