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专题19 三角函数图象与性质 （解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳
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这是一份专题19 三角函数图象与性质 （解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳，共113页。教案主要包含了考点预测，方法技巧与总结，题型归纳目录，典例例题，过关测试等内容，欢迎下载使用。
专题19 三角函数图象与性质
【考点预测】
知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无
知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
知识点三：与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.
方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【方法技巧与总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为.
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
【题型归纳目录】
题型一：五点作图法
题型二：函数的奇偶性
题型三：函数的周期性
题型四：函数的单调性
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
题型六：函数的定义域、值域（最值）
题型七：三角函数性质的综合
题型八：根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）
题型九：三角函数图像变换
【典例例题】
题型一：五点作图法
例1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.
【答案】(1)，单调递增区间为；
(2)完善表格见解析；图象见解析；最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）利用最大值点和零点可确定最小正周期，由此可求得；利用可求得，由此可得解析式；令即可求得单调递增区间；
（2）令，利用五点作图法即可完善表格并得到图象，结合图象可求得最值.
(1)
若，，即是的最大值点，是的零点，且的最小值为，设的最小正周期为，则，即，解得：.
由可得：，即有，
或，又，，
综上所述：；
令，解得：，
的单调递增区间为.
(2)
根据“五点作图法”的要求先完成表格：令.
0
由图可知：当时，取到最大值；当时，取到最小值.
例2．（2022·全国·高三专题练习）把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数.
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）画出函数在区间上的大致图象.
【答案】（1），单调增区间是.（2）图见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数图象的平移变换法则以及正弦函数的对称性确定的解析式，从而可得的解析式，利用降幂公式与辅助角公式化简，然后利用正弦函数的周期公式结合正弦函数的单调性即可得结果；（2）利用“五点法”：列表、描点、连线，从而可得结果.
【详解】
（1）由题意知，
根据函数的图象关于直线对称，
得，
即，
又，所以，则，
则
，
则函数的最小正周期，
令，得，
故函数的单调增区间是.
（2）列表如下：
0
0
1
2
1
1
3
2
故在区间上的大致图象是：
【点睛】
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解
例3．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）设函数（）的最小正周期为，且
(1)求和的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数在上的图象；
x
【答案】(1)，；
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先由最小正周期求出，再由解出即可；
（2）直接填出表格画出图像即可.
(1)
由题意知：，解得，又，又，解得.
(2)
由（1）知：，列表如下
x
1
0
0
图像如图：
.
【方法技巧与总结】
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
题型二：函数的奇偶性
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
化简,可得,令,可得奇函数,结合已知条件,即可求得答案.
【详解】
.
令
,且
为奇函数,
设其最大值为,则其最小值为,
∴函数的最大值为,最小值为
则
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了求函数在指定区间上最值问题,解题关键是掌诱导公式和奇偶性的判断方法,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
例5．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）若为偶函数，则___________.（填写符合要求的一个值）
【答案】，填写符合Z的一个即可
【解析】
【分析】
把展开化简，只要能化成的形式即为偶函数.
【详解】
，只要，就为偶函数，，
Z，填写一个即可，如.
故答案为：，填写符合Z的一个即可.
例6．（2022·四川德阳·三模（理））将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象对应函数为奇函数，则m的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得函数为奇函数，进而可得，即得.
【详解】
由，向左平移个单位，得到的图象，
∴函数为奇函数，
∴
所以，即，
所以的最小值是．
故答案为：.
例7．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
求出f(x)平移后的解析式，根据它是偶函数可求的值.
【详解】
将函数的图像向右平移个单位变为，
要使其为偶函数，则Z，则，
∵，∴当时，为其最小值.
故答案为：.
例8．（2022·上海·模拟预测）已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数，且图象关于点对称 B．偶函数，且图象关于点对称
C．奇函数，且图象关于点对称 D．奇函数，且图象关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意先求出的最简形式，再根据三角函数性质对选项逐一判断
【详解】
，若在处取得最小值，
则，，，
，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．
故选：D
例9．（2022·安徽淮南·二模（理））对任意的，函数满足．若函数在区间上既有最大值又有最小值，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】
依题意对任意的，函数满足，
，所以函数为奇函数，
，
令（），
，
所以为奇函数，
所以区间上的最大值与最小值之和为，
所以，所以函数的最大值与最小值之和.
故选：C
例10．（2022·山西太原·二模（理））已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦的二倍角公式以及辅角公式，可得，在分别求出和的解析式，根据三角函数的性质，即可求出结果.
【详解】
因为
，
所以，
所以，所以为偶函数，故A错误，B正确；
又，所以函数为非奇非偶函数函数，故C、D错误.
故选：B.
【方法技巧与总结】
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数.
题型三：函数的周期性
例11．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是___________.
【答案】且
【解析】
【分析】
利用正弦型函数的性质确定两个距离最近且的两个角，求出，进而求周期.
【详解】
根据正弦型函数的周期性，当，则：
若，最近的另一个值为，
所以，而，可得.
故此函数的最小正周期是，则函数的周期为且.
故答案为：且
例12．设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值为 ．
【解答】解：函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
由于得到的函数的图象与原图象重合，
故，，
所以，，
当时，的最小值为3．
故答案为：3．
例13．（2022·陕西·模拟预测（文））若，则__________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质判断的周期，利用周期性求值即可.
【详解】
，时，，
，时，，
，时，，
，时，，
，时，，
，时，，
所以，且周期为6，
则.
故答案为：0
例14．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用三角函数图象，结合奇偶性和周期性，即可得出结果.
【详解】
解：①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
但不是周期函数，排除①；
②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期是，②正确；
③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期为，③正确；
④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④.
故选：B.
例15．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设函数，若时，的最小值为，则（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．函数在区间上的零点个数共有6个
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件求出的最小正周期，由此判断A，根据正弦函数的图象及性质判断B，C，D.
【详解】
由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；
对于选项B：将函数的图像向左平移个单位，得到的函数是
为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；
对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
例16．（2022·安徽·高三阶段练习（理））设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求得，再由周期公式求得，再由可得，结合，求得值，即可得解．
【详解】
由的最小正周期大于，得，
又，，得，
，则，即,
，
由，得,
，,
取，得,
，,
故选：．
例17．（2022·辽宁实验中学模拟预测）函数的最小正周期和最小值分别为（ ）
A．，1 B．， C．，1 D．，1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正余弦函数的性质及辅助角公式写出的分段形式，进而画出函数图象，即可知答案.
【详解】
由题设，，，
所以的部分图象如下：
所以最小正周期和最小值分别为，1.
故选：C
例18．（2022·山西临汾·一模（文））将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，若则的最小值为（ ）
A． B． C．π D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出函数，由得到分别是函数的最小值点和最大值点，进而求出答案.
【详解】
由已知，，而则分别是函数的最小值点和最大值点，而函数的周期，则的最小值为.
故选：A.
例19．（2022·山东德州·高三期末）若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数的解析式，由的最小值为函数的最小正周期的，可求得函数的最小正周期，进而可求得正数的值.
【详解】
，
所以，
因为的最小值为函数的最小正周期的，
所以，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：A
例20.（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像.若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
应用辅助角公式化简，再由图像平移写出的解析式，结合已知及正弦型函数的周期性确定的最小值.
【详解】
由题设，，故，
要使且，则或，
∴的最小值为1个周期长度，则.
故选：B.
例21．（2022·全国·高三专题练习）函数，，若在区间，是单调函数，且，则的值为（ ）
A． B．1 C．2或 D．或2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据在区间，是单调函数，得到 ，再根据，得到函数关于对称和对称中心为，，然后分与，在同一周期和不同一周期里面相邻求解.
【详解】
解：在区间，是有单调性，且，
，
；
，
函数关于对称，
离最近对称轴的距离为；
又，
有对称中心为，；
若与，为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
则，可得，
．
若与，为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
则，可得，
．
故选：D．
例22．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数在上单调，且，则的可能取值（ ）
A．只有1个 B．只有2个
C．只有3个 D．有无数个
【答案】C
【解析】
【分析】
设的最小正周期为T，由函数在上单调，判断出．进而计算出为的一个对称中心，为的一条对称轴.结合正弦函数的图象，分类讨论，①，②，③，分别求出的值.
【详解】
设的最小正周期为T，则由函数在上单调，可得，即．
因为，所以.
由在上单调，且，得的一个零点为，即为的一个对称中心.
因为，所以为的一条对称轴.
因为，所以有以下三种情况：
①，则；
②当时，则，符合题意；
③，则，符合题意．
因为，不可能满足其他情况.
故的可能取值只有3个．
故选：C
【方法技巧与总结】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，.
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均.
题型四：函数的单调性
例23．（2021•湖南模拟）函数，的部分图象如图所示，则的单调递增区间为
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：由图象知，，，
，，
过点，
，，且，
，
，
当，即时，函数单调递增，
的单调递增区间为，
的单调递增区间为．
故选：．
例24．（2022秋•梁园区校级期末）已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
【解答】解：函数，，，
的最小值为，．
，，，
故．
令，求得，
则的单调递减区间为，，，
故选：．
例25．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先用三角恒等变换化简得到，再用整体法求解单调递减区间.
【详解】
，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
例26．（2022·新疆·二模（理））设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据的对称中心、零点求得，进而求得，结合三角函数单调区间的求法求得正确答案.
【详解】
据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以，
即（），
所以；又由得，
即（），
，所以，所以；
由得的单调减区间为（），
所以在上的单调减区间是.
故选：C
例27．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数性质求单调区间，判断选项
【详解】
，令
解得
故选：D
例28．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
先结合图像求出，再由余弦函数的单增区间求解即可.
【详解】
由图象知，，∴，∴，，∴过点，
∴，，且，∴，∴.
令，，即，，∴的单调递增区间为，.
故选：D.
例29．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列直线中，函数的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的性质可得对称轴方程为且，进而判断各项是否为对称轴即可.
【详解】
令且，则对称轴方程为且，
显然时对称轴为，不存在有对称轴为、、.
故选：B.
例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求使成立的实数x的取值集合.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由两角差的正弦和余弦公式及降幂公式化简函数解析式为，解不等式，即可得答案；
（2）利用正弦函数的图象与性质求解不等式即可得答案.
(1)
解：因为
，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，；
(2)
解：由（1）知，
由，得，
所以，，
所以，，
所以x的取值集合为.
【方法技巧与总结】
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，
如由解出的范围，所得区间即为增区间；
由解出的范围，所得区间即为减区间.
若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可.
