还剩61页未读，
继续阅读
专题13 ω的取值范围与最值问题 （解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳
展开
这是一份专题13 ω的取值范围与最值问题 （解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳，共64页。教案主要包含了考点预测，方法技巧与总结，题型归纳目录，典例例题，过关测试等内容，欢迎下载使用。
专题13 ω 的取值范围与最值问题
【考点预测】
1.在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2.在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3. 在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4. 已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5.已知单调区间，则.
【方法技巧与总结】
解决ω的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住ω的大致范围.
【题型归纳目录】
题型一：零点问题
题型二：单调问题
题型三：最值问题
题型四：极值问题
题型五：对称性
题型六：性质的综合问题
【典例例题】
题型一：零点问题
例1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案.
【详解】
因为函数，在上没有零点，所以
，所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，因为，所以或，
当时，；
当时，，
又因为，所以的取值范围是：.
故选：C.
例2．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，，由已知条件可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.
【详解】
因为，当时，，
因为函数在上有且仅有个零点，
则，解得.
故选：B.
例3．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简为，再根据题意得出，求解即可.
【详解】
解：由，
得，即.
设，
即在有且仅有6个实数根，
因为，
故只需，
解得，
故选：D．
例4．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质即可得结果.
【详解】
根据题意，函数，
若，即，必有，
令，则，
设，
则函数和在区间内有4个交点，
又由于，必有，
即的取值范围是，
故选：B.
例5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题知在上有且只有5个零点，进而得，再结合正弦函数的图像可知，解不等式即可得答案.
【详解】
解：因为，
令，即，
所以，在上有且只有5个零点，
因为，所以，
所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，
则，即，
所以实数的范围是.
故选：C
例6．（2022·广东·三模）已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的范围，然后由余弦函数性质得不等关系，求得参数范围．
【详解】
因为，当时，，
因为函数在上有且只有3个零点，
由余弦函数性质可知，解得.
故选：D．
例7．（2022·江西赣州·一模（文））已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：
①在区间上有且仅有2条对称轴；
②在区间上单调递增；
③的取值范围是.
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
对于③，令，得，可知，求得；
对于①，利用的对称轴为可判断；对于②，利用利用的增区间为可判断；
【详解】
对于③，，，令，得，
由函数在区间上有且仅有2个不同的零点，即取得0，，
所以，解得，故③正确；
对于①，当，，
由，知，
令，由于值不确定，所以不一定取到，故①错误；
对于②，当时，，
由，知
即，即在区间上单调递增，故②正确；
所以正确的个数为2个.
故选：C
例8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】
，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，
，令，解得：；或要满足②，，
令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C
【点睛】
三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.
例9．（2022·山西·一模（文））已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，将问题转化成函数在上恰有3个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.
【详解】
函数在上恰有3个零点，，则
，求得：.
故选：D.
例10．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（文））已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由方程，解得，得到的可能取值，根据题意得到，即可求解.
【详解】
由方程，可得，
所以，
当时，，
所以的可能取值为，，，，，，…，
因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，
解得，即的取值范围是.
故选：D.
例11．（2022·陕西渭南·一模（理））若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可.
【详解】
，
，
即，
，即，
，，
设，则在上有实数根，
，在的图像有交点，如图
由于
由图象可知， ，即
故答案为：
题型二：单调问题
例12．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得周期，进而求出，再求出的单调区间，即可求出.
【详解】
因为相邻两个对称轴之间的距离2π，
则，即，则，则，
由，得，
所以在上是增函数，由得.
故选：B.
例13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，的零点到轴的最近距离小于，且在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由为的一个零点，结合单调性得出，再由，得出的取值范围.
【详解】
设的最小正周期为，依题意为的一个零点，且在上单调递增，所以，所以，因为的零点到轴的最近距离小于，所以，化简得，即的取值范围是.
故选：D
例14．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数在上是减函数，由，求解.
【详解】
解：因为函数在上是减函数，
所以，，，
解得，
所以，
解得，又，
所以，
所以的取值范围是.
故选：A
例15．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先借助辅助角公式得到，再由正弦函数的单减区间解出的范围即可.
【详解】
由题意得，函数，令，
即.因为函数在区间上单调递减，则且，且，
解得，且，又，所以.
故选：C.
例16．（2022·陕西榆林·三模（理））已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得，，进而可得，，即得.
【详解】
由，得，
则，
解得．
又，
∴，
故，即．
由，得，
则，解得，
因为，
故，即，
综上所述，的取值范围为．
故选：A.
例17．（2022·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象变换关系求出的解析式，利用函数的单调性建立不等式进行求解即可．
【详解】
解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
即，若在上单调递减，
则的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的单调递减区间为，，
若在上单调递减，则，，
即，，当时，，即的取值范围是.
故选：D．
例18．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上单调递增知，，
所以，
故选：C
例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设，函数，，若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【详解】
当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
若在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，令，
当时，，
当时，，，
结合图象可得时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，当时，函数与的图象有三个交点，满足题意，
故选：B.
例20．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.
【详解】
因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
题型三：最值问题
例21．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据求出，根据f(x)在上的值域是可知，据此即可求出ω的范围.
