2023聊城二中高二上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2023聊城二中高二上学期第一次月考数学试题含解析，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高二上学期第一次考试数学试题
考试时间：120分钟；考试分数：150分；
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. 0 D. 2
2. 已知向量，，，若，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 6
3. 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为N，已知点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ）

A. B.
C D.
5. 直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A. 2x＋3y－12＝0 B. 2x＋3y＋12＝0 C. 3x－2y－6＝0 D. 2x＋3y＋6＝0
6. 已知直线l过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C 或 D. 或
7. 如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则（ ）

A. B. C. 1 D.
8. 正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每题5分，每题多选得0分，少选得2分，共20分）
9. 已知空间中三点，，，则正确有（ ）
A. 与是共线向量 B. 的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
10. 以下命题正确的是（ ）
A. 若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点A，，则的充要条件是
B. 已知A，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，A，，四点共面
C. 已知，，若与垂直，则
D. 已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
11. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A. 的一个方向向量为
B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C. 与直线垂直
D. 与直线平行
12. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，，，若共面，则实数______．
14. 经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______.
15. 已知实数a，b满足，则的最小值为___________.
16. 在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子到直线的距离为___________.

四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17. （1）已知，，且，求，的值；
（2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值.
18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．

（1）求的长；
（2）直线与所成角的余弦值．
19. 已知△ABC顶点A（-1，5），B（-1，-1），C（3，7）.
（1）求边BC上高AD所在直线的方程；
（2）求边BC上的中线AM所在直线的方程；
（3）求△ABC的面积.
20. 如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，．

（1）求证：平面EAC；
（2）求直线DM到平面EAC的距离．
21. 已知直线l：，
（1）直线过定点P，求点P坐标；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线l方程．
22. 如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．

（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（2）若PB，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
高二上学期第一次考试数学试题
考试时间：120分钟；考试分数：150分；
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 经过两点，的直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.
【详解】由于直线的倾斜角为，
则该直线的斜率为，
又因为，，
所以，解得.
故选：B.
2. 已知向量，，，若，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以，
又，所以，解得.
故选：C.
【点睛】本题主要考查由空间向量垂直求参数，考查空间向量垂直的坐标表示，属于基础题.
3. 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标为N，已知点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出点 坐标，再利用两点间距离公式得解.
【详解】因为点关于x轴的对称点的坐标为N，所有点

故选：A
【点睛】本题考查空间中点的对称关系及两点间的距离，属于基础题.
4. 如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先用，，，表示向量，再利用为的中点，得代入整理得答案.
【详解】因为为的重心，所以.
为的中点，所以.
故选：C.
5. 直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（ ）
A. 2x＋3y－12＝0 B. 2x＋3y＋12＝0 C. 3x－2y－6＝0 D. 2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【解析】
【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
6. 已知直线l过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】对直线是否经过原点分类，结合条件，求出的方程．
【详解】解：若直线经过原点，满足条件，可得直线的方程为，即；
若直线不经过原点，可设直线的方程为，
把点代入可得，解得，
直线的方程为，即，
综上可得直线的方程为或；
故选：D．
7. 如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则（ ）

A B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得.
【详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.
设，.
因为，
所以，解得，即.
故选：B

8. 正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设出，利用向量的数量积及体积最大值求得，从而得到与平面所成角的正弦值.
【详解】如图，以A坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，，
则，
由于为定值，要想三棱锥的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，
其中，
所以当时，取得最大值，
因为，
所以的最大值为，
所以，，
平面的法向量，
所以与平面所成角的正弦值为

故选：A
二、多选题（每题5分，每题多选得0分，少选得2分，共20分）
9. 已知空间中三点，，，则正确的有（ ）
A. 与是共线向量 B. 的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项直接写出与，按照共线向量即可判断；B选项由单位向量的求法进行判断；
C选项通过夹角公式计算即可；D选项直接计算法向量即可.
【详解】，，，显然与不共线，A错误；
的单位向量，即，B错误；
，，C正确；
设平面的法向量，则，令，得，D正确.
故选：CD.
10. 以下命题正确的是（ ）
A. 若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点A，，则的充要条件是
B. 已知A，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，A，，四点共面
C. 已知，，若与垂直，则
D. 已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据线面位置关系的向量求法，可判断A的正误；根据四点共面的原则，可判断B的正误；根据向量垂直的坐标运算，可判断C的正误；根据向量数量积公式，计算求值，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：若，则，可得直线或，故A错误；
对于B：因为A，，三点不共线，，且，
所以，A，，四点共面，故B正确；
对于C：由题意，，
因为与垂直，
所以，解得，故C错误；
对于D：由题意，过B作，
所以，即，
所以，
所以，即边上的高的长为，故D正确.
故选：BD
11. 已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的有（ ）
A. 的一个方向向量为
B. 直线与两坐标轴围成三角形的面积为
C. 与直线垂直
D. 与直线平行
【答案】AC
【解析】
【分析】根据点斜式求得直线的方程，结合直线的方向向量、截距、垂直、平行（重合）等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题意直线的斜率为，直线方程为，即，
它与直线重合，D错误；
，因此是直线的一个方向向量，A正确；
在直线方程中令得，令得，
直线与两坐标轴围成三角形的面积为，B错误；
由于，C正确
故选：AC
12. 在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. 当平面时，可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C. 当时，的最小值为
D. 当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为[，]
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意画出图形，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、D，连接，则即为与平面所成角，根据锐角三角函数得到的轨迹，即可判断B，将平面与平面沿展成平面图形，化曲为直，利用余弦定理计算即可判断C；
【详解】解：对于A选项：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，
即，则当时，，即P为中点时，
有平面，且，故A正确；

B选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，故B正确；

C选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
利用余弦定理可知
所以，故C错误；

D选项：正方体经过点､P､C的截面为平行四边形，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，，，
所以点P到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故D正确.

