2023湖南省高三上学期10月联考数学试题含答案

高三数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时.将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则A∩B=

A.(-∞，1]       B.[0，]        C.(-，1]       D.[1，)

2.已知复数，则|z|=

A.      B.2       C.        D.3

3.已知命题p：x∈(0，+∞)，.下列说法正确的是

A.p为真命题，：x∈(0，+∞)，

B.p为假命题，：∈(0，+∞)，

C.p为真命题，：∈(0，+∞)，

D.p为假命题，：(0.+∞)，

4.已知，则

A.      B.       C.        D.

5.已知向量=(1，2)，=(m，2-m)，若⊥，则

A.        B.        C.        D.

6.根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好的通风环境下时，室内甲醛浓度y(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：周)近似满足函数关系式

，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6)

A.5周        B.6周        C.7周        D.8周

7.已知定义在R上的奇函数在(一∞，0)上单调递减，定义在R上的偶函数在(-∞，0]上单调递增.且f(1)=g(1)=0，则满足的x的取值范围是

A.(-∞，-1)∪(-1，0)       B.(0，1)∪(1，+∞)        C.(-1，0)∪(1，+∞)       D.(-∞，-1)∪(1，1)

8.已知为递增数列，前n项和，则实数λ的取值范围是

A.(-∞，2]       B.(-∞，2)        C.(-∞，4]       D.(-∞，4)

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.的一个充分不必要条件可以是

A.a=-1       B.a=b        C.b=1       D.ab=1

10，将数列中的所有项排成如下数阵：

已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数a1，a2，a3，...成等差数列，且a2=4，a10=10.从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以为公比的等比数列，则

A.a1=1      B.位于第84列       C.       D.

11.设函数，则下列结论正确的是

A.若，则

B.存在∈(0，1)，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

C.若在[0，π]上有且仅有4个零点，则的取值范围为

D.∈(0，1)，在上单调递增

12.已知定义在R上的函数满足：f(2)=2，，.当时，.则

A.f(1)=1       B.       C.        D.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若s，则_________.

14.已知函数的零点恰好是的极值点，则m=_________.

15.数学中处处存在着美，机械学家菜洛发现的菜洛三角形就给人以对称的美感.如图，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画四弧得到的.已知AB=2，点P为上一点，则的最小值为___________.

16.在四边形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=3，则四边形ABCD面积的最大值为___________.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.

17.(10分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.

(1)求A；

(2)若c<b，b+c=a，求sinC.

18.(12分)

冬奥会全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.2022年冬季奥运会由中国北京承办，本届赛事共设7个大项，15个分项，109个小项，共计产生109枚金牌.某校组织了一次有关冬奥会的知识竞赛.知识竞赛试卷中有一类双项选择题，每题有4个备选项，其中有且仅有2项是正确的.得分规则如下：所选选项中，只要有错误选项，得0分；弃答得1分；仅选1项且正确，得2分；选2项且正确得6分.

(1)同学甲在一道双项选择题中随机选择两个选项，求甲该题获得0分的概率.

(2)学生乙对其中一道双项选择题只能确定1个选项是错误的，现有2个策略：①从剩下3个选项中任选1个作答；②从剩下3个选项中任选2个作答.为使得分的期望最大，该学生应该选择哪一个策略?

19.(12分)

已知数列满足a|=1，az=9，as=45，{an+1-3an}为等比数列.

(1)证明：是等差数列，并求出的通项公式.

(2)求的前n项和为Sn.

20.(12分)

如图，点E在△ABC内，DE是三棱锥D-ABC的高，且DE=2.△ABC是边长为6的正三角形，DB=DC=5，F为BC的中点.

(1)证明：点E在AF上.

(2)点G是棱AC上一点(不含端点)，求平面DEG与平面BCD夹角余弦值的最大值.

21.(12分)

已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F(4，0)到渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的方程.