【详解】
，，则，
要使f(x)在上的值域是，
则.
故选：C.
例22．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
运用换元法，结合正弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
令，因为，所以，
问题转化为函数在时恰有两个最小值点，
所以有，因为，所以，
故选：A
例23．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由求得的范围，再根据函数的直接结合正弦函数的性质列出不等式，从而可得出答案.
【详解】
解：当时，，
因为函数在区间上的值域为，
所以，解得.
故选：.
例24．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可确定，结合，从而确定
，解得答案.
【详解】
由的值域为,可得，
由可得，所以，
解得，所以a的取值范围是，
故选:C
例25．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.
【详解】
当时，即时，函数有最小值，
令时，有，，，，
因为函数在内恰有两个最小值点，，
所以有：，
故选：B
【点睛】
关键点睛：根据正弦型函数的最值的性质进行求解是解题的关键.
例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.
【详解】
至少存在两个不相等的实数，使得，
当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；
当，即时，，
，；
当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.
例27．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校模拟预测（文））已知函数，若函数的图象在区间上的最高点和最低点共有个，下列说法正确的是___________.
①在上有且仅有个零点；
②在上有且仅有个极大值点；
③的取值范围是；
④在上为单递增函数.
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可化简得到，令，则，利用正弦函数图象可确定的范围，由此确定③正确；结合图象可知①②的正误；根据知④错误.
【详解】
，
当时，，
令，则在上的最高点和最低点共有个，
由图象可知：需满足：，解得：，③正确；
当时，有且仅有个零点，即在上有且仅有个零点，①错误；
当时，有且仅有个极大值点，②正确；
当时，，则，
在上有增有减，④错误.
故答案为：②③.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦型函数图象与性质的相关应用，解题关键是能够将看做一个整体，采用换元法研究的图象，通过所需满足的范围确定范围及的性质.
例28．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
考察第2、3个正最值点的位置可解.
【详解】
易知时不满足题意，
由Z，得Z，
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故；
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故.
综上，的取值范围是.
故答案为：
题型四：极值问题
例29．（2022·全国·高三专题练习）若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.
【详解】
因为在上单调，所以，则，由此可得.
因为当，即时，函数取得极值，
欲满足在上存在极值点，因为周期，故在上有且只有一个极值，
故第一个极值点，得，又第二个极值点，
要使在上单调，必须，得.
综上可得，的取值范围是.
故选：C
【点睛】
思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得，即可.
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（ ）
A．（0，5] B．（0，5）
C．（0，） D．（0，]
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数求解，将问题转化为
或在区间上恒成立，然后利用正弦函数的图象求解即可.
【详解】
由已知条件得，
∵函数在区间上无极值，
∴函数在区间上单调，
∴或在区间上恒成立，
当时，，
∵，∴，在此范围内不成立；
当时，，
∵，∴，即，解得，
则的取值范围是，
故选：.
例31．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数在区间不存在极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意区间夹在相邻的两条对称轴之间，列式即可求解
【详解】
，函数在区间上不存在极值点，
，且对任意的都成立，
，且，
，且，
或．
故选：D．
例32．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知偶函数（，）在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数，根据偶函数的性质结合的取值范围，求解的值，最后化简得到，再根据函数在上恰有2个极大值，代入，即可求解的取值范围.
【详解】
解：，
因为，则，故，
又函数为偶函数，故，解得，
故，
因为函数在上恰有2个极大值，故当时，，
即.
故选：D.
题型五：对称性
例33．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有3个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】
解：，
令，，则，，
函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：C.
例34．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到，进而求得结果.
【详解】
当时，，
函数在内有且仅有三条对称轴，则有，
解得，
故选：B.
题型六：性质的综合问题
例35．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
（多选题）例36．（2022·广东韶关·二模）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若 ，且 的最小值为，则ω=2
C．若在[0， ]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]
D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先化简的解析式；由三角函数的图像变换判断选项A；由，可得是函数的最大、小值点，从而可判断B；由在上单调递增，则，可判断选项C；设，即在仅有3个零点，可判断选项D.
【详解】
函数
选项A：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确；
选项B：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确；
选项C：若在上单调递增，则，所以，C错误；
选项D：设，当时，
若在仅有3个零点，即在仅有3个零点
则，所以，D正确，
故选：ABD．
（多选题）例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，则下列判断中，错误的是（ ）
A．若，，且，则
B．存在，使得的图像右移个单位长度后得到的图像关于轴对称
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为
D．若在上单调递增，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式及诱导公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可；
【详解】
解：，周期．
对于A：由条件知，周期为，，故A错误；
对于B：函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，，故对任意整数，，故B错误；
对于C：由，所以，所以，解得，故C不正确；
对于D：因为，所以，所以， ，故D正确．
故选：ABC．
例38．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.
【详解】
如下图，作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，
因为，则，，
结合有且，解得．
故答案为：
例39．（2022·湖南永州·三模）已知函数，若在内单调且有一个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知，确定范围，再由正弦型三角函数图像的性质得到，进而化简求解.
【详解】
在内单调且，可得，，解得，
又∵，∴，
又 在上恰有一个零点，所以，
∴且，解之得.