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
例31．（2022春•河南期末）已知函数的图象的一条对称轴是，则
A．1 B． C． D．
【解答】解：函数的图象的一条对称轴是，
故，
整理得：，
所以，
即，
故选：．
例32．（2022·宁夏·固原一中一模（文））将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是
A．函数的最小正周期是 B．图像关于直线对称
C．函数在区间上单调递减 D．图像关于点对称
【答案】C
【解析】
根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．
【详解】
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
对于,函数的最小正周期为，所以该选项是正确的；
对于，令，则为最大值，
函数图象关于直线，对称是正确的；
对于中，，则，，
则函数在区间上先减后增，不正确；
对于中，令，则，
图象关于点对称是正确的，
故选．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．
例33．（2022·湖南岳阳·一模）已知函数，其中，，函数的周期为，且时，取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数在单调递增 D．函数图象关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
利用周期公式可判断A；利用极值的定义可判断B；根据极值的不确定性可对单调性进行判断；根据对称性可判断D.
【详解】
对于A，函数，其中，，
因为函数的周期为，所以，故A不正确；
对于B，时，取得极值，
所以为函数的对称轴方程，但是不能确定是取得极大值还是极小值，
所以，故B不正确；
对于C，因为不能确定是函数的极大值还是极小值，
所以无法确定函数的单调性，故C不正确；
对于D，因为为函数的对称轴方程，
则，
解得，
所以，
所以，
所以函数图象关于点对称，故D正确.
故选：D
例34．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（文））已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，先对函数进行化简，根据最小正周期为，求解出，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线对称，建立等量关系即可求解出实数m最小值.
【详解】
解：
，
即，由其最小正周期为，即，解得，
所以，
将其图象沿轴向左平移（）个单位，所得图象对应函数为，
其图象关于对称，所以，所以 ，
由，实数的最小值为.
故选：A.
例35．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知直线和是曲线的两条对称轴，且函数在上单调递减，则的值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两条对称轴直线方程和单调递减区间可知为最小值，然后解的值
【详解】
由在上单调递减可知 是最小值
由两条对称轴直线和可知也是对称轴且，为最小值
故
又 ，解得
故选：A
例36．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的性质可得，进而可得，即得.
【详解】
∵的最大值为，
∴，又，
∴，
∴，又x＝m是的一条对称轴，
∴，即，
∴的最小值为.
故选：B.
例37．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知向量，，函数的图象关于直线对称，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平面向量数量积的坐标表示得到函数的表达式，再根据，赋值，即可求出的值．
【详解】
，因为函数的图象关于直线对称，所以，令，即，解得：．
故选：C．
例38．（2022·广东·佛山市南海区桂华中学高三阶段练习）将函数（其中）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，即可求出，由此求得的最小值．
【详解】
解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得，
的图象关于直线对称，
，，
，，
，的最小值为，
故选：D．
例39．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象变换，求得，结合，列出三角方程，即可求解.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位后，
可得，
因为的图象关于直线对称，，
即，可得，解得，
又因为，所以的最小值为.
故选：A.
例40．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可知为的最大值或最小值，可建立方程求得，进而求得.
【详解】
由于函数的图象关于直线对称，所以，即，两边平方整理得，解得，则.
故选：B.
例41．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若函数的图象关于直线对称，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式得到，再根据为的对称轴，即可得到，从而求出的值，即可求出函数的最大值；
【详解】
解：因为，所以，其中，；
因为为的对称轴，，
所以，即，解得，
所以，则；
故选：C
例42．（2022·全国·高三开学考试（文））若函数对任意的x都有，则等于（ ）
A．3或0 B．或0 C．0 D．或3
【答案】D
【解析】
【分析】
是的一条对称轴，故而为的最大值或最小值．
【详解】
任意实数都有恒成立，
是的一条对称轴，当时，取得最大值3或最小值．
故选：．
【方法技巧与总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得
，即对称中心为.
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
题型六：函数的定义域、值域（最值）
例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由被开方式非负，解三角不等式可得答案
【详解】
由题意，得，
则．
故选：B．
例44．（2022·全国·高三专题练习）函数()的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数解析式及x的取值范围，根据根式、对数、三角函数的性质，列不等式求定义域即可.
【详解】
由题意，得，则，即，
∴.
故选：A.
例45．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将问题转化为不等式对恒成立，令求解.
【详解】
解：因为不等式对恒成立，
所以不等式对恒成立，
令，
因为，所以，
则，
所以，
所以，解得，
所以m的最小值为，
故选：D
例46．（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【详解】
当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
例47．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A． B．3
C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，将原函数变形为，再根据的取值范围及二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：根据题意，设，
则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值.
故选：C.
例48．（2022·北京二中高一阶段练习）函数在上的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用辅助角公式变形，再在指定区间上求最小值作答.
【详解】
函数，其中锐角由确定，
而，即有，显然在上单调递增，
所以当时，.
故答案为：
例49．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知，当时，的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦、正弦的二倍角公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】
，
当时，，所以，
即，
故答案为：
例50．（2022·广东·二模）若函数的最大值为1，则常数的一个取值为_____．
【答案】（答案不唯一，取，均可）
【解析】
【分析】
依题意，知与同时取到最大值1，进而可得，令可得符合题意的的值．
【详解】
函数的最大值为1，
可取与同时取到最大值1，
又时，，
时，也取到1，
，
不妨取，
此时的最大值为1，符合题意，
故常数的一个取值为，
故答案为：（不唯一）．
例51．（2022·北京·高三专题练习）设当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数解析式，根据三角函数性质求出θ，于是可求cosθ.
【详解】
，
则，
则
故答案为：.
例52．（2022·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.
【详解】
利用辅助角公式，其中
当时，函数取得最大值，则，
所以，
所以
又，
所以
故答案为：.
例53．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为1，则常数______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦公式及辅助角公式将函数解析式化为的形式，由最大值为1，可建立关于参数的方程，进而得解.
【详解】
解：
（其中）
所以函数的最大值为，即
解得
又因为
所以或.
故答案为：或.
例54．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过换元，转化为二次函数求最小值问题.
【详解】
令，则，所以，
所以当，即时，函数取最小值.
故答案为：.
例55．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是__________．
【答案】##-0.25
【解析】
【详解】
=，
所以当 时，有最大值．
故答案为.
例56．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得,令,
可得,利用二次函数的性质可求f(x)的最大值．
【详解】
解:,
令,可得,
当时,y取得最大值为,
故答案为:．
例57．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域 .
【答案】
【解析】
【分析】
运用二倍角公式及平方关系统一函数名称与角度，再配方可求解.
【详解】
因为==
，当时取得最大值，当时取得最小值，又因为， 所以的值域为.
例58．（2022秋•吉安期末）函数的值域是
A．， B． C． D．，
【解答】解：函数的定义域为，且，
即，所以是偶函数；
当时，，
所以当时，；
又为定义域上的偶函数，
所以的值域是，．
故选：．
例59．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数，则的最大值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，
令，，，则，
由对勾函数的性质可知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，时，，
所以函数的最大值为1．
故选：．
例60．（2022春•朝阳区校级月考）函数有最大值2，最小值，则等于
A．5 B．6 C．8 D．9
【解答】解：
函数的最大值为2，最小值为，
，，
．
故选：．
例61．（2022春•广安期末）设函数．
①的最小正周期为；
②的最大值为；
③在区间上单调递减；
④，都有成立；
⑤的一个对称中心为．
其中真命题有 （请填写真命题的编号）．
【解答】解：，，的最小正周期不是，即①错；
，
当，即，时，单调递增；
当，即，时，单调递减；
在区间上单调递减，故③对，
，故②错；
由单调性知，不可能是函数的对称中心，故⑤错；
令，则，
故在上为增函数，
故，即，故④对；
故答案为：③④．
例62．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则的最小值是 ．
【解答】解：由题意可得是的一个周期，
故只需考虑在，上的值域，
先来求该函数在，上的极值点，
求导数可得
，
令可解得或，
可得此时，或；
的最小值只能在点，或和边界点中取到，
计算可得，，，，
函数的最小值为，
故答案为：．
例63．求函数的最大值及最小值．
【解答】解：解析式表示过，的直线的斜率，由几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，
所以设切线得斜率为，则直线方程为，即，，解得或，
所以函数的最大值为，最小值为0．
【方法技巧与总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理.
（1），设，化为一次函数在上的最值求解.
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型.
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解.
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围.
（6）导数法
（7）权方和不等式
题型七：三角函数性质的综合
例64．（2022·天津·静海一中高三阶段练习）关于函数，有下列命题：
①函数是奇函数；
②函数的图象关于直线对称；
③函数可以表示为；
④函数的图象关于点对称
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的性质，对各个选项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对①，，函数不是奇函数，故①错误；
对②，由，所以函数图象关于直线对称，故②正确；
对③，，故③正确；
对④，由函数，所以函数的图象关于点对称，故④正确，
共有3个正确，
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角函数的性质，主要考查了三角函数的对称性，判断过程中主要用了代入验算法，属于简单题.
例65．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递减 B．当时，在上单调递增
C．当时， D．当时，的图象的对称轴方程为
【答案】D
【解析】
【分析】
当、和时，可得的最小正周期，由和可确定是的一个对称轴，由此可构造方程求得，验证可得解析式，由正弦型函数单调性和对称轴的求法可确定ABD正误；将，代入解析式，验证可知，知C错误.
【详解】
对于A，当时，的最小正周期，
，，是的一个对称轴；
即，解得：，又，，
，此时，，满足题意；
当时，，在上单调递增，A错误；
对于B，当时，的最小正周期；
，，是的一个对称轴；
即，解得：，又，，
，此时，，满足题意；
当时，，在上单调递减，B错误；
对于C，当，时，，
此时，，即，不合题意，C错误；
对于D，当时，的最小正周期，
，，是的一个对称轴，
即，解得：，又，，
，此时，，，满足题意；
令，解得：，即的对称轴方程为，D正确.
故选：D.
例66．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，现有如下说法：
①为偶函数；
②函数在上单调递增；
③，．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①，利用奇偶性的定义判断即可，对于②，先求出函数的周期，再判断函数的单调性，然后由对称性判断上的单调性即可，对于③，由函数单调性以及函数的奇偶性判断
【详解】
解：依题意，，故函数为偶函数，故①正确；
因为，所以为函数的一个周期；当时，，故，在上单调递减，即在上单调递减，由对称性和周期性可知，函数在上单调递增，故②正确；
结合②中单调性以及函数的奇偶性可知，函数的最大值为，故③错误；
故选：C．
例67．（2022·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
①利用函数奇偶性的定义判断；②③④由结合函数的对称性和周期性，作出的大致图象判断；
【详解】
由，可知为偶函数，①对.
由，得关于对称；
由，得的周期为；当时，
其中且；作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象.
由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错；
的最大值，最小值，故，③错；
若，则在上有4个零点，④对，
故选：A.
例68．（2022·山西朔州·高三期末（理））已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
先利用三角函数的性质得到，再根据已知零点得到，然后根据三角函数的性质得到关于的不等式，求解即可得到结果．
【详解】
设函数的最小正周期为，由题意可得，则，所以，
所以，则．令，则，，即，
又，所以，所以．
因为函数在上的最大值为1，且，如图.
当时，，所以，
所以．
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查根据正弦型函数的最大值求参数，解答本题的关键是，是函数的两个相邻的零点求出，再作出函数的图象，根据图象分析定义域的区间，属于中档题.