故选：ABD
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 已知，，，若共面，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数λ的值．
【详解】因为共面，
所以，
则，
解得，
故答案为：
14. 经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，数形结合求解即可.
【详解】解：因为，，，
所以，
因为直线与线段总有公共点，
所以，如图，根据图形可知，或，即或，
所以，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：

15. 已知实数a，b满足，则的最小值为___________.
【答案】5
【解析】
【分析】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和，然后求出点N关于直线对称的点为，再根据三点共线时，最小，即最小，即可求出结果.
【详解】由题可知，表示的是直线上一点到定点，的距离之和.
如图，设点N关于直线对称的点为，

则，解得，
当三点共线时，最小，即最小
所以的最小值为.
故答案为：5.
16. 在如图所示的试验装置中，四边形框架为正方形，为矩形，且，且它们所在的平面互相垂直，为对角线上的一个定点，且，活动弹子在正方形对角线上移动，当取最小值时，活动弹子到直线的距离为___________.

【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件建立以直线BA，BE，BC分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，利用空间向量即可计算作答.
【详解】因为正方形，则，而平面平面，平面平面，
于是得平面，又为矩形，即，以射线BA，BE，BC分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

则，因点在上，且，则，
又在线段上移动，则有，于是得点，，
，因此，当时，取最小值，此时，点，
则，，而，则有，，
因此，点M到直线BF的距离，
所以活动弹子到直线的距离为.
故答案为：
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17. （1）已知，，且，求，的值；
（2）已知，，若与（为坐标原点）的夹角为，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，结合空间向量共线的坐标表示计算作答；
（2）先算出，，然后利用数量积的坐标运算得到，再利用夹角公式即可得到答案
【详解】（1）因为，，
所以，，
因为，
所以，解得，
所以；
（2）因为，，
所以，，
所以，
因为与的夹角为，
所以，因为解得
18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长度为2，且．

（1）求的长；
（2）直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用表示出，然后平方转化为数量积的运算；
（2）用空间向量法求异面直线所成的角．
【小问1详解】
由题意，，
，

，
．
【小问2详解】
，，
，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
19. 已知△ABC的顶点A（-1，5），B（-1，-1），C（3，7）.
（1）求边BC上的高AD所在直线的方程；
（2）求边BC上的中线AM所在直线的方程；
（3）求△ABC面积.
【答案】（1）x+2y-9=0
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求得，根据垂直关系可得，再根据点斜式求解高AD所在直线的方程即可；
（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；
（3）根据两点式方程可得边所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点到直线的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，从而边BC上的高AD所在直线的方程为，即x+2y-9=0
小问2详解】
因为M是BC的中点，所以M（1，3），从而边BC上的中线所在直线的方程为，即
【小问3详解】
由题意知，边所在直线方程为，即，所以点到直线的距离，从而的面积.
20. 如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，．

（1）求证：平面EAC；
（2）求直线DM到平面EAC的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）说明PO，AC，BD两两垂直，由此可建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面EAC的一个法向量，计算的值，结合线面平行的判定即可证明结论；
（2）由于平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离，由此利用空间距离的向量形式的公式计算，可得答案.
【小问1详解】
证明：在正四棱锥中，连接BD，则O为BD的中点，且，
由于平面ABCD，AC，平面ABCD，
所以，，所以PO，AC，BD两两垂直．
以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，故E为PB的靠近B的三等分点，

则，，，，，
所以，，，
设平面EAC的法向量为，
则,取，则，，
则为平面EAC的一个法向量，
因为，所以，
又因为平面EAC，所以平面EAC．
【小问2详解】
由（1）知平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离．
由（1）知，平面EAC的一个法向量为，
所以点D到平面EAC的距离,
故直线DM到平面EAC的距离为．
21. 已知直线l：，
（1）直线过定点P，求点P坐标；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线l方程．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）将变形为，列方程可得直线所过的定点；
（2）求出点，点的坐标，代入三角形的面积，解方程可得.
【详解】解：（1）由，可得，
∴直线：必过直线，的交点，
∴；
（2）∵直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，
∴，
令，得；令，得，
三角形的面积为，
解得，
∴直线方程为：.

【点睛】本题考查了直线过定点问题，三角形的面积问题，属于中档题.
22. 如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．

（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；
（2）若PB，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明AE⊥平面POB，然后结合已知可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解.
【小问1详解】
连接BE，在等腰梯形ABCD中，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，
∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，
∴OB⊥AE，OD⊥AE，即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，
OB⊂平面POB，OP⊂平面POB，∴AE⊥平面POB，
又AE⊂平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE．
【小问2详解】
由（1）可知四边形ABED为菱形，∴AD＝DE＝2，
在等腰梯形ABCD中AE＝BC＝2，∴△PAE正三角形，
∴，同理，
∵，
∴OP2+OB2＝PB2，
∴OP⊥OB，
由（1）可知OP⊥AE，OB⊥AE，
以O为原点，分别为x轴，y轴，为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则 ，A（﹣1，0，0），，，E（1，0，0），
∴，，
设，，
设平面AEQ的一个法向量为（x，y，z），
则，即
取x＝0，y＝1，得，∴(0，1，)，
设直线PC与平面AEQ所成角为，
则，即，
化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得，
∴存在点Q为PB的中点，即时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为．