故答案为：
例40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由在上恰有两个零点，令，，可得，令，，可得f(x)在上单调递增，从而有，联立求解即可得答案.
【详解】
解：由题意，令，，得x＝，，
∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，
∴，解得，
令，，
∴，，
令k＝0，f(x)在上单调递增，
∴，
∴，解得，
综上，ω的取值范围是.
故答案为：.
例41．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，满足函数是奇函数，且当取最小值时，函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角函数的奇偶性求得，再根据余弦型函数的单调性即可求得参数范围.
【详解】
因为函数，满足函数是奇函数，
且当取最小值时，，．
函数在区间和上均单调递增，
，求得，则实数的范围为，
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件确定的范围，求解不等式作答.
【详解】
由得，而当，时，，
又，函数在内有且仅有两个零点，
于是得，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
，，应该是本身f(x)减区间的子集.
【详解】
∵，∴，
函数在上单调递减，
周期解得，故，
的减区间满足：，
取，且解之得.
故答案为：.
故选：C.
3．（2021·安徽·铜陵一中高三阶段练习（文））已知函数，若方程在上有且只有五个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
辅助角公式化简后解方程，由第五个正根小于，第六个正根大于等于可得.
【详解】
由，得：或，即，或，
易知由小到大第5、6个正根分别为，.
因为方程在上有且只有五个实数根，
所以有且，解得.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.
【详解】
由函数，
令，则
函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，
即，，故③正确；
对于①，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期，由，则，，
又，所以的最小正周期可能是，故②正确；
对于④，，，又，
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
【点睛】
方法点睛：函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴，由求对称中心.
(4)由求增区间；由求减区间.
5．（2021·山东省潍坊第四中学高三开学考试）函数在有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在不存在，使得
B．函数在仅有1个最大值点
C．函数在上单调进增
D．实数的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】
可根据题意作出函数的大致图像，可判断B错；根据函数有三个零点，可判断函数一定能取到最大和最小值，由此可判断A的正误；判断D时，可求出y轴右侧的四个零点，根据题意列出相应的不等式组，求得的范围，进而判断出D的正误，由此求出的范围，判断函数的单调性，可知C的正误.
【详解】
对于A,在上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期 ，
所以在上存在 ，且 ，使得，故A错误；
由图象可知，函数在可能有两个最大值，故B错误;
对于选项D,令 ，
则函数的零点为 ,
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是： ，
函数在有且仅有3个零点，
所以 ，解得 ，故D正确；
由对选项D的分析可知，的最小值为 ，
当 时， ，
但不是的子集，
所以函数在上不是单调进增的，故C错，
故选：D.
6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知函数，若，，则（ ）
A．点不可能是的一个对称中心
B．在上单调递减
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的周期性可得，再根据函数的最值求出，从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：，的周期.
依题意可得，，则，即，
又，所以，
所以，所以点是的一个对称中心，A错误；
当时，B错误；当时，取最小值，C错误，D正确；
故选：D.
7．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，由对称性可得为最小值，即可求出的最小值.
【详解】
∵，∴．又，∴．
当时，函数取到最小值，此时，．解得，．
所以当时，.
故选：C．
8．（2022·陕西西安·二模（理））已知函数，若函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由表示T，再由 是的一个单调区间，确定T的范围，从而得到范围，再逐一验证.
【详解】
解：由题意得：，
所以，，
又，
所以，
因为在上单调，
所以，则，
所以，即，解得，
所以，
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，则，
所以，
若，则，
因为在上不单调，不符合题意；
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，无解；
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，则，
所以，
若，则，
因为在上不单调，不符合题意；
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，则，
所以，
若，则，
因为在上不单调，不符合题意；
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，则，
所以，
若，则，
因为在上单调，符合题意；
所以的最大值为6，
故选：B
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）设函数，且函数在上是单调的，则下列说法正确是（ ）
A．若是奇函数，则的最大值为3
B．若，则的最大值为
C．若恒成立，则的最大值为2
D．若的图象关于点中心对称，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
若是奇函数，则，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断A；，可求出，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断B；恒成立，可求出，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断C；的图象关于点中心对称，可求出，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断D.
【详解】
对于A，若是奇函数，则，当时，．要使函数在上是单调的，则，
∴，又，则的最大值为1，故A错误．
对于B，∵，∴，或，．
∵，∴，
此时，当时，．要使函数在上是单调的，则，∴，
又，∴，则的最大值为，故B正确．
对于C，∵恒成立，∴．
∵，∴，此时．
∵，∴，要使函数在上是单调的，则，∴．
又，∴，则的最大值为2，故C正确．
对于D，的图象关于点中心对称，
则，，则，．
∵，∴，此时．
当时，．
要使函数在上是单调的，则，∴．
又，∴，则的最大值为，故D正确．
故选：BCD．
10．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）若函数在区间内没有最值，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期可能为
B．的取值范围是
C．当取最大值时，是函数的一条对称轴
D．当取最大值时，是函数的一个对称中心
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意可知的第一个正最值点小于等于，第二个正最值点大于等于，或第一个正最值点大于等于可得的取值范围，然后根据的范围可解.