例69．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．在区间上单调递增
D．的图象关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】
A选项，可以利用函数的奇偶性定义进行判断；求出在的解析式，进而画出函数在R上的图象，从而判断出BCD选项.
【详解】
A选项，定义域为R，且
，
所以是奇函数，A错误；
当时，
画出图象，
显然的最小正周期是，B错误；
在区间上单调递增，选项C正确；
直线不是的对称轴，D错误；
故选：C．
例70．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A．的最大值为 B．2π为的一个周期
C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质，结合周期、对称的性质逐一判断即可.
【详解】
A：因为，而，
所以一定有且，当时，有，此时
，，所以本选项说法不正确；
B：因为，
所以2π为的一个周期，因此本选项说法正确；
C：因为，，
所以，因此不是曲线的对称轴，所以本选项说法不正确；
D：因为，，
所以，因此不是曲线的对称中心，所以本选项说法不正确，
故选：B
（多选题）例71．（2022·湖北·荆州中学三模）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论，其中错误的结论是（ ）
A．的一个周期是
B．是偶函数
C．在区间上单调递减
D．的最大值大于
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用函数周期性的定义可判断A选项的正误；利用和的值可判断B选项的正误；化简函数在上的解析式，可判断C选项的正误；由的值可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，
所以，函数的一个周期为，A选项正确；
对于B选项，，
，
，，
所以，函数不是偶函数，B选项错误；
对于C选项，当时，，，则，
则，所以，函数在是常函数，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：BC.
（多选题）例72．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是周期函数 B．是偶函数
C．是上的增函数 D．的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】
令，则，再分析的奇偶性、周期性与单调性，即可判断；
【详解】
解：因为，令，则，
对于A，因为是周期为的周期函数，关于轴对称，不是周期函数，
所以不是周期函数，则也不是周期函数，故A错误；
对于B，的定义域为，
且，
所以为偶函数，则，故为偶函数，故B正确；
对于C，当时，，
，所以单调递减，则单调递增，故C正确；
对于D，当时，，则
故的最小值不为，故D错误．
故选：BC．
（多选题）例73．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线为函数图象的一条对称轴
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递增
D．，
【答案】AC
【解析】
【分析】
由判断A选项的正确性，结合复合函数单调性同增异减判断BC选项的正确性，由的最大值小于来判断D选项的正确性.
【详解】
依题意，
，故A正确；
易知，故为函数的一个周期；
当时，，
故，在上单调递减，
即在上单调递减，
由对称性可知，函数在上单调递增，故B错误，C正确；
，所以为偶函数.
，
结合单调性以及函数的奇偶性可知，
函数的最大值为，故D错误．
故选：AC
（多选题）例74．（2022·全国·高三专题练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增 D．的最小值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】
由奇函数的定义即可判断A；容易验证π是函数的周期，进而判断B；
当时，用辅助角公式将函数化简，即可判断C；
先考虑时，再分和两种情况，求出函数的最小值，再根据函数的周期，即可求出函数在R上的最小值.
【详解】
因为，，所以是偶函数，A正确；显然是周期函数，
因为，所以B错误；因为当时，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，C错误；
因为
当时，设，则，
同理：当时，，
由B中解答知，是的周期，所以的最小值为1，D正确.
故选：BC.
（多选题）例75．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下列叙述正确的有（ ）
A．的周期为2π； B．是偶函数；
C．在区间上单调递减； D．x1，x2∈R，
【答案】BC
【解析】
【分析】
AB选项，可以分别研究与的奇偶性和周期性，从而判断的周期性和奇偶性；C选项，在区间上，化简整理得到，，进而得到在区间的单调性；D选项可以取特殊值代入，证明其不成立.
【详解】
是偶函数，不是周期函数，是偶函数，是周期函数，最小正周期为，故不是周期函数，A错误，B正确；当时，，因为，在次区间上单调递减，故在区间上单调递减，C正确；
当时，，，，即，D选项错误.
故选：BC
【方法技巧与总结】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
题型八：根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.
例76．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心为原点，过点的水平直线为轴建立如图直角坐标系. 已知一个半径为1.6m的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周，到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：s），且此时点距离水面的高度为（单位：m）（在水面下则为负数），则关于的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于1.6m的时长为___________s.
【答案】 10
【解析】
【分析】
根据给定信息，求出以Ox为始边，OP为终边的角，求出点P的纵坐标即可列出函数关系，再解不等式作答.
【详解】
依题意，点到x轴距离为0.8m，而，则，
从点经s运动到点所转过的角为，因此，以Ox为始边，OP为终边的角为，
点P的纵坐标为，于是得点距离水面的高度，
由得：，而，即，解得，
对于k的每个取值，，
所以关于的函数关系式为，水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于1.6m的时长为10s.
故答案为：；10
【点睛】
关键点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴.
例77．（2022·北京东城·三模）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，设，进而结合题意求解即可.
【详解】
解：根据题意设，，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为，
所以，解得，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，
所以，，解得，
因为时，，故，即，解得.
所以，
故选：B
例78．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由最大值、和，结合五点作图法可求得；根据三角函数平移变换，结合诱导公式可化简得到结果.
【详解】
由图像可知：，；
又，，又，，
，由五点作图法可知：，解得：，；
.
故选：B.
例79．（2022·河南开封·模拟预测（理））如图为函数的部分图像，将的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由周期求出，由五点法作图求出的值，可得f(x)的解析式，再利用函数的图像变换规律，得出结论.
【详解】
根据函数的部分图像，
可得∴
再根据五点法作图，可得，
∴，∴.
将函数的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，
可得得图像；
在向左平移个单位长度，
得到函数的图像，
故选：D.
例80．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的部分图像如图，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过三角函数图像的翻折可得的值，结合五点作图的思想可得和的值，进而可得结果.
【详解】
令，
由图易得，所以，
，得，
当时，由五点作图可得，
解得，，不满足，故舍去，
所以，结合得，
此时应满足，结合，解得，
故的解析式为，
故选：B.
例81．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
先依据图像求得函数的解析式，结合正弦函数的性质判断各选项的对错.
【详解】
由图象可知，即，又，
所以，
又，可得，又因为所以，
所以，故A错误；
当时，.故B错误；
当时，，故C正确；
当时，则，函数不单调递减.故D错误．
故选：C
例82．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位后，所得图像的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由图像求出，然后利用平移变换和诱导公式计算出结果.
【详解】
由题，
由图，，
所以，向左平移个单位后，
得到
故选：B.
例83．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的最小值可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，再由可求得的值，综合可得出结果.
【详解】
由图象可得，可得，
，可得，
由于函数在附近单调递减，且，，
由图象可知，函数的最小正周期满足，可得，
，则，
所以，解得，
，所以，，因此.
故选：D.
例84．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
化简可得，由函数的最大值可求得的值，由图象可得出该函数的最小正周期，可求得的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式.
【详解】
由己知，由图象可知取，
函数的最小正周期为，则，
由，得，可得，
因为，则，所以，.
故答案为：（答案不唯一）.
例85．（2022·全国·高三专题练习（文））如图是函数（，，）的图象的一部分，则函数的解析式为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由图象最高点、最低点的纵坐标可求得A的值，由最高点、最低点的横坐标求得周期T及ω的值，取特殊点可求得φ的值．
【详解】
由图象知，，，则，，
由，得.又，∴.
.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
已知函数图像求函数的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定，由适合解析式点的坐标确定，但有图像求得的的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与轴的交点）为；“第二点”（即图像曲线的最高点）为；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为；“第四点”（及图像曲线的最低点）为；“第五点”（及图像上升时与轴的交点）为.
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）
例86．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数，，且，写出一个满足条件的函数的解析式：___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由题可得，进而可得，取，即得.
【详解】
∵，，且，
∴，，
∴，，
令，，，，，
令，，.
故答案为：（答案不唯一）.
例87．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数，①函数的图象关于直线对称，②当时，函数的取值范围是，则同时满足条件①②的函数的一个解析式为________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据值域，求得A值，根据x范围，求得周期，进而可得值，根据对称轴，求得值，经检验，即可得答案.
【详解】
由题意，设，由的最小值为-2，得A=2，
若为半个周期长度，则，
则，
由①，不妨令，解得，
所以，经检验，符合①②条件，
故答案为：（答案不唯一）
例88．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值.
条件①：的最小正周期为；
条件②：；
条件③：图象的一条对称轴为.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算，再计算即可；
（2）先求出整体的范围，再结合单调性求最大值即可.
(1)
选择条件①②：
由条件①及已知得，所以.
由条件②，即，解得.
因为，所以，
所以，
经检验符合题意.
选择条件①③：
由条件①及已知得，所以．
由条件③得，
解得，因为，
所以，
所以．
若选择②③：由条件②，即，解得，
因为，所以，
由条件③得，
∴，则的解析式不唯一，不合题意.
(2)
由题意得，
化简得
因为，所以，
所以当，即时，的最大值为.
例89．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足：
①的最大值为2；②；的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据题干中的三个条件，可分别求出的值，即可求得的解析式；
（2）根据正弦函数的单调区间，整体代入求解函数在区间上的单调性及最值即可.
(1)
由条件③，得又，所以．
由条件①，得，又，所以．
由条件②，得，又，所以．
所以．
经验证，符合题意．
(2)
函数的单调递增区间为．
由，得．又因为，
所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，．
故在区间上的单调递增区间为，最小值为.
【方法技巧与总结】
根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解.
题型九：三角函数图像变换
例90．（青海省玉树州州直高中2021-2022学年高三下学期第四次大联考数学（理科）试题）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图像平移的规律，算出答案即可.
【详解】
由题意，由于函数，
观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故选：A.
例91．（2022·全国·模拟预测（文））要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】
，
因此，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.
故选：D.
例92．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过诱导公式将化为，设平移了个单位，从而得到方程，求出，得到答案.
【详解】
，
设平移了个单位，得到，
则，解得：，
即向右平移了个单位.
故选：B
【方法技巧与总结】
由函数的图像变换为函数的图像.
方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换.
的图像的图像
的图像
的图像
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知直线是函数的图像的一条对称轴，为了得到函数的图像，可把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由是函数的对称轴可得，所以再由，求得，再化为，再通过左加右减即可得解.
【详解】
依题意，直线是函数的图像的一条对称轴，
则，即，
解得，因为，所以，
所以函数．
将的图像，
向右平移个单位长度得．
故选：B．
2．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可；
【详解】
解：函数定义域为，
则，
即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；
又，故排除D；
故选：C
3．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】
【分析】
因为，讨论或，结合函数图像理解分析．
【详解】
∵，则
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯一的，使得.
综上可知，若的最大值为，则的取值最多有2个.
故选：A．
4．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
令，利用函数奇偶性计算作答.
【详解】
设，
则，即函数是奇函数，
，则，而
所以.
