河南省豫东名校2022-2023学年高一上学期第一次联合调研考试数学试题（含答案）

豫东名校2022-2023学年高一年上期第一次联合调研考试

数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列说法错误的是（    ）

A．命题，，则，

B．已知，，“且”是“”的充分不必要条件

C．“”是“”的充要条件

D．若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件

2．已知集合，．若，则实数的取值范围是（    ）

A．      B．

C．     D．

3．若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是（    ）

A．  B．  C．  D．

4．下列函数的最小值为2的是（    ）

A．       B．

C．    D．

5．已知，不等式对于一切实数恒成立，且，使得成立，则的最小值为（    ）

A．1    B．    C．2    D．

6．若关于的不等式对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．      B．

C．      D．

7．已知关于的不等式的解集是R，则实数的取值范围是（    ）

A．     B．

C．      D．

8．关于的不等式的解集为，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）

9．设，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A．     B．

C．      D．

10．下列说法正确的是（    ）

A．若，，则一定有

B．若，，且，则的最小值为0

C．若，，，则的最小值为4

D．若关于的不等式的解集是，则

11．已知不等式对一切恒成立，则（    ）

A．的最小值为      B．的最大值为

C．取最小值且不等式取等号时  D．取最大值且不等式取等号时

12．已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（    ）

A．     B．

C．   D．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知集合，，且，则实数的取值范围是______．

14．设全集为，集合，集合，若，则实数的取值范围为______．

15．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增加，八月份销售额比七月份增加，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少要达7000万元，则的最小值是______．

16．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是______．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知，．

（1）当0是不等式的一个解时，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知函数．

（1）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围；

（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．

19．（12分）某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，预计在一年内的销售量（万件）与广告费（万元）之间的关系式为．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．

（1）试写出年利润（万元）与年广告费（万元）的关系式；

（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？

20．（12分）已知．

（1）若的解集为，求关于的不等式的解集；

（2）解关于的不等式．

21．（12分）设函数

（1）若对于一切实数恒成立，求的取值范围；

（2）若对于，恒成立，求的取值范围．

22．（12分）已知关于的方程．

（1）求证：无论取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根，满足，求的值及相应的，．

参考答案

1．答案：C

解析：命题，，则，，满足命题的否定形式，所以A正确；已知，，“且”能够推出“”，但“”不能推出“且”，所以B正确；当时，成立，反之，当时，或，所以C不正确；若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D正确．

2．答案：D

解析：由得，所以，，即，且，解得，又因为，所以．故选D．

3．答案：D

解析：因为若不等式的解集为，

所以与3是方程的两个根，且，所以，，

所以可化为，解得．

A，B，C，D四个选项中，只有选项D满足，

所以成立的一个必要不充分条件是D选项．

4．答案：C

解析：本题考查运用基本不等式的性质．A项，当时显然不满足条件；B项，，其最小值大于2；D项，当且仅当，即时，才有最小值2，而，所以取不到最小值，因此D项不正确；选项C是正确的．

5．答案：D

解析：因为不等式对于一切实数恒成立，所以

又因为，使得成立，所以，所以，即，．

因为，所以，所以，

当且仅当时取得最小值．

6．答案：C

解析：因为，，所以（当且仅当时等号成立），所以由题意，得，解得，故选C．

7．答案：D

解析：显然满足题意，若该不等式为一元二次不等式，则必有，由方程的判别式，

得，综上可知．

8．答案：A

解析：由条件，知，为方程的两根，则，

故，得，故选A．

9．答案：ACD

解析：因为，，所以，当且仅当且，

即时取等号，故A一定成立；

因为，所以，当且仅当时取等号，故B不一定成立；

因为，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以，所以，故C一定成立；

因为，当且仅当时取等号，故D一定成立．故选ACD．

10．答案：ABC

解析：对于A，由可得，则．

又，所以，即．故A正确．

对于B，若，，且，则，可得，

易知当时，取得最小值0．故B正确．

对于C，，当且仅当时等号成立，

即，解得或．

因为，，所以，即的最小值为4．故C正确．

对于D，易得2和3是方程的两个根，则，，解得，，则．故D错误．故选ABC．

11．答案：AC

解析：本题考查基本不等式的应用，不等式恒成立问题．原不等式可化为，令，则，当且仅当，即时，取最小值6，因此要使不等式恒成立，应满足，解得．

12．答案：D

解析：当时，不等式为，即，不符合题意；当时，不等式对任意实数都成立，则解得．故选D．

13．答案：

解析：因为，所以不等式可化为，

可得．又，所以集合．

又因为，所以，所以，即，

对于不等式，当时，不等式可化为不成立，

此时不等式的解集为；

当时，要使得，则解得．

综上可得，实数的取值范围是．

14．答案：

解析：因为，所以，．

15．答案：20

解析：由题意，得，化简得，解得（舍去）或．

16．答案：

解析：当时，不等式显然成立；当时，，所以

17．（1）答案：

解析：解：由题意可知，，

解得．故实数的取值范围为．

（2）答案：

解析：由，解得或．

由，解得．

故或，，从而或．

因为是的充分不必要条件，所以，

故实数的取值范围为．

18．答案：（1）（2）

解析：（1）由于对于任意，恒成立，故．

又函数的图象的对称轴方程为，

当时，，求得无解；

当时，，求得；

当时，，求得．

综上可得，的范围为．

（2）若对于任意，恒成立，等价于，

∴，求得，即的范围为．

19．答案：（1）由题意可得，每年产品的生产成本为万元，每万件销售价为万元，

∴年销售收入为，

∴

．

（2）由（1）得，．

∵，∴，

∴，当且仅当，即时，有最大值42，即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元．

解析：

20．（1）答案：

解析：解：由题意得解得．

故不等式等价于．即，解得或．

所以不等式的解集为．

（2）答案：见解析

解析：当时，原不等式可化为，解得．

当时，原不等式可化为，解得或．

当时，原不等式可化为．

当，即时，解得；

当，即时，解得；

当，即时，解得．

综上所述，当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为．

21．答案：（1）由题意，要使不等式恒成立，

①当时，显然成立，所以时，不等式恒成立；

②当时，只需，解得，

综上所述，实数的取值范围为．

（2）要使对于，恒成立，只需恒成立，

只需，又因为，

只需，令，则只需即可

因为，当且仅当，即时等式成立；

因为，所以，所以．

解析：

22．答案：（1）证明：，∴无论取什么实数，这个方程总有两个相异实根．

（2）根据根与系数的关系得，，∴，或，．

若，则，即，∴，，此时方程式为，，．

若，，则，即，∴，．此时方程为，，．

综上可得，当时，，；当时，，．