【详解】
由，得
因为在区间内没有最值
所以，所以在区间内最多有一个最值
所以，或
解得或
所以B错误；
当时，
所以，故A正确；
因为，
可知是函数的一条对称轴，故C正确；
又由，可知D错误.
故选：AC
11．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知函数，下面结论正确的是（ ）
A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则
B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在上恰有6个零点，则的取值范围是
D．若，则在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A选项由即可求出；B选项先平移得到，由即可求解；C选项求出整体的范围，再由6个零点得到不等式求解；D选项求出整体的范围，再由单调递增得到不等式求解.
【详解】
，
对于A，，∴，，错误；
对于B，平移后关于原点对称，则，在时，，正确；
对于C，，，，正确；
对于D，，，，∵，∴，正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【答案】17
【解析】
【分析】
利用三角函数的零点以及函数的单调性可知，，再结合函数的周期列式，即可求解.
【详解】
由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
13．（2022·江西上饶·二模（理））已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
【答案】4或10##10或4
【解析】
【分析】
根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.
【详解】
∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
当时，，
y＝sinx图像如图：
要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；
区间的长度为：，
当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
14．（2021·上海松江·一模）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简，由可得，得到即可求解.
【详解】
，且，
，
,
,
故答案为：
15．（2021·全国·高三专题练习）已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．
【详解】
依题意，当时，y有最小值，即，
则，所以.
因为在区间上有最小值，无最大值，所以，
即，令，得.
故答案为：
16．（2022·河北张家口·高三期末）已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由结合的取值范围可求得的值，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的范围即可得解.
【详解】
因为，又，所以，所以，，
当且时，，
因为在区间上单调递减，则，
即，即，
因为，则，则且，故，从而，
因此，的最大值为.
故答案为：.
17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值是______ .
【答案】9
【解析】
【分析】
先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值．
【详解】
解：函数，，为的零点，为图象的对称轴，
，，且，，
相减可得，，即，即为奇数．
在单调，
（1）若在单调递增，
则，且，，
即①，且，②，
把①②可得：，，故有奇数的最大值为9．
当时，，，，．
此时在单调递减，不满足题意．
当时，，，，，
此时在不单调，不满足题意；
故此时无解．
（2）若在单调递减，
则，且，，
即③，且，④，
把③④可得：，，故有奇数的最大值为9．
当时，，，，．
此时在单调递减，满足题意．
故的最大值为9．
故答案为：9．
18．（2021·福建·莆田二中高三期中）函数，的图象过点，且在上单调递增，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据求得，然后根据函数的单调性列不等式，由此求得的最大值.
【详解】
依题意，
由于，所以.
所以.
当时，，在上单调递增.
所以.
由，化简得，
由于在上单调递增，
所以，，由于，故时，，的最大值为.
故答案为：
19．（2021·上海·复旦附中高三阶段练习）已知函数在内有且仅有1个最大值点和3个零点，则的取值范围是___________；
【答案】
【解析】
【分析】
先化简函数式，然后根据的范围求出的范围，在在内有且仅有1个最大值点和3个零点，再利用正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：，
当，则，
在内有且仅有1个最大值点和3个零点，
，
解得，即，
故答案为：．
20．（2022·上海市建平中学高三期中）已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是__.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案.
【详解】
解：函数
∵在区间内没有零点，
∴，即
∴①或②，
解①得，即，由于，故，即
解②得，即，由于，故，即，
综上可得的取值范围是
故答案为：
21．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题设得，根据区间内没有极值点，应用整体代入法列不等式得或且，即可求的范围.
【详解】
，
∴上，没有极值点，
∴或，
∴或，而且得：，
∴，或.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：应用三角恒等变换化简函数式，由区间内不存在极值点列不等式组求参数范围.
专题13 ω 的取值范围与最值问题
【考点预测】
1.在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2.在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3. 在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4. 已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5.已知单调区间，则.
【方法技巧与总结】
解决ω的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住ω的大致范围.
【题型归纳目录】
题型一：零点问题
题型二：单调问题
题型三：最值问题
题型四：极值问题
题型五：对称性
题型六：性质的综合问题
【典例例题】
题型一：零点问题
例1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案.
【详解】
因为函数，在上没有零点，所以
，所以，
即，
因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，因为，所以或，
当时，；
当时，，
又因为，所以的取值范围是：.
故选：C.
例2．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
当时，，由已知条件可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.
【详解】
因为，当时，，
因为函数在上有且仅有个零点，
则，解得.
故选：B.
例3．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简为，再根据题意得出，求解即可.
【详解】
解：由，
得，即.
设，
即在有且仅有6个实数根，
因为，
故只需，
解得，
故选：D．
例4．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质即可得结果.
【详解】
根据题意，函数，
若，即，必有，
令，则，
设，
则函数和在区间内有4个交点，
又由于，必有，
即的取值范围是，
故选：B.
例5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题知在上有且只有5个零点，进而得，再结合正弦函数的图像可知，解不等式即可得答案.
【详解】
解：因为，
令，即，
所以，在上有且只有5个零点，
因为，所以，
所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，
则，即，
所以实数的范围是.