故选：C
5．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上单调递减
C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．函数的图象关于对称
【答案】C
【解析】
【分析】
A选项，利用三角恒等变换得到，从而求出最小正周期；B选项，整体代入检验是否是单调递减区间；C选项，利用函数平移左加右减，上加下减进行平移，求出平移后的解析式；D选项，代入检验是否是对称中心.
【详解】
，
所以函数的最小正周期是，A正确；
当时，，所以单调递减，故B正确；
函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，故C错误；
当时，，所以，
所以的图象关于中心对称，D正确.
故选：C
6．（2022·浙江·模拟预测）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知某机器工作时噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出噪音的声波曲线函数表达式，则其相反数即为听感主动降噪芯片生成的反向波曲线.
【详解】
已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，
周期为，初相为，可得，，
所以噪音的声被曲线为，
所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为：
；
故选：C．
7．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变换即可求解.
【详解】
由题图知：，又，，
解得，又，
将向左平移得.
故选：A.
8．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列为的单调区间的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，，得到周期和是函数的一条对称轴方程，进而求得函数的解析式，然后求得其单调区间判断.
【详解】
解：因为且，，
所以，，
由，得是函数的一条对称轴方程，
则，
即，取，
所以，
林，
解得，
故其单调增区间是，则减区间是，
故选：A
二、多选题
9．（2022·河北石家庄·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面米时用时25秒
【答案】BCD
【解析】
【分析】
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.
【详解】
解：由题意，角速度弧度/秒，
又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，
由，所以，
又角速度弧度/秒，时，，所以，，
所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；
将代入中，得，或，即，或．
所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．
故选：BCD．
10．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．直线为函数f(x)图像的一条对称轴
B．函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移后得到
C．函数f(x)在[－，]上单调递增
D．函数的值域为[－2，]
【答案】AD
【解析】
【分析】
由函数的对称性，利用验证可判断A； 由函数伸缩、平移变换，可判断B；将f(x)变为分段函数，求解其单调性，可判断C；将定义域转化为一个周期[－，]后，探究f(x)值域判断D．
【详解】
解：对于A：，选项A正确；
对于B：函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，得到，再向左平移后得到，选项B错误；
对于C：当时，，其中，不妨令为锐角，
当即，时，f(x)单调递增，
当，即时，f(x)单调递减，选项C错误；
对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－，]探究f(x)值域．
而函数f(x)的对称轴为：．
因此：可取区间[－，]探究f(x)值域，
当时，，其中，
即：，选项D正确．
故选：AD.
11．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）设函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．在上的最小值为0
【答案】ABC
【解析】
【分析】
AB选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，C选项，求出，由数形结合验证单调性，D选项，求出，结合求出最小值.
【详解】
当时，，所以的图象关于点对称，A正确；
当时，，所以的图象关于直线对称，B正确；
当时，，在上单调递减，故C正确；
当时，，在上的最小值为，D错误.
故选：ABC
12．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于原点对称
C．若，则
D．对，，，有成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用正弦型函数的周期公式求周期判断A，利用正弦型函数的对称性可判断B，利用正弦型函数的单调性可判断C，利用正弦型函数的值域可判断D.
【详解】
∵函数的周期，所以恒成立，
故A正确；
又，所以，，所以，
所以的图象不关于原点对称，故B错误；
当时，，所以函数在上单调递增，故C正确；
因为 ，所以，故，
，又，即，
所以对有成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________；已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减；
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由条件得函数性质后求解
【详解】
对于①，若，则的图象关于中心对称，
对于②，若，则的图象关于对称，
设，则，，
又的图象关于对称，且函数在上单调递减，
则，得
故答案为：（答案不唯一）
14．（2022·山东日照·三模）已知函数的部分图像如图所示，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据函数的周期求出的值，再根据五点法求出即得解.
【详解】
解：由知，，由五点法可知，
，即，又，所以
故答案为：
15．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【答案】17
【解析】
【分析】
利用三角函数的零点以及函数的单调性可知，，再结合函数的周期列式，即可求解.
【详解】
由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
16．（2022·北京·人大附中三模）已知函数，给出下列四个结论：
①是偶函数；
②有4个零点；
③的最小值为；
④的解集为.
其中，所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②
【解析】
【分析】
对于①：利用函数的奇偶性的定义直接判断；
对于②：令，直接解得；
对于③：利用图像法直接判断；
对于④：直接解不等式即可判断.
【详解】
对于①：因为函数的定义域为，且，所以是偶函数.故①正确；
对于②：在，令，解得：，，，.所以有4个零点.故②正确；
对于③：因为是偶函数，所以只需研究的情况. 如图示，作出（）和的图像如图所示：
在上，有，所以，即的最小值大于.故③错误；
对于④：当时，可化为：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为.故④不正确.
故答案为：①②
【点睛】
（1）函数奇偶性的判断，通常用定义法；
（2）解三角不等式（方程），利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值.
四、解答题
17．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知函数
(1)求的值；
(2)求函数在上的增区间和值域．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，值域为
【解析】
【分析】
（1）利用和差角公式化简函数解析式，再代入由诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；
（2）首先求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
(1)
解：因为，
所以
，
即，
所以
(2)
解：由（1）可得，
因为，所以，所以，则，
令，解得，即函数在上的单调递增区间为；
18．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．
(1)若，求的面积；
(2)当时，取最大值，求在上的值域.
【答案】(1)若，的面积为，
若，的面积为；
(2)
【解析】
【分析】
(1)由条件求出，由正弦定理求，利用两角和正弦公式求,再由三角形面积公式求的面积；(2)化简函数解析式，由条件求，再求在上的值域.
(1)
因为，
所以，即，
或，
由正弦定理可得,又，所以，
若则
所以，
，
当则
所以，
，
(2)
．
因为在处取得最大值，所以，
即．因为，所以，所以．
因为，所以，所以，
在上的值域为.
19．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知函数，从下面两个条件：条件①、条件②中选择一个作为已知．
(1)求时函数的值域；
(2)若函数图像向右平移m个单位长度后与函数的图像重合，求正数m的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）若选择①：根据余弦二倍角公式、诱导公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可；
若选择②：根据正弦二倍角公式、诱导公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可；
（2）若选择①：根据正弦型函数图像的变换性质进行求解即可；
若选择②：根据余弦型函数图像的变换性质进行求解即可；
(1)
若选择条件①作为已知：，
时，，
，
故函数的值域为；
若选择条件②作为已知：
时，，，
故函数的值域为；
(2)
若选择条件①作为已知：
函数图像向右平移个单位长度后，
得到函数，即的图像，
∵的图像与函数的图像重合．
∴，，即，，
当为正数时，．
若选择条件②作为已知：
函数图像向右平移个单位长度后，
得到函数，即的图像．
的图像与函数的图像重合．
∴，，即，，
当为正数时，．
20．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
(1) 根据图示，即可确定A和的值，再由周期确定，最后将点带入；即可求出答案.
(2) 先根据题意写出，再根据的取值范围求出的取值范围.即可根据的对称性求出与的值.即可求出答案.
(1)
解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
(2)
解：由已知得，
当时，，令，则，
令，则
，，，，
所以，
因为有三个不同的实数根，则，
所以，即，
所以．
21．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）设.
(1)若，求使函数为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，当，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据降幂公式，结合辅助角公式化简，再根据三角函数为偶函数时满足的条件列式求解即可；
（2）根据（1）化简可得，再结合区间的范围求解三角函数值的范围即可
(1)
因为函数为偶函数，
所以，即，
因为，所以
(2)
在（1）成立的条件下，，
因为，所以，
所以
所以
22．（2022·浙江·温州中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数关于点中心对称，求在上的值域．
【答案】(1)最小正周期为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用倍角公式化简得，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解；
（2）先写出，由关于点中心对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解.
(1)
．∴的最小正周期为，
令，∴的单调递增区间为
(2)
．
∵关于点中心对称，∴，∵，∴．
∴．当∴．
23．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数．
(1)若，当时，求证：为单调递减函数；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）若，当时，对求导，令，解不等式即可求出答案.
（2）在上恒成立转化为，
令，求在的最小值即可.
(1)
若，则，
，
因为，，
，，
，在为单调递减函数；
(2)
，即，
令，，
则，
令，
，，，单调递减，
，，单调递增，
而，，
故在恒成立，
故在恒成立，
所以在为减函数，
所以，故，
所以实数a的取值范围是．
专题19 三角函数图象与性质
【考点预测】
知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无
知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
注：正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是；
正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；
知识点三：与的图像与性质
（1）最小正周期：.
（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设.
①对于，
②对于，
（4）对称轴与对称中心.
假设.
①对于，
②对于，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
（5）单调性.
假设.
①对于，
②对于，
（6）平移与伸缩
由函数的图像变换为函数的图像的步骤；
方法一：.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形.
方法二：.先周期变换，后相位变换，再振幅变换.
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少.
【方法技巧与总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为.
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
【题型归纳目录】
题型一：五点作图法
题型二：函数的奇偶性
题型三：函数的周期性
题型四：函数的单调性
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
题型六：函数的定义域、值域（最值）
题型七：三角函数性质的综合
题型八：根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）
题型九：三角函数图像变换
【典例例题】
题型一：五点作图法
例1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，，.若，，且的最小值为，，求解下列问题.
(1)化简的表达式并求的单调递增区间；
(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求在区间上的最值.
【答案】(1)，单调递增区间为；
(2)完善表格见解析；图象见解析；最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】
（1）利用最大值点和零点可确定最小正周期，由此可求得；利用可求得，由此可得解析式；令即可求得单调递增区间；
（2）令，利用五点作图法即可完善表格并得到图象，结合图象可求得最值.
(1)
若，，即是的最大值点，是的零点，且的最小值为，设的最小正周期为，则，即，解得：.
由可得：，即有，
或，又，，
综上所述：；
令，解得：，
的单调递增区间为.
(2)
根据“五点作图法”的要求先完成表格：令.
0
由图可知：当时，取到最大值；当时，取到最小值.
例2．（2022·全国·高三专题练习）把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数的图象关于直线对称，记函数.
（1）求函数的最小正周期和单调增区间；
（2）画出函数在区间上的大致图象.
【答案】（1），单调增区间是.（2）图见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数图象的平移变换法则以及正弦函数的对称性确定的解析式，从而可得的解析式，利用降幂公式与辅助角公式化简，然后利用正弦函数的周期公式结合正弦函数的单调性即可得结果；（2）利用“五点法”：列表、描点、连线，从而可得结果.
【详解】
（1）由题意知，
根据函数的图象关于直线对称，
得，
即，
又，所以，则，
则
，
则函数的最小正周期，
令，得，
故函数的单调增区间是.
（2）列表如下：
0
0
1
2
1
1
3
2
故在区间上的大致图象是：
【点睛】
三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解
例3．（2022·广东·佛山市顺德区乐从中学高一期中）设函数（）的最小正周期为，且
(1)求和的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数在上的图象；
x
【答案】(1)，；
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）先由最小正周期求出，再由解出即可；
（2）直接填出表格画出图像即可.