(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点P，使得点F到直线PA，PB的距离相等?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

22.(12分)

已知函数.

(1)当a=1时，求曲线在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若在(0，+∞)上恒成立，求整数a的最小值.

高三数学试卷参考答案

1.C  [解析]本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力.

因为A=(-∞，1]，B=(-，)，所以A∩B=(-，1].

2.A  [解析]本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.

，则.

3.C  [解析]本题考查命题的真假以及命题的否定，考查逻辑推理的核心素养.

当x=2时，，当x=3时，，故p为真命题，又存在量词命题的否定为全称量词命题.故选C.

4.D  [解析]本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.

.

5.D  [解析]本题考查平面向量，考查运算求解能力.

由⊥，得，则m=4，所以.

6.A [解析]本题考查指数、对数的运算，考查数学建模的核心素养.

依题意可知当t=0时，y=6.05，即0.05+=6.05，=6，所以，

由，得，解得t≥ln120=3ln2+ln3+lIn5≈4.8，至少需要放置的时间为5周.

7.B  [解析]本题考查函数的奇偶性，考查逻辑推理的核心素养.

因为定义在R上的奇函数在(一∞，0)上单调递减，且f(1)=0，所以在(0，+∞)上也是单调递减，且f(-1)=0，f(0)=0，因为定义在R上的偶函数g(x)在(-∞，0]上单调递增，且g(1)=0，所以g(x)在[0，+∞)上是单调递减，且g(-1)=0.所以x∈(0，1)∪(1，+∞)满足.

8.D  [解析]本题考查数列的单调性，考查运算求解能力.

当n=1时，a1=S1=4+a，当n≥2时，，则可知当n≥2时，单调递增，故为递增数列只需满足，即8>4+λ，解得λ<4，则实数λ的取值范围是(-∞，4).

9.AC  [解析]本题考查充分必要条件，考查逻辑推理的核心素养

由，可得，解得a=-1或b=1，故选AC.

10.ACD  将等差数列，，，，…记为，则公差，，，A正确.第1行的项数，第2行的项数，…，第k行的项数构成以1为首项，2为公差的等差数列，即第k行共有2k-1项，则前k行共有项，1936=442<2021<452=2025，则为第45行从左边数的第85项，即位于第85列，B错误.，，C正确，，D正确.

11.BCD  [解析]本题考查三角函数的图象，考查逻辑推理的核心素养.

因为，所以的最小正周期为.

对于A，因为，所以的最小正周期T=2π，所以，得，故A错误.

对于B，图象变换后得到函数，若其图象关于原点对称，则，k∈Z，解得，k∈Z，当k=-1时，∈(0，1)，故B正确.

对于C，当x∈[0，π]时，，因为在[0，π]上有且仅有4个零点，所以，解得.故C正确.

对于D，当时，，因为∈(0，1)，所以，，所以在上单调递增.故D正确.

12.ACD  [解析]本题考查抽象函数的应用，考查逻辑推理的核心素养.

由题可知，f(2)=2，f(1)=1，，的图象关于点(1，1)对称，因为当时，，所以当时，.又

，，所以.

13.3  [解析]本题考查恒等变换，考查运算求解能力.

由题可知，.

14.-1  [解析]本题考查函数的零点以及极值点，考查运算求解能力.

设是的零点，也是的极值点，则，所以，解得，m=-1.

15.  [解析]本题考查向量数量积的应用，考查逻辑推理的核心素养.

令D为BC的中点，E为AD的中点，所以

因为，所以，的最小值为.

16.  [解析]本题考查解三角形，考查运算求解能力.

在△ABC中，由余弦定理知，

在△ACD中，由余弦定理知，

所以8-8cosB=13-12cosD，即3cosD-2cosB=.

可得，

令，，

则，

所以，所以四边形ABCD面积的最大值为.