故选：C
例6．（2022·广东·三模）已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）
【答案】D
【解析】
【分析】
求出的范围，然后由余弦函数性质得不等关系，求得参数范围．
【详解】
因为，当时，，
因为函数在上有且只有3个零点，
由余弦函数性质可知，解得.
故选：D．
例7．（2022·江西赣州·一模（文））已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：
①在区间上有且仅有2条对称轴；
②在区间上单调递增；
③的取值范围是.
其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
对于③，令，得，可知，求得；
对于①，利用的对称轴为可判断；对于②，利用利用的增区间为可判断；
【详解】
对于③，，，令，得，
由函数在区间上有且仅有2个不同的零点，即取得0，，
所以，解得，故③正确；
对于①，当，，
由，知，
令，由于值不确定，所以不一定取到，故①错误；
对于②，当时，，
由，知
即，即在区间上单调递增，故②正确；
所以正确的个数为2个.
故选：C
例8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.
【详解】
，，其中，解得：，
则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，
，令，解得：；或要满足②，，
令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，
综上：的取值范围是.
故选：C
【点睛】
三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.
例9．（2022·山西·一模（文））已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，将问题转化成函数在上恰有3个零点，根据正弦函数的性质，即可求出结果.
【详解】
函数在上恰有3个零点，，则
，求得：.
故选：D.
例10．（2022·山西·太原五中高三阶段练习（文））已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由方程，解得，得到的可能取值，根据题意得到，即可求解.
【详解】
由方程，可得，
所以，
当时，，
所以的可能取值为，，，，，，…，
因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，
解得，即的取值范围是.
故选：D.
例11．（2022·陕西渭南·一模（理））若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可.
【详解】
，
，
即，
，即，
，，
设，则在上有实数根，
，在的图像有交点，如图
由于
由图象可知， ，即
故答案为：
题型二：单调问题
例12．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得周期，进而求出，再求出的单调区间，即可求出.
【详解】
因为相邻两个对称轴之间的距离2π，
则，即，则，则，
由，得，
所以在上是增函数，由得.
故选：B.
例13．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，的零点到轴的最近距离小于，且在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由为的一个零点，结合单调性得出，再由，得出的取值范围.
【详解】
设的最小正周期为，依题意为的一个零点，且在上单调递增，所以，所以，因为的零点到轴的最近距离小于，所以，化简得，即的取值范围是.
故选：D
例14．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数在上是减函数，由，求解.
【详解】
解：因为函数在上是减函数，
所以，，，
解得，
所以，
解得，又，
所以，
所以的取值范围是.
故选：A
例15．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先借助辅助角公式得到，再由正弦函数的单减区间解出的范围即可.
【详解】
由题意得，函数，令，
即.因为函数在区间上单调递减，则且，且，
解得，且，又，所以.
故选：C.
例16．（2022·陕西榆林·三模（理））已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题可得，，进而可得，，即得.
【详解】
由，得，
则，
解得．
又，
∴，
故，即．
由，得，
则，解得，
因为，
故，即，
综上所述，的取值范围为．
故选：A.
例17．（2022·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象变换关系求出的解析式，利用函数的单调性建立不等式进行求解即可．
【详解】
解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
即，若在上单调递减，
则的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的单调递减区间为，，
若在上单调递减，则，，
即，，当时，，即的取值范围是.
故选：D．
例18．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上单调递增知，，
所以，
故选：C
例19．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）设，函数，，若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据在上单调递增，结合正弦函数的单调性可得，从而可求得在上单调递增这个条件的范围，再根据函数与的图象有三个交点，则在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，从而可得第二个条件下的的范围，取交集即可得出答案，注意说明时，函数与的图象只有一个交点.
【详解】
当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
若在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，令，
当时，，
当时，，，
结合图象可得时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，当时，函数与的图象有三个交点，满足题意，
故选：B.
例20．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
转化为在区间内单调递增，根据正切函数的单调区间求出的单调递增区间，再根据区间是的单调递增区间的子集列式可求出结果.
【详解】
因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，
所以，，
所以，，
由得，由得，
所以且，
所以或，
当时，，又，所以，
当时，.
综上所述：.
故选：C.
题型三：最值问题
例21．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据求出，根据f(x)在上的值域是可知，据此即可求出ω的范围.
【详解】
，，则，
要使f(x)在上的值域是，
则.
故选：C.
例22．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
运用换元法，结合正弦函数的性质进行求解即可.
【详解】
令，因为，所以，
问题转化为函数在时恰有两个最小值点，
所以有，因为，所以，
故选：A
例23．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由求得的范围，再根据函数的直接结合正弦函数的性质列出不等式，从而可得出答案.
【详解】
解：当时，，
因为函数在区间上的值域为，
所以，解得.
故选：.
例24．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可确定，结合，从而确定
，解得答案.
【详解】
由的值域为,可得，
由可得，所以，
解得，所以a的取值范围是，
故选:C
例25．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.
【详解】
当时，即时，函数有最小值，
令时，有，，，，
因为函数在内恰有两个最小值点，，
所以有：，
故选：B
【点睛】
关键点睛：根据正弦型函数的最值的性质进行求解是解题的关键.