(1)
由题意知：，解得，又，又，解得.
(2)
由（1）知：，列表如下
x
1
0
0
图像如图：
.
【方法技巧与总结】
(1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．
(2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．
题型二：函数的奇偶性
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数,在区间上的最大值为最小值为则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
化简,可得,令,可得奇函数,结合已知条件,即可求得答案.
【详解】
.
令
,且
为奇函数,
设其最大值为,则其最小值为,
∴函数的最大值为,最小值为
则
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了求函数在指定区间上最值问题,解题关键是掌诱导公式和奇偶性的判断方法,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
例5．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）若为偶函数，则___________.（填写符合要求的一个值）
【答案】，填写符合Z的一个即可
【解析】
【分析】
把展开化简，只要能化成的形式即为偶函数.
【详解】
，只要，就为偶函数，，
Z，填写一个即可，如.
故答案为：，填写符合Z的一个即可.
例6．（2022·四川德阳·三模（理））将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象对应函数为奇函数，则m的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题可得函数为奇函数，进而可得，即得.
【详解】
由，向左平移个单位，得到的图象，
∴函数为奇函数，
∴
所以，即，
所以的最小值是．
故答案为：.
例7．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））将函数的图像向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则正数的最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
求出f(x)平移后的解析式，根据它是偶函数可求的值.
【详解】
将函数的图像向右平移个单位变为，
要使其为偶函数，则Z，则，
∵，∴当时，为其最小值.
故答案为：.
例8．（2022·上海·模拟预测）已知函数（、为常数，R）在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数，且图象关于点对称 B．偶函数，且图象关于点对称
C．奇函数，且图象关于点对称 D．奇函数，且图象关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意先求出的最简形式，再根据三角函数性质对选项逐一判断
【详解】
，若在处取得最小值，
则，，，
，
可得函数是奇函数，且图象关于点对称．
故选：D
例9．（2022·安徽淮南·二模（理））对任意的，函数满足．若函数在区间上既有最大值又有最小值，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
结合函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】
依题意对任意的，函数满足，
，所以函数为奇函数，
，
令（），
，
所以为奇函数，
所以区间上的最大值与最小值之和为，
所以，所以函数的最大值与最小值之和.
故选：C
例10．（2022·山西太原·二模（理））已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据余弦的二倍角公式以及辅角公式，可得，在分别求出和的解析式，根据三角函数的性质，即可求出结果.
【详解】
因为
，
所以，
所以，所以为偶函数，故A错误，B正确；
又，所以函数为非奇非偶函数函数，故C、D错误.
故选：B.
【方法技巧与总结】
由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若为奇函数，则；
（2）若为偶函数，则；
（3）若为奇函数，则；
（4）若为偶函数，则；
若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数.
题型三：函数的周期性
例11．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数与直线的交点中，距离最近的两点间距离为，那么此函数的周期是___________.
【答案】且
【解析】
【分析】
利用正弦型函数的性质确定两个距离最近且的两个角，求出，进而求周期.
【详解】
根据正弦型函数的周期性，当，则：
若，最近的另一个值为，
所以，而，可得.
故此函数的最小正周期是，则函数的周期为且.
故答案为：且
例12．设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值为 ．
【解答】解：函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，
由于得到的函数的图象与原图象重合，
故，，
所以，，
当时，的最小值为3．
故答案为：3．
例13．（2022·陕西·模拟预测（文））若，则__________.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质判断的周期，利用周期性求值即可.
【详解】
，时，，
，时，，
，时，，
，时，，
，时，，
，时，，
所以，且周期为6，
则.
故答案为：0
例14．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用三角函数图象，结合奇偶性和周期性，即可得出结果.
【详解】
解：①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
但不是周期函数，排除①；
②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期是，②正确；
③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期为，③正确；
④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④.
故选：B.
例15．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设函数，若时，的最小值为，则（ ）
A．函数的周期为
B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．函数在区间上的零点个数共有6个
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件求出的最小正周期，由此判断A，根据正弦函数的图象及性质判断B，C，D.
【详解】
由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；
对于选项B：将函数的图像向左平移个单位，得到的函数是
为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；
对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
例16．（2022·安徽·高三阶段练习（理））设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意求得，再由周期公式求得，再由可得，结合，求得值，即可得解．
【详解】
由的最小正周期大于，得，
又，，得，
，则，即,
，
由，得,
，,
取，得,
，,
故选：．
例17．（2022·辽宁实验中学模拟预测）函数的最小正周期和最小值分别为（ ）
A．，1 B．， C．，1 D．，1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正余弦函数的性质及辅助角公式写出的分段形式，进而画出函数图象，即可知答案.
【详解】
由题设，，，
所以的部分图象如下：
所以最小正周期和最小值分别为，1.
故选：C
例18．（2022·山西临汾·一模（文））将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，若则的最小值为（ ）
A． B． C．π D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意求出函数，由得到分别是函数的最小值点和最大值点，进而求出答案.
【详解】
由已知，，而则分别是函数的最小值点和最大值点，而函数的周期，则的最小值为.
故选：A.
例19．（2022·山东德州·高三期末）若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数的解析式，由的最小值为函数的最小正周期的，可求得函数的最小正周期，进而可求得正数的值.
【详解】
，
所以，
因为的最小值为函数的最小正周期的，
所以，函数的最小正周期为，
因此，.
故选：A
例20.（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像.若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
应用辅助角公式化简，再由图像平移写出的解析式，结合已知及正弦型函数的周期性确定的最小值.
【详解】
由题设，，故，
要使且，则或，
∴的最小值为1个周期长度，则.
故选：B.
例21．（2022·全国·高三专题练习）函数，，若在区间，是单调函数，且，则的值为（ ）
A． B．1 C．2或 D．或2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据在区间，是单调函数，得到 ，再根据，得到函数关于对称和对称中心为，，然后分与，在同一周期和不同一周期里面相邻求解.
【详解】
解：在区间，是有单调性，且，
，
；
，
函数关于对称，
离最近对称轴的距离为；
又，
有对称中心为，；
若与，为不是同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
则，可得，
．
若与，为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心．
则，可得，
．
故选：D．
例22．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数在上单调，且，则的可能取值（ ）
A．只有1个 B．只有2个
C．只有3个 D．有无数个
【答案】C
【解析】
【分析】
设的最小正周期为T，由函数在上单调，判断出．进而计算出为的一个对称中心，为的一条对称轴.结合正弦函数的图象，分类讨论，①，②，③，分别求出的值.
【详解】
设的最小正周期为T，则由函数在上单调，可得，即．
因为，所以.
由在上单调，且，得的一个零点为，即为的一个对称中心.
因为，所以为的一条对称轴.
因为，所以有以下三种情况：
①，则；
②当时，则，符合题意；
③，则，符合题意．
因为，不可能满足其他情况.
故的可能取值只有3个．
故选：C
【方法技巧与总结】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数的周期分别为，.
（2）函数，的周期均为
（3）函数的周期均.
题型四：函数的单调性
例23．（2021•湖南模拟）函数，的部分图象如图所示，则的单调递增区间为
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：由图象知，，，
，，
过点，
，，且，
，
，
当，即时，函数单调递增，
的单调递增区间为，
的单调递增区间为．
故选：．
例24．（2022秋•梁园区校级期末）已知函数，，，若的最小值为，且，则的单调递减区间为
A． B．
C． D．
【解答】解：函数，，，
的最小值为，．
，，，
故．
令，求得，
则的单调递减区间为，，，
故选：．
例25．（2022·内蒙古呼伦贝尔·二模（文））函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先用三角恒等变换化简得到，再用整体法求解单调递减区间.
【详解】
，令解得：Z，故f（x）的单调递减区间为
故选：C
例26．（2022·新疆·二模（理））设函数，其中，，若，，则在上的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据的对称中心、零点求得，进而求得，结合三角函数单调区间的求法求得正确答案.
【详解】
据题意可以得出直线和点分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以，
即（），
所以；又由得，
即（），
，所以，所以；
由得的单调减区间为（），
所以在上的单调减区间是.
故选：C
例27．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数性质求单调区间，判断选项
【详解】
，令
解得
故选：D
例28．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
先结合图像求出，再由余弦函数的单增区间求解即可.
【详解】
由图象知，，∴，∴，，∴过点，
∴，，且，∴，∴.
令，，即，，∴的单调递增区间为，.
故选：D.
例29．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）下列直线中，函数的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的性质可得对称轴方程为且，进而判断各项是否为对称轴即可.
【详解】
令且，则对称轴方程为且，
显然时对称轴为，不存在有对称轴为、、.
故选：B.
例30．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求使成立的实数x的取值集合.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由两角差的正弦和余弦公式及降幂公式化简函数解析式为，解不等式，即可得答案；
（2）利用正弦函数的图象与性质求解不等式即可得答案.
(1)
解：因为
，
由，，解得，，
所以的单调递增区间为，；
(2)
解：由（1）知，
由，得，
所以，，
所以，，
所以x的取值集合为.
【方法技巧与总结】
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式.
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，
如由解出的范围，所得区间即为增区间；
由解出的范围，所得区间即为减区间.
若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间.
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可.
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
例31．（2022春•河南期末）已知函数的图象的一条对称轴是，则
A．1 B． C． D．
【解答】解：函数的图象的一条对称轴是，
故，
整理得：，
所以，
即，
故选：．
例32．（2022·宁夏·固原一中一模（文））将函数的图象向右平移个单位长度得到图像，则下列判断错误的是
A．函数的最小正周期是 B．图像关于直线对称
C．函数在区间上单调递减 D．图像关于点对称
【答案】C
【解析】
根据三角函数的图象平移关系求出的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．
【详解】
由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
对于,函数的最小正周期为，所以该选项是正确的；
对于，令，则为最大值，
函数图象关于直线，对称是正确的；
对于中，，则，，
则函数在区间上先减后增，不正确；
对于中，令，则，
图象关于点对称是正确的，
故选．
【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．
例33．（2022·湖南岳阳·一模）已知函数，其中，，函数的周期为，且时，取得极值，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．函数在单调递增 D．函数图象关于点对称
【答案】D
【解析】
【分析】
利用周期公式可判断A；利用极值的定义可判断B；根据极值的不确定性可对单调性进行判断；根据对称性可判断D.
【详解】
对于A，函数，其中，，
因为函数的周期为，所以，故A不正确；
对于B，时，取得极值，
所以为函数的对称轴方程，但是不能确定是取得极大值还是极小值，
所以，故B不正确；
对于C，因为不能确定是函数的极大值还是极小值，
所以无法确定函数的单调性，故C不正确；
对于D，因为为函数的对称轴方程，
则，
解得，
所以，
所以，
所以函数图象关于点对称，故D正确.
故选：D
例34．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（文））已知函数的最小正周期为，将其图象沿x轴向左平移个单位，所得图象关于直线对称，则实数m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，先对函数进行化简，根据最小正周期为，求解出，然后根据题意进行平移变换，得到平移后的解析式，再利用图象关于直线对称，建立等量关系即可求解出实数m最小值.