17.解：(1)因为，所以，即2b=c+2acosC，...............1分

由正弦定理可得2sinB=sinC+2sinAcosC，..................................2分

且2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，...........3分

所以sinC=2cosAsinC，且sinC≠0.........4分

则cosA=，A∈(0，π)，所以A=.

(2)因为，由正弦定理得sinB+sinC=sinA...........................6分

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，A=，

所以cosC+sinC+sinC=，......................7分

整理可得sinC+cosC=，即sinC+cosC=sin(C+)=，

所以sin(C+)=，.............................................8分

所以或，即或....................9分

因为c<b，所以，则.........10分

18.解：(1)同学甲随机选择两个选项共有种情况，.........2分

所以甲获得0分的概率为..............................................4分

(2)设策略①的得分为X，X的可能取值为0，2，......................5分

P(X=0)=，P(X=2)=...............................................6分

则X的分布列为

...............................................................................................7分

E(X)=...............................................................8分

设策略②的得分为Y，Y的可能取值为0，6，..................................................................9分

P(Y=6)=，P(Y=0)=1-P(Y=6)=，........................................................................10分

则Y的分布列为

.........................................11分

E(Y)=

显然E(Y)>E(X)，所以应选策略②.........................................12分

19.(1)证明：的公比..........................1分

所以，即，................................3分

所以是以为公差的等差数列，..........................................4分

则，即.....................................6分

(2)解：，①............................7分

①×3，得，②........................8分

②-①，得

，......................................................................10分

所以.........................................................................................................12分

20.(1)证明：连接EF，DF.

因为DE是三棱锥D-ABC的高，即DE⊥平面ABC，所以DE⊥_BC................1分

因为DB=DC，所以DF⊥BC，.................................................................................2分

又DF∩DE=D，所以BC⊥平面DEF，所以BC⊥EF..............................................3分

又BC⊥AF，所以点E在AF上.................................................................................5分

(2)解：以E为坐标原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(-，0，0)，B(2，-3，0)，C(2，3，0)，D(0，0，2)，

=(-2，3，2)，=(-3，3，0)，=(0，6，0)..............................7分

设平面BCD的法向量=(x2，y2，z2)，

则，即取，则=(，0，3).................8分

，设，则∈(0，1).

.....................9分

设平面DEG的法向量，

则，即取，则.................10分

，

当且仅当时，等号成立.

故平面DEG与平面BCD夹角余弦值的最大值为.............................................12分

21.解：(1)由题可知，..................................1分

又是双曲线C的一条渐近线，....................2分

所以，解得，.......................3分

所以，..................................................4分

所以双曲线C的标准方程为.......................5分

(2)假设存在P(n，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

设直线AB：x=my+4(m≠0)，则，得，

则.................................7分

因为使得点F到直线PA，PB的距离相等，所以PF是∠APB的角平分线，

则，..................................................................9分

即，，

，，

即，因为m≠0，所以n=1，.................................11分

故存在P(1，0).......................................................................................12分

22.解：(1)因为，所以，则...................1分

因为f(0)=1，所以切点坐标为(0，1)，....................................2分

所以函数在点(0，f(0))处的切线方程为，即，.....................3分

所以切线与坐标轴的交点坐标分别为(0，1)，(1，0)，........................................................4分

所以所求三角形的面积为....................................................................................5分

(2)方法一.

由可得可得在(0，+∞)上恒成立...............................6分

令，则......................7分

令，则，

因此h(x)在(0，+∞)上为减函数..................................................9分

而h(0)=2>0，h(1)=-e<0，可知在区间(0，1)上必存在，使得h(x)满足h()=0，

且g(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减.............................10分

由于，而，故，

由∈(0，1)，可知∈(3，2)，，

所以a≥1，因此整数a的最小值为1....................................................................................12分

方法二

由可得，当x=1时，，则，即a≥1...........7分.

当a=1时，令，x∈(0，+∞)，则，.....9分

则g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=2，所以成立.......................11分

因此整数a的最小值为1...............................................................................................................12分