例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，若至少存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
当时，易知必满足题意；当时，根据可得，由最大值点的个数可构造不等式组，结合确定具体范围.
【详解】
至少存在两个不相等的实数，使得，
当，即时，必存在两个不相等的实数满足题意；
当，即时，，
，；
当时，解集为，不合题意；令，则；令，则；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据正弦型函数最值点的个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方式，根据的范围所需满足的条件来构造不等式组，解不等式组求得结果.
例27．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校模拟预测（文））已知函数，若函数的图象在区间上的最高点和最低点共有个，下列说法正确的是___________.
①在上有且仅有个零点；
②在上有且仅有个极大值点；
③的取值范围是；
④在上为单递增函数.
【答案】②③
【解析】
【分析】
利用辅助角公式可化简得到，令，则，利用正弦函数图象可确定的范围，由此确定③正确；结合图象可知①②的正误；根据知④错误.
【详解】
，
当时，，
令，则在上的最高点和最低点共有个，
由图象可知：需满足：，解得：，③正确；
当时，有且仅有个零点，即在上有且仅有个零点，①错误；
当时，有且仅有个极大值点，②正确；
当时，，则，
在上有增有减，④错误.
故答案为：②③.
【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦型函数图象与性质的相关应用，解题关键是能够将看做一个整体，采用换元法研究的图象，通过所需满足的范围确定范围及的性质.
例28．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
考察第2、3个正最值点的位置可解.
【详解】
易知时不满足题意，
由Z，得Z，
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故；
当时，第2个正最值点，解得，
第3个正最值点，解得，故.
综上，的取值范围是.
故答案为：
题型四：极值问题
例29．（2022·全国·高三专题练习）若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.
【详解】
因为在上单调，所以，则，由此可得.
因为当，即时，函数取得极值，
欲满足在上存在极值点，因为周期，故在上有且只有一个极值，
故第一个极值点，得，又第二个极值点，
要使在上单调，必须，得.
综上可得，的取值范围是.
故选：C
【点睛】
思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得，即可.
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（ ）
A．（0，5] B．（0，5）
C．（0，） D．（0，]
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数求解，将问题转化为
或在区间上恒成立，然后利用正弦函数的图象求解即可.
【详解】
由已知条件得，
∵函数在区间上无极值，
∴函数在区间上单调，
∴或在区间上恒成立，
当时，，
∵，∴，在此范围内不成立；
当时，，
∵，∴，即，解得，
则的取值范围是，
故选：.
例31．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知函数在区间不存在极值点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意区间夹在相邻的两条对称轴之间，列式即可求解
【详解】
，函数在区间上不存在极值点，
，且对任意的都成立，
，且，
，且，
或．
故选：D．
例32．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知偶函数（，）在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简函数，根据偶函数的性质结合的取值范围，求解的值，最后化简得到，再根据函数在上恰有2个极大值，代入，即可求解的取值范围.
【详解】
解：，
因为，则，故，
又函数为偶函数，故，解得，
故，
因为函数在上恰有2个极大值，故当时，，
即.
故选：D.
题型五：对称性
例33．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（理））已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有3个整数k符合，解不等式即得解.
【详解】
解：，
令，，则，，
函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，
，得，则，
即，∴.
故选：C.
例34．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到，进而求得结果.
【详解】
当时，，
函数在内有且仅有三条对称轴，则有，
解得，
故选：B.
题型六：性质的综合问题
例35．（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
（多选题）例36．（2022·广东韶关·二模）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
B．若 ，且 的最小值为，则ω=2
C．若在[0， ]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]
D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先化简的解析式；由三角函数的图像变换判断选项A；由，可得是函数的最大、小值点，从而可判断B；由在上单调递增，则，可判断选项C；设，即在仅有3个零点，可判断选项D.
【详解】
函数
选项A：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确；
选项B：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确；
选项C：若在上单调递增，则，所以，C错误；
选项D：设，当时，
若在仅有3个零点，即在仅有3个零点
则，所以，D正确，
故选：ABD．
（多选题）例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，则下列判断中，错误的是（ ）
A．若，，且，则
B．存在，使得的图像右移个单位长度后得到的图像关于轴对称
C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为
D．若在上单调递增，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
首先利用二倍角公式及诱导公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可；
【详解】
解：，周期．
对于A：由条件知，周期为，，故A错误；
对于B：函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，，故对任意整数，，故B错误；
对于C：由，所以，所以，解得，故C不正确；
对于D：因为，所以，所以， ，故D正确．
故选：ABC．
例38．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.
【详解】
如下图，作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，
因为，则，，
结合有且，解得．
故答案为：
例39．（2022·湖南永州·三模）已知函数，若在内单调且有一个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知，确定范围，再由正弦型三角函数图像的性质得到，进而化简求解.
【详解】
在内单调且，可得，，解得，
又∵，∴，
又 在上恰有一个零点，所以，
∴且，解之得.
故答案为：
例40．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由在上恰有两个零点，令，，可得，令，，可得f(x)在上单调递增，从而有，联立求解即可得答案.
【详解】
解：由题意，令，，得x＝，，
∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，
∴，解得，
令，，
∴，，
令k＝0，f(x)在上单调递增，
∴，
∴，解得，
综上，ω的取值范围是.