【详解】
解：
，
即，由其最小正周期为，即，解得，
所以，
将其图象沿轴向左平移（）个单位，所得图象对应函数为，
其图象关于对称，所以，所以 ，
由，实数的最小值为.
故选：A.
例35．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知直线和是曲线的两条对称轴，且函数在上单调递减，则的值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据两条对称轴直线方程和单调递减区间可知为最小值，然后解的值
【详解】
由在上单调递减可知 是最小值
由两条对称轴直线和可知也是对称轴且，为最小值
故
又 ，解得
故选：A
例36．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知，的最大值为，x＝m是的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角函数的性质可得，进而可得，即得.
【详解】
∵的最大值为，
∴，又，
∴，
∴，又x＝m是的一条对称轴，
∴，即，
∴的最小值为.
故选：B.
例37．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知向量，，函数的图象关于直线对称，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平面向量数量积的坐标表示得到函数的表达式，再根据，赋值，即可求出的值．
【详解】
，因为函数的图象关于直线对称，所以，令，即，解得：．
故选：C．
例38．（2022·广东·佛山市南海区桂华中学高三阶段练习）将函数（其中）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件根据函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得，，即可求出，由此求得的最小值．
【详解】
解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得，
的图象关于直线对称，
，，
，，
，的最小值为，
故选：D．
例39．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））将函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象变换，求得，结合，列出三角方程，即可求解.
【详解】
将函数的图象向右平移个单位后，
可得，
因为的图象关于直线对称，，
即，可得，解得，
又因为，所以的最小值为.
故选：A.
例40．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可知为的最大值或最小值，可建立方程求得，进而求得.
【详解】
由于函数的图象关于直线对称，所以，即，两边平方整理得，解得，则.
故选：B.
例41．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若函数的图象关于直线对称，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式得到，再根据为的对称轴，即可得到，从而求出的值，即可求出函数的最大值；
【详解】
解：因为，所以，其中，；
因为为的对称轴，，
所以，即，解得，
所以，则；
故选：C
例42．（2022·全国·高三开学考试（文））若函数对任意的x都有，则等于（ ）
A．3或0 B．或0 C．0 D．或3
【答案】D
【解析】
【分析】
是的一条对称轴，故而为的最大值或最小值．
【详解】
任意实数都有恒成立，
是的一条对称轴，当时，取得最大值3或最小值．
故选：．
【方法技巧与总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得
，即对称中心为.
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
题型六：函数的定义域、值域（最值）
例43．（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由被开方式非负，解三角不等式可得答案
【详解】
由题意，得，
则．
故选：B．
例44．（2022·全国·高三专题练习）函数()的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数解析式及x的取值范围，根据根式、对数、三角函数的性质，列不等式求定义域即可.
【详解】
由题意，得，则，即，
∴.
故选：A.
例45．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将问题转化为不等式对恒成立，令求解.
【详解】
解：因为不等式对恒成立，
所以不等式对恒成立，
令，
因为，所以，
则，
所以，
所以，解得，
所以m的最小值为，
故选：D
例46．（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.
【详解】
当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为
故选：C
例47．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A． B．3
C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
令，则，将原函数变形为，再根据的取值范围及二次函数的性质计算可得；
【详解】
解：根据题意，设，
则，
则原函数可化为，，
所以当时，函数取最大值.
故选：C.
例48．（2022·北京二中高一阶段练习）函数在上的最小值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用辅助角公式变形，再在指定区间上求最小值作答.
【详解】
函数，其中锐角由确定，
而，即有，显然在上单调递增，
所以当时，.
故答案为：
例49．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知，当时，的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据余弦、正弦的二倍角公式，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.
【详解】
，
当时，，所以，
即，
故答案为：
例50．（2022·广东·二模）若函数的最大值为1，则常数的一个取值为_____．
【答案】（答案不唯一，取，均可）
【解析】
【分析】
依题意，知与同时取到最大值1，进而可得，令可得符合题意的的值．
【详解】
函数的最大值为1，
可取与同时取到最大值1，
又时，，
时，也取到1，
，
不妨取，
此时的最大值为1，符合题意，
故常数的一个取值为，
故答案为：（不唯一）．
例51．（2022·北京·高三专题练习）设当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数解析式，根据三角函数性质求出θ，于是可求cosθ.
【详解】
，
则，
则
故答案为：.
例52．（2022·全国·高三专题练习）当时，函数取得最大值，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.
【详解】
利用辅助角公式，其中
当时，函数取得最大值，则，
所以，
所以
又，
所以
故答案为：.
例53．（2022·全国·高三专题练习）若函数的最大值为1，则常数______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】
利用两角差的正弦公式及辅助角公式将函数解析式化为的形式，由最大值为1，可建立关于参数的方程，进而得解.
【详解】
解：
（其中）
所以函数的最大值为，即
解得
又因为
所以或.
故答案为：或.
例54．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
通过换元，转化为二次函数求最小值问题.
【详解】
令，则，所以，
所以当，即时，函数取最小值.
故答案为：.
例55．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是__________．
【答案】##-0.25
【解析】
【详解】
=，
所以当 时，有最大值．
故答案为.
例56．（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得,令,
可得,利用二次函数的性质可求f(x)的最大值．
【详解】
解:,
令,可得,
当时,y取得最大值为,
故答案为:．
例57．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域 .
【答案】
【解析】
【分析】
运用二倍角公式及平方关系统一函数名称与角度，再配方可求解.
【详解】
因为==
，当时取得最大值，当时取得最小值，又因为， 所以的值域为.
例58．（2022秋•吉安期末）函数的值域是
A．， B． C． D．，
【解答】解：函数的定义域为，且，
即，所以是偶函数；
当时，，
所以当时，；
又为定义域上的偶函数，
所以的值域是，．
故选：．
例59．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数，则的最大值为
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，
令，，，则，
由对勾函数的性质可知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，时，，
所以函数的最大值为1．
故选：．
例60．（2022春•朝阳区校级月考）函数有最大值2，最小值，则等于
A．5 B．6 C．8 D．9
【解答】解：
函数的最大值为2，最小值为，
，，
．
故选：．
例61．（2022春•广安期末）设函数．
①的最小正周期为；
②的最大值为；
③在区间上单调递减；
④，都有成立；
⑤的一个对称中心为．
其中真命题有 （请填写真命题的编号）．
【解答】解：，，的最小正周期不是，即①错；
，
当，即，时，单调递增；
当，即，时，单调递减；
在区间上单调递减，故③对，
，故②错；
由单调性知，不可能是函数的对称中心，故⑤错；
令，则，
故在上为增函数，
故，即，故④对；
故答案为：③④．
例62．（2018•新课标Ⅰ）已知函数，则的最小值是 ．
【解答】解：由题意可得是的一个周期，
故只需考虑在，上的值域，
先来求该函数在，上的极值点，
求导数可得
，
令可解得或，
可得此时，或；
的最小值只能在点，或和边界点中取到，
计算可得，，，，
函数的最小值为，
故答案为：．
例63．求函数的最大值及最小值．
【解答】解：解析式表示过，的直线的斜率，由几何意义，即过定点与单位圆相切时的切线斜率为最值，
所以设切线得斜率为，则直线方程为，即，，解得或，
所以函数的最大值为，最小值为0．
【方法技巧与总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理.
（1），设，化为一次函数在上的最值求解.
（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）
（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型.
（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解.
（5）与，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.这里需要注意的是化为关于或的函数求解释务必注意或的范围.
（6）导数法
（7）权方和不等式
题型七：三角函数性质的综合
例64．（2022·天津·静海一中高三阶段练习）关于函数，有下列命题：
①函数是奇函数；
②函数的图象关于直线对称；
③函数可以表示为；
④函数的图象关于点对称
其中正确的命题的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的性质，对各个选项逐个分析判断即可得解.
【详解】
对①，，函数不是奇函数，故①错误；
对②，由，所以函数图象关于直线对称，故②正确；
对③，，故③正确；
对④，由函数，所以函数的图象关于点对称，故④正确，
共有3个正确，
故选：B.
【点睛】
本题考查了三角函数的性质，主要考查了三角函数的对称性，判断过程中主要用了代入验算法，属于简单题.
例65．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递减 B．当时，在上单调递增
C．当时， D．当时，的图象的对称轴方程为
【答案】D
【解析】
【分析】
当、和时，可得的最小正周期，由和可确定是的一个对称轴，由此可构造方程求得，验证可得解析式，由正弦型函数单调性和对称轴的求法可确定ABD正误；将，代入解析式，验证可知，知C错误.
【详解】
对于A，当时，的最小正周期，
，，是的一个对称轴；
即，解得：，又，，
，此时，，满足题意；
当时，，在上单调递增，A错误；
对于B，当时，的最小正周期；
，，是的一个对称轴；
即，解得：，又，，
，此时，，满足题意；
当时，，在上单调递减，B错误；
对于C，当，时，，
此时，，即，不合题意，C错误；
对于D，当时，的最小正周期，
，，是的一个对称轴，
即，解得：，又，，
，此时，，，满足题意；
令，解得：，即的对称轴方程为，D正确.
故选：D.
例66．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数，现有如下说法：
①为偶函数；
②函数在上单调递增；
③，．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
对于①，利用奇偶性的定义判断即可，对于②，先求出函数的周期，再判断函数的单调性，然后由对称性判断上的单调性即可，对于③，由函数单调性以及函数的奇偶性判断
【详解】
解：依题意，，故函数为偶函数，故①正确；
因为，所以为函数的一个周期；当时，，故，在上单调递减，即在上单调递减，由对称性和周期性可知，函数在上单调递增，故②正确；
结合②中单调性以及函数的奇偶性可知，函数的最大值为，故③错误；
故选：C．
例67．（2022·全国·高三专题练习）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
①利用函数奇偶性的定义判断；②③④由结合函数的对称性和周期性，作出的大致图象判断；
【详解】
由，可知为偶函数，①对.
由，得关于对称；
由，得的周期为；当时，
其中且；作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象.
由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错；
的最大值，最小值，故，③错；
若，则在上有4个零点，④对，
故选：A.
例68．（2022·山西朔州·高三期末（理））已知，是函数（，）相邻的两个零点，若函数在上的最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
先利用三角函数的性质得到，再根据已知零点得到，然后根据三角函数的性质得到关于的不等式，求解即可得到结果．
【详解】
设函数的最小正周期为，由题意可得，则，所以，
所以，则．令，则，，即，
又，所以，所以．
因为函数在上的最大值为1，且，如图.
当时，，所以，
所以．
故选：C
【点睛】
关键点睛：本题考查根据正弦型函数的最大值求参数，解答本题的关键是，是函数的两个相邻的零点求出，再作出函数的图象，根据图象分析定义域的区间，属于中档题.