故答案为：.
例41．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数，满足函数是奇函数，且当取最小值时，函数在区间和上均单调递增，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角函数的奇偶性求得，再根据余弦型函数的单调性即可求得参数范围.
【详解】
因为函数，满足函数是奇函数，
且当取最小值时，，．
函数在区间和上均单调递增，
，求得，则实数的范围为，
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据给定条件确定的范围，求解不等式作答.
【详解】
由得，而当，时，，
又，函数在内有且仅有两个零点，
于是得，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
，，应该是本身f(x)减区间的子集.
【详解】
∵，∴，
函数在上单调递减，
周期解得，故，
的减区间满足：，
取，且解之得.
故答案为：.
故选：C.
3．（2021·安徽·铜陵一中高三阶段练习（文））已知函数，若方程在上有且只有五个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
辅助角公式化简后解方程，由第五个正根小于，第六个正根大于等于可得.
【详解】
由，得：或，即，或，
易知由小到大第5、6个正根分别为，.
因为方程在上有且只有五个实数根，
所以有且，解得.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：
①在区间上有且仅有3个不同的零点；
②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；
④在区间上单调递增．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.
【详解】
由函数，
令，则
函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，
即，，故③正确；
对于①，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期，由，则，，
又，所以的最小正周期可能是，故②正确；
对于④，，，又，
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．
故正确结论的序号是：②③
故选：B
【点睛】
方法点睛：函数的性质：
(1) .
(2)周期
(3)由 求对称轴，由求对称中心.
(4)由求增区间；由求减区间.
5．（2021·山东省潍坊第四中学高三开学考试）函数在有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（ ）
A．在不存在，使得
B．函数在仅有1个最大值点
C．函数在上单调进增
D．实数的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】
可根据题意作出函数的大致图像，可判断B错；根据函数有三个零点，可判断函数一定能取到最大和最小值，由此可判断A的正误；判断D时，可求出y轴右侧的四个零点，根据题意列出相应的不等式组，求得的范围，进而判断出D的正误，由此求出的范围，判断函数的单调性，可知C的正误.
【详解】
对于A,在上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期 ，
所以在上存在 ，且 ，使得，故A错误；
由图象可知，函数在可能有两个最大值，故B错误;
对于选项D,令 ，
则函数的零点为 ,
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是： ，
函数在有且仅有3个零点，
所以 ，解得 ，故D正确；
由对选项D的分析可知，的最小值为 ，
当 时， ，
但不是的子集，
所以函数在上不是单调进增的，故C错，
故选：D.
6．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知函数，若，，则（ ）
A．点不可能是的一个对称中心
B．在上单调递减
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的周期性可得，再根据函数的最值求出，从而得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：，的周期.
依题意可得，，则，即，
又，所以，
所以，所以点是的一个对称中心，A错误；
当时，B错误；当时，取最小值，C错误，D正确；
故选：D.
7．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数，，函数在上有且仅有一个极小值但没有极大值，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，由对称性可得为最小值，即可求出的最小值.
【详解】
∵，∴．又，∴．
当时，函数取到最小值，此时，．解得，．
所以当时，.
故选：C．
8．（2022·陕西西安·二模（理））已知函数，若函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由表示T，再由 是的一个单调区间，确定T的范围，从而得到范围，再逐一验证.
【详解】
解：由题意得：，
所以，，
又，
所以，
因为在上单调，
所以，则，
所以，即，解得，
所以，
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，则，
所以，
若，则，
因为在上不单调，不符合题意；
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，无解；
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，则，
所以，
若，则，
因为在上不单调，不符合题意；
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，则，
所以，
若，则，
因为在上不单调，不符合题意；
当时， ，
因为函数的一个零点为，
所以，
则，即，
因为，则，
所以，
若，则，
因为在上单调，符合题意；
所以的最大值为6，
故选：B
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）设函数，且函数在上是单调的，则下列说法正确是（ ）
A．若是奇函数，则的最大值为3
B．若，则的最大值为
C．若恒成立，则的最大值为2
D．若的图象关于点中心对称，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
若是奇函数，则，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断A；，可求出，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断B；恒成立，可求出，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断C；的图象关于点中心对称，可求出，要使函数在上是单调的，则，求出的范围，即可判断D.
【详解】
对于A，若是奇函数，则，当时，．要使函数在上是单调的，则，
∴，又，则的最大值为1，故A错误．
对于B，∵，∴，或，．
∵，∴，
此时，当时，．要使函数在上是单调的，则，∴，
又，∴，则的最大值为，故B正确．
对于C，∵恒成立，∴．
∵，∴，此时．
∵，∴，要使函数在上是单调的，则，∴．
又，∴，则的最大值为2，故C正确．
对于D，的图象关于点中心对称，
则，，则，．
∵，∴，此时．
当时，．
要使函数在上是单调的，则，∴．
又，∴，则的最大值为，故D正确．
故选：BCD．
10．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）若函数在区间内没有最值，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期可能为
B．的取值范围是
C．当取最大值时，是函数的一条对称轴
D．当取最大值时，是函数的一个对称中心
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据题意可知的第一个正最值点小于等于，第二个正最值点大于等于，或第一个正最值点大于等于可得的取值范围，然后根据的范围可解.