例69．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的最小正周期是
C．在区间上单调递增
D．的图象关于直线对称
【答案】C
【解析】
【分析】
A选项，可以利用函数的奇偶性定义进行判断；求出在的解析式，进而画出函数在R上的图象，从而判断出BCD选项.
【详解】
A选项，定义域为R，且
，
所以是奇函数，A错误；
当时，
画出图象，
显然的最小正周期是，B错误；
在区间上单调递增，选项C正确；
直线不是的对称轴，D错误；
故选：C．
例70．（2022·江苏·扬州中学模拟预测）声音是由物体振动产生的波，每一个音都是由纯音合成的.已知纯音的数学模型是函数.我们平常听到的乐音是许多音的结合，称为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则（ ）
A．的最大值为 B．2π为的一个周期
C．为曲线的对称轴 D．为曲线的对称中心
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦函数的性质，结合周期、对称的性质逐一判断即可.
【详解】
A：因为，而，
所以一定有且，当时，有，此时
，，所以本选项说法不正确；
B：因为，
所以2π为的一个周期，因此本选项说法正确；
C：因为，，
所以，因此不是曲线的对称轴，所以本选项说法不正确；
D：因为，，
所以，因此不是曲线的对称中心，所以本选项说法不正确，
故选：B
（多选题）例71．（2022·湖北·荆州中学三模）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论，其中错误的结论是（ ）
A．的一个周期是
B．是偶函数
C．在区间上单调递减
D．的最大值大于
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用函数周期性的定义可判断A选项的正误；利用和的值可判断B选项的正误；化简函数在上的解析式，可判断C选项的正误；由的值可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，，
所以，函数的一个周期为，A选项正确；
对于B选项，，
，
，，
所以，函数不是偶函数，B选项错误；
对于C选项，当时，，，则，
则，所以，函数在是常函数，C选项错误；
对于D选项，，D选项正确.
故选：BC.
（多选题）例72．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是周期函数 B．是偶函数
C．是上的增函数 D．的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】
令，则，再分析的奇偶性、周期性与单调性，即可判断；
【详解】
解：因为，令，则，
对于A，因为是周期为的周期函数，关于轴对称，不是周期函数，
所以不是周期函数，则也不是周期函数，故A错误；
对于B，的定义域为，
且，
所以为偶函数，则，故为偶函数，故B正确；
对于C，当时，，
，所以单调递减，则单调递增，故C正确；
对于D，当时，，则
故的最小值不为，故D错误．
故选：BC．
（多选题）例73．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）．
A．直线为函数图象的一条对称轴
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递增
D．，
【答案】AC
【解析】
【分析】
由判断A选项的正确性，结合复合函数单调性同增异减判断BC选项的正确性，由的最大值小于来判断D选项的正确性.
【详解】
依题意，
，故A正确；
易知，故为函数的一个周期；
当时，，
故，在上单调递减，
即在上单调递减，
由对称性可知，函数在上单调递增，故B错误，C正确；
，所以为偶函数.
，
结合单调性以及函数的奇偶性可知，
函数的最大值为，故D错误．
故选：AC
（多选题）例74．（2022·全国·高三专题练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论不正确的是（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增 D．的最小值为1
【答案】BC
【解析】
【分析】
由奇函数的定义即可判断A；容易验证π是函数的周期，进而判断B；
当时，用辅助角公式将函数化简，即可判断C；
先考虑时，再分和两种情况，求出函数的最小值，再根据函数的周期，即可求出函数在R上的最小值.
【详解】
因为，，所以是偶函数，A正确；显然是周期函数，
因为，所以B错误；因为当时，
所以在区间上单调递增，在上单调递减，C错误；
因为
当时，设，则，
同理：当时，，
由B中解答知，是的周期，所以的最小值为1，D正确.
故选：BC.
（多选题）例75．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下列叙述正确的有（ ）
A．的周期为2π； B．是偶函数；
C．在区间上单调递减； D．x1，x2∈R，
【答案】BC
【解析】
【分析】
AB选项，可以分别研究与的奇偶性和周期性，从而判断的周期性和奇偶性；C选项，在区间上，化简整理得到，，进而得到在区间的单调性；D选项可以取特殊值代入，证明其不成立.
【详解】
是偶函数，不是周期函数，是偶函数，是周期函数，最小正周期为，故不是周期函数，A错误，B正确；当时，，因为，在次区间上单调递减，故在区间上单调递减，C正确；
当时，，，，即，D选项错误.
故选：BC
【方法技巧与总结】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
题型八：根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式.
例76．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.
如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心为原点，过点的水平直线为轴建立如图直角坐标系. 已知一个半径为1.6m的筒车按逆时针方向每30s匀速旋转一周，到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：s），且此时点距离水面的高度为（单位：m）（在水面下则为负数），则关于的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于1.6m的时长为___________s.
【答案】 10
【解析】
【分析】
根据给定信息，求出以Ox为始边，OP为终边的角，求出点P的纵坐标即可列出函数关系，再解不等式作答.
【详解】
依题意，点到x轴距离为0.8m，而，则，
从点经s运动到点所转过的角为，因此，以Ox为始边，OP为终边的角为，
点P的纵坐标为，于是得点距离水面的高度，
由得：，而，即，解得，
对于k的每个取值，，
所以关于的函数关系式为，水轮转动的任意一圈内，点距水面的高度不低于1.6m的时长为10s.
故答案为：；10
【点睛】
关键点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴.
例77．（2022·北京东城·三模）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，设，进而结合题意求解即可.
【详解】
解：根据题意设，，
因为某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，
所以，该摩天轮最低点距离地面高度为，
所以，解得，
因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，
所以，，解得，
因为时，，故，即，解得.
所以，
故选：B
例78．（2022·山东潍坊·模拟预测）函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由最大值、和，结合五点作图法可求得；根据三角函数平移变换，结合诱导公式可化简得到结果.
【详解】
由图像可知：，；
又，，又，，
，由五点作图法可知：，解得：，；
.
故选：B.
例79．（2022·河南开封·模拟预测（理））如图为函数的部分图像，将的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由周期求出，由五点法作图求出的值，可得f(x)的解析式，再利用函数的图像变换规律，得出结论.
【详解】
根据函数的部分图像，
可得∴
再根据五点法作图，可得，
∴，∴.
将函数的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，
可得得图像；
在向左平移个单位长度，
得到函数的图像，
故选：D.
例80．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的部分图像如图，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过三角函数图像的翻折可得的值，结合五点作图的思想可得和的值，进而可得结果.
【详解】
令，
由图易得，所以，
，得，
当时，由五点作图可得，
解得，，不满足，故舍去，
所以，结合得，
此时应满足，结合，解得，
故的解析式为，
故选：B.
例81．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该图象对应的函数解析式为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在区间上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
先依据图像求得函数的解析式，结合正弦函数的性质判断各选项的对错.
【详解】
由图象可知，即，又，
所以，
又，可得，又因为所以，
所以，故A错误；
当时，.故B错误；
当时，，故C正确；
当时，则，函数不单调递减.故D错误．
故选：C
例82．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，则将的图像向左平移个单位后，所得图像的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由图像求出，然后利用平移变换和诱导公式计算出结果.
【详解】
由题，
由图，，
所以，向左平移个单位后，
得到
故选：B.
例83．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的最小值可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，再由可求得的值，综合可得出结果.
【详解】
由图象可得，可得，
，可得，
由于函数在附近单调递减，且，，
由图象可知，函数的最小正周期满足，可得，
，则，
所以，解得，
，所以，，因此.
故选：D.
例84．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知函数的部分图象如图所示，则的解析式为___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
化简可得，由函数的最大值可求得的值，由图象可得出该函数的最小正周期，可求得的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式.
【详解】
由己知，由图象可知取，
函数的最小正周期为，则，
由，得，可得，
因为，则，所以，.
故答案为：（答案不唯一）.
例85．（2022·全国·高三专题练习（文））如图是函数（，，）的图象的一部分，则函数的解析式为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由图象最高点、最低点的纵坐标可求得A的值，由最高点、最低点的横坐标求得周期T及ω的值，取特殊点可求得φ的值．
【详解】
由图象知，，，则，，
由，得.又，∴.
.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
已知函数图像求函数的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定，由适合解析式点的坐标确定，但有图像求得的的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式，可以求得相关特定系数，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：“第一点”（及图像上升时与轴的交点）为；“第二点”（即图像曲线的最高点）为；“第三点”（及图像下降时与轴的交点），为；“第四点”（及图像曲线的最低点）为；“第五点”（及图像上升时与轴的交点）为.
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即的值的确定）
例86．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数，，且，写出一个满足条件的函数的解析式：___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由题可得，进而可得，取，即得.
【详解】
∵，，且，
∴，，
∴，，
令，，，，，
令，，.
故答案为：（答案不唯一）.
例87．（2022·辽宁抚顺·一模）已知函数，①函数的图象关于直线对称，②当时，函数的取值范围是，则同时满足条件①②的函数的一个解析式为________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据值域，求得A值，根据x范围，求得周期，进而可得值，根据对称轴，求得值，经检验，即可得答案.
【详解】
由题意，设，由的最小值为-2，得A=2，
若为半个周期长度，则，
则，
由①，不妨令，解得，
所以，经检验，符合①②条件，
故答案为：（答案不唯一）
例88．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定.
(1)求的解析式；
(2)设函数，求在区间上的最大值.
条件①：的最小正周期为；
条件②：；
条件③：图象的一条对称轴为.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算，再计算即可；
（2）先求出整体的范围，再结合单调性求最大值即可.
(1)
选择条件①②：
由条件①及已知得，所以.
由条件②，即，解得.
因为，所以，
所以，
经检验符合题意.
选择条件①③：
由条件①及已知得，所以．
由条件③得，
解得，因为，
所以，
所以．
若选择②③：由条件②，即，解得，
因为，所以，
由条件③得，
∴，则的解析式不唯一，不合题意.
(2)
由题意得，
化简得
因为，所以，
所以当，即时，的最大值为.
例89．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数满足：
①的最大值为2；②；的最小正周期为．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的单调递增区间与最小值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据题干中的三个条件，可分别求出的值，即可求得的解析式；
（2）根据正弦函数的单调区间，整体代入求解函数在区间上的单调性及最值即可.
(1)
由条件③，得又，所以．
由条件①，得，又，所以．
由条件②，得，又，所以．
所以．
经验证，符合题意．
(2)
函数的单调递增区间为．
由，得．又因为，
所以在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以，
所以当，即时，取得最小值，．
故在区间上的单调递增区间为，最小值为.
【方法技巧与总结】
根据函数必关于轴对称，在三角函数中联想到的模型，从图象、对称轴、对称中心、最值点或单调性来求解.
题型九：三角函数图像变换
例90．（青海省玉树州州直高中2021-2022学年高三下学期第四次大联考数学（理科）试题）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图像平移的规律，算出答案即可.
【详解】
由题意，由于函数，
观察发现可由函数向左平移个单位长度，得到函数的图象，
故选：A.