【详解】
由，得
因为在区间内没有最值
所以，所以在区间内最多有一个最值
所以，或
解得或
所以B错误；
当时，
所以，故A正确；
因为，
可知是函数的一条对称轴，故C正确；
又由，可知D错误.
故选：AC
11．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知函数，下面结论正确的是（ ）
A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则
B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称
C．若在上恰有6个零点，则的取值范围是
D．若，则在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A选项由即可求出；B选项先平移得到，由即可求解；C选项求出整体的范围，再由6个零点得到不等式求解；D选项求出整体的范围，再由单调递增得到不等式求解.
【详解】
，
对于A，，∴，，错误；
对于B，平移后关于原点对称，则，在时，，正确；
对于C，，，，正确；
对于D，，，，∵，∴，正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【答案】17
【解析】
【分析】
利用三角函数的零点以及函数的单调性可知，，再结合函数的周期列式，即可求解.
【详解】
由，且在上有最大值，没有最小值，可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，又，当时，，则的最大值为17，,
故答案为：17
13．（2022·江西上饶·二模（理））已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．
【答案】4或10##10或4
【解析】
【分析】
根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值.
【详解】
∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
当时，，
y＝sinx图像如图：
要使在区间上有最小值无最大值，则：
或，
此时ω＝4或10满足条件；
区间的长度为：，
当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.
14．（2021·上海松江·一模）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
化简，由可得，得到即可求解.
【详解】
，且，
，
,
,
故答案为：
15．（2021·全国·高三专题练习）已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值．
【详解】
依题意，当时，y有最小值，即，
则，所以.
因为在区间上有最小值，无最大值，所以，
即，令，得.
故答案为：
16．（2022·河北张家口·高三期末）已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由结合的取值范围可求得的值，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的范围即可得解.
【详解】
因为，又，所以，所以，，
当且时，，
因为在区间上单调递减，则，
即，即，
因为，则，则且，故，从而，
因此，的最大值为.
故答案为：.
17．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值是______ .
【答案】9
【解析】
【分析】
先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值．
【详解】
解：函数，，为的零点，为图象的对称轴，
，，且，，
相减可得，，即，即为奇数．
在单调，
（1）若在单调递增，
则，且，，
即①，且，②，
把①②可得：，，故有奇数的最大值为9．
当时，，，，．
此时在单调递减，不满足题意．
当时，，，，，
此时在不单调，不满足题意；
故此时无解．
（2）若在单调递减，
则，且，，
即③，且，④，
把③④可得：，，故有奇数的最大值为9．
当时，，，，．
此时在单调递减，满足题意．
故的最大值为9．
故答案为：9．
18．（2021·福建·莆田二中高三期中）函数，的图象过点，且在上单调递增，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据求得，然后根据函数的单调性列不等式，由此求得的最大值.
【详解】
依题意，
由于，所以.
所以.
当时，，在上单调递增.
所以.
由，化简得，
由于在上单调递增，
所以，，由于，故时，，的最大值为.
故答案为：
19．（2021·上海·复旦附中高三阶段练习）已知函数在内有且仅有1个最大值点和3个零点，则的取值范围是___________；
【答案】
【解析】
【分析】
先化简函数式，然后根据的范围求出的范围，在在内有且仅有1个最大值点和3个零点，再利用正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】
解：，
当，则，
在内有且仅有1个最大值点和3个零点，
，
解得，即，
故答案为：．
20．（2022·上海市建平中学高三期中）已知函数，若在区间内没有零点，则ω的取值范围是__.
【答案】
【解析】
【分析】
由三角恒等变换得，进而根据题意得，再分别解不等式即可得答案.
【详解】
解：函数
∵在区间内没有零点，
∴，即
∴①或②，
解①得，即，由于，故，即
解②得，即，由于，故，即，
综上可得的取值范围是
故答案为：
21．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数，若在区间内没有极值点，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题设得，根据区间内没有极值点，应用整体代入法列不等式得或且，即可求的范围.
【详解】
，
∴上，没有极值点，
∴或，
∴或，而且得：，
∴，或.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：应用三角恒等变换化简函数式，由区间内不存在极值点列不等式组求参数范围.
相关教案
备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题13-w的取值范围与最值问题： 这是一份备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题13-w的取值范围与最值问题，文件包含2024新高考二轮重难点专题13ω的取值范围与最值问题原卷版docx、2024新高考二轮重难点专题13ω的取值范围与最值问题解析版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共22页， 欢迎下载使用。
专题19 三角函数图象与性质 （解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳： 这是一份专题19 三角函数图象与性质 （解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳，共113页。教案主要包含了考点预测，方法技巧与总结，题型归纳目录，典例例题，过关测试等内容，欢迎下载使用。
专题15 三角形中的范围与最值问题（解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳： 这是一份专题15 三角形中的范围与最值问题（解析版）-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳，共132页。教案主要包含了方法技巧与总结，题型归纳目录，典例例题等内容，欢迎下载使用。