例91．（2022·全国·模拟预测（文））要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】
，
因此，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度.
故选：D.
例92．（2022·新疆克拉玛依·三模（理））为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过诱导公式将化为，设平移了个单位，从而得到方程，求出，得到答案.
【详解】
，
设平移了个单位，得到，
则，解得：，
即向右平移了个单位.
故选：B
【方法技巧与总结】
由函数的图像变换为函数的图像.
方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换.
的图像的图像
的图像
的图像
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））已知直线是函数的图像的一条对称轴，为了得到函数的图像，可把函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由是函数的对称轴可得，所以再由，求得，再化为，再通过左加右减即可得解.
【详解】
依题意，直线是函数的图像的一条对称轴，
则，即，
解得，因为，所以，
所以函数．
将的图像，
向右平移个单位长度得．
故选：B．
2．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可；
【详解】
解：函数定义域为，
则，
即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B；
又，故排除D；
故选：C
3．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】
【分析】
因为，讨论或，结合函数图像理解分析．
【详解】
∵，则
若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯一的，使得.
综上可知，若的最大值为，则的取值最多有2个.
故选：A．
4．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数，若，则（ ）
A． B．2 C．5 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
令，利用函数奇偶性计算作答.
【详解】
设，
则，即函数是奇函数，
，则，而
所以.
故选：C
5．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上单调递减
C．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．函数的图象关于对称
【答案】C
【解析】
【分析】
A选项，利用三角恒等变换得到，从而求出最小正周期；B选项，整体代入检验是否是单调递减区间；C选项，利用函数平移左加右减，上加下减进行平移，求出平移后的解析式；D选项，代入检验是否是对称中心.
【详解】
，
所以函数的最小正周期是，A正确；
当时，，所以单调递减，故B正确；
函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，故C错误；
当时，，所以，
所以的图象关于中心对称，D正确.
故选：C
6．（2022·浙江·模拟预测）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）．已知某机器工作时噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出噪音的声波曲线函数表达式，则其相反数即为听感主动降噪芯片生成的反向波曲线.
【详解】
已知噪音的声波曲线（其中）的振幅为2，
周期为，初相为，可得，，
所以噪音的声被曲线为，
所以通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为：
；
故选：C．
7．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））如图是函数的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】
先由图像求得，再由辅助角公式化简，最后由三角函数的平移变换即可求解.
【详解】
由题图知：，又，，
解得，又，
将向左平移得.
故选：A.
8．（2022·安徽蚌埠·模拟预测（理））阻尼器是一种以提供运动的阻力，耗减运动能量，从而达到减振效果的专业工程装置.如图，是被称为“镇楼神器”的我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移S（cm）与时间t（s）的函数关系式为，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列为的单调区间的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，，得到周期和是函数的一条对称轴方程，进而求得函数的解析式，然后求得其单调区间判断.
【详解】
解：因为且，，
所以，，
由，得是函数的一条对称轴方程，
则，
即，取，
所以，
林，
解得，
故其单调增区间是，则减区间是，
故选：A
二、多选题
9．（2022·河北石家庄·模拟预测）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则（ ）
A．点P再次进入水中时用时30秒
B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点
C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米
D．点P第二次到达距水面米时用时25秒
【答案】BCD
【解析】
【分析】
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点P距离水面的高度，逐一分析各选项即可求解.
【详解】
解：由题意，角速度弧度/秒，
又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米，可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A错误；
当水轮转动50秒时，半径转动了弧度，而，点P正好处于最低点，故B正确；
以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，设点P距离水面的高度，
由，所以，
又角速度弧度/秒，时，，所以，，
所以点P距离水面的高度，当水轮转动150秒时，将代入，得，点P距离水面2米，故C正确；
将代入中，得，或，即，或．
所以点P第二次到达距水面米时用时25秒，故D正确．
故选：BCD．
10．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．直线为函数f(x)图像的一条对称轴
B．函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移后得到
C．函数f(x)在[－，]上单调递增
D．函数的值域为[－2，]
【答案】AD
【解析】
【分析】
由函数的对称性，利用验证可判断A； 由函数伸缩、平移变换，可判断B；将f(x)变为分段函数，求解其单调性，可判断C；将定义域转化为一个周期[－，]后，探究f(x)值域判断D．
【详解】
解：对于A：，选项A正确；
对于B：函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，得到，再向左平移后得到，选项B错误；
对于C：当时，，其中，不妨令为锐角，
当即，时，f(x)单调递增，
当，即时，f(x)单调递减，选项C错误；
对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－，]探究f(x)值域．
而函数f(x)的对称轴为：．
因此：可取区间[－，]探究f(x)值域，
当时，，其中，
即：，选项D正确．
故选：AD.
11．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）设函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．在上的最小值为0
【答案】ABC
【解析】
【分析】
AB选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，C选项，求出，由数形结合验证单调性，D选项，求出，结合求出最小值.
【详解】
当时，，所以的图象关于点对称，A正确；
当时，，所以的图象关于直线对称，B正确；
当时，，在上单调递减，故C正确；
当时，，在上的最小值为，D错误.
故选：ABC
12．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图象关于原点对称
C．若，则
D．对，，，有成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用正弦型函数的周期公式求周期判断A，利用正弦型函数的对称性可判断B，利用正弦型函数的单调性可判断C，利用正弦型函数的值域可判断D.
【详解】
∵函数的周期，所以恒成立，
故A正确；
又，所以，，所以，
所以的图象不关于原点对称，故B错误；
当时，，所以函数在上单调递增，故C正确；
因为 ，所以，故，
，又，即，
所以对有成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）写出一个同时具有下列性质①②③的函数___________；已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减；
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由条件得函数性质后求解
【详解】
对于①，若，则的图象关于中心对称，
对于②，若，则的图象关于对称，
设，则，，
又的图象关于对称，且函数在上单调递减，
则，得
故答案为：（答案不唯一）
14．（2022·山东日照·三模）已知函数的部分图像如图所示，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据函数的周期求出的值，再根据五点法求出即得解.
【详解】
解：由知，，由五点法可知，
，即，又，所以
故答案为：
15．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【答案】17
【解析】
【分析】
利用三角函数的零点以及函数的单调性可知，，再结合函数的周期列式，即可求解.
【详解】
由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
16．（2022·北京·人大附中三模）已知函数，给出下列四个结论：
①是偶函数；
②有4个零点；
③的最小值为；
④的解集为.
其中，所有正确结论的序号为___________.
【答案】①②
【解析】
【分析】
对于①：利用函数的奇偶性的定义直接判断；
对于②：令，直接解得；
对于③：利用图像法直接判断；
对于④：直接解不等式即可判断.
【详解】
对于①：因为函数的定义域为，且，所以是偶函数.故①正确；
对于②：在，令，解得：，，，.所以有4个零点.故②正确；
对于③：因为是偶函数，所以只需研究的情况. 如图示，作出（）和的图像如图所示：
在上，有，所以，即的最小值大于.故③错误；
对于④：当时，可化为：
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：的解集为.故④不正确.
故答案为：①②
【点睛】
（1）函数奇偶性的判断，通常用定义法；
（2）解三角不等式（方程），利用三角函数的单调性和特殊角的三角函数值.
四、解答题
17．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）已知函数
(1)求的值；
(2)求函数在上的增区间和值域．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，值域为
【解析】
【分析】
（1）利用和差角公式化简函数解析式，再代入由诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得；
（2）首先求出的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
(1)
解：因为，
所以
，
即，
所以
(2)
解：由（1）可得，
因为，所以，所以，则，
令，解得，即函数在上的单调递增区间为；
18．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，函数．
(1)若，求的面积；
(2)当时，取最大值，求在上的值域.
【答案】(1)若，的面积为，
若，的面积为；
(2)
【解析】
【分析】
(1)由条件求出，由正弦定理求，利用两角和正弦公式求,再由三角形面积公式求的面积；(2)化简函数解析式，由条件求，再求在上的值域.
(1)
因为，
所以，即，
或，
由正弦定理可得,又，所以，
若则
所以，
，
当则
所以，
，
(2)
．
因为在处取得最大值，所以，
即．因为，所以，所以．
因为，所以，所以，
在上的值域为.
19．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知函数，从下面两个条件：条件①、条件②中选择一个作为已知．
(1)求时函数的值域；
(2)若函数图像向右平移m个单位长度后与函数的图像重合，求正数m的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）若选择①：根据余弦二倍角公式、诱导公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可；
若选择②：根据正弦二倍角公式、诱导公式，结合余弦型函数的最值性质进行求解即可；
（2）若选择①：根据正弦型函数图像的变换性质进行求解即可；
若选择②：根据余弦型函数图像的变换性质进行求解即可；
(1)
若选择条件①作为已知：，
时，，
，
故函数的值域为；
若选择条件②作为已知：
时，，，
故函数的值域为；
(2)
若选择条件①作为已知：
函数图像向右平移个单位长度后，
得到函数，即的图像，
∵的图像与函数的图像重合．
∴，，即，，
当为正数时，．
若选择条件②作为已知：
函数图像向右平移个单位长度后，
得到函数，即的图像．
的图像与函数的图像重合．
∴，，即，，
当为正数时，．
20．（2022·重庆八中模拟预测）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
(1) 根据图示，即可确定A和的值，再由周期确定，最后将点带入；即可求出答案.
(2) 先根据题意写出，再根据的取值范围求出的取值范围.即可根据的对称性求出与的值.即可求出答案.
(1)
解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
(2)
解：由已知得，
当时，，令，则，
令，则
，，，，
所以，
因为有三个不同的实数根，则，
所以，即，
所以．
21．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）设.
(1)若，求使函数为偶函数；
(2)在（1）成立的条件下，当，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据降幂公式，结合辅助角公式化简，再根据三角函数为偶函数时满足的条件列式求解即可；
（2）根据（1）化简可得，再结合区间的范围求解三角函数值的范围即可
(1)
因为函数为偶函数，
所以，即，
因为，所以
(2)
在（1）成立的条件下，，
因为，所以，
所以
所以
22．（2022·浙江·温州中学模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数关于点中心对称，求在上的值域．
【答案】(1)最小正周期为，
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用倍角公式化简得，结合正弦函数的单调区间及最小正周期即可求解；
（2）先写出，由关于点中心对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解.
(1)
．∴的最小正周期为，
令，∴的单调递增区间为
(2)
．
∵关于点中心对称，∴，∵，∴．
∴．当∴．
23．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数．
(1)若，当时，求证：为单调递减函数；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）若，当时，对求导，令，解不等式即可求出答案.
（2）在上恒成立转化为，
令，求在的最小值即可.
(1)
若，则，
，
因为，，
，，
，在为单调递减函数；
(2)
，即，
令，，
则，
令，
，，，单调递减，
，，单调递增，
而，，
故在恒成立，
故在恒成立，
所以在为减函数，
所以，故，
所以实数a的取值范围是．
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