福建省厦门集美中学2022-2023学年高二上学期第二次质量检测数学试题（含答案）

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这是一份福建省厦门集美中学2022-2023学年高二上学期第二次质量检测数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
福建省厦门市集美中学2024届第一学期第二次质量检测数学满分: 150分时间120分一单项选择题（共计8道小题，每题5分，共40分）1. 已知向量是单位向量, 且,则向量与的夹角是（）A. B. C. D.2. 过的直线方程是（）A. B. C. D.3. 在平行六面体中,, 则（）A. B. C. D.4. 直线的图象可能是（）A. B. C. D.5. 已知圆 , 则当圆的面积最小时, 圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）A. B. C. D.6. 由直线上的一点向圆引切线, 则切线长的最小值为（）A. B. C. D.7. 已知圆 , 点为直线上一个动点, 过点作圆的两条切线, 切点分别为, 则四边形周长的最小值为（）A. B. C. D.8. 已知直线 y=kx+m(m为常数) 与圆交于点M,N, 当k变化时, 若的最小值为, 则m=（）A. B. C. D.二多项选择题（共计4道小题，每题5分，共20分）9. 已知直线 , 则下列结论正确的是（）A.直线的倾斜角是 B.若直线 , 则C.点到直线的距离是D.过与直线平行的直线方程是10. 若直线将圆平分, 且在两坐标轴上的截距相等, 则直线的方程为（）A. B. C. D.11. 已知点在圆上, 点, 则（）A.点到直线的距离小于 B.点到直线的距离大于C.当最小时, D.当最大时,12.在长方体中,为线段上的动点, 则（）A.当为的中点时,的周长最小B.三棱锥的体积为定值C.在线段上存在点,使得D.在线段上有且仅有一个点,使得三填空题（共4道小题，每题5分，共20分）13. 直线过点, 且与直线平行, 则直线的一般式方程为______.14.已知直线与的方程分别为. 若,则___.15. 直线和的位置关系是___________.16.已知动点满足为坐标原点, 则的最大值为_________.四解答题（共计6道小题，共计70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17. （本题满分10分）在中,.(1)求 ;(2)若点在上, 且,求点的坐标. 18. （本题满分12分）已知圆上的一定点,点为圆内一点,为圆上的动点.(1)求线段中点的轨迹方程;(2)若 , 求线段中点的轨迹方程. 19. （本题满分12分）已知平面内三点 .(1)若直线经过点且与线段有交点, 求直线的倾斜角的取值范围;(2)若直线经过点,且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为, 求直线的方程. （本题满分12分）设是坐标原点,直线与圆交于两点.(1)求线段中点的坐标;(2)若 ,求该圆的面积. （本题满分12分）如图, 在平面直角坐标系中, 点, 直线, 设圆的半径为, 圆心在上.(1) 若圆心也在直线上, 过点作圆的切线, 求切线方程;(2) 若圆上存在点,使, 求圆心的横坐标的取值范围. 22. （本题满分12分）如图, 直三棱柱的体积为的面积为.(1)求到平面的距离;(2)设为的中点,, 平面平面, 求二面角的正弦值.
福建省厦门市集美中学2024届第一学期第二次质量检测数学参考答案及解析满分: 150分时间120分一单项选择题（共计8道小题，每题5分，共40分）1. 【答案】B 【解析】设向量的夹角为,为单位向量,,,即 , 解得. 2. 【答案】B 【解析】因为所求直线过点 , 所以直线方程为, 即 3. 【答案】C 【解析】, 又即为 ,可得 . 4. 【答案】D 【解析】将化为,将化为.对于 , 若图象正确, 则,图象经过第一、二、四象限,不正确;对于 , 若图象正确, 则,图象经过第一、二、三象限,不正确;对于 , 若图象正确, 则图象经过第一、二、四象限,不正确;对于 , 若图象正确, 则,图象经过第二、三、四象限,正确. 5. 【答案】D 【解析】根据题意, 圆 , 变形可得.则其圆心为 , 半径,当圆的面积最小时, 必有, 此时.圆的方程为,圆心到原点为距离,则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 .故选 D. 6. 【答案】A 【解析】将圆方程化为标准方程得:得到圆心 , 半径,圆心到直线的距离切线长的最小值为: 7. 【答案】A 【解析】圆的圆心坐标为, 半径为,因为过点作圆的两条切线, 切点分别为,所以有因此有要想四边形周长最小, 只需最小, 即当时，此时 , 此时,即最小值为 , 8. 【答案】C 【解析】设圆心到直线的距离为 ;要使最小, 则最大因为直线横过 , 所以最大时即为圆心到点的距离,由题意得二多项选择题（共计4道小题，每题5分，共20分）9. 【答案】CD【解析】对于 . 直线的斜率, 故直线的倾斜角是, 故错误;对于 . 因为直线的斜率,故直线与直线不垂直，故错误;对于 . 点到直线的距离, 故正确;对于 .过与直线平行的直线方程是, 整理得:, 故正确.综上所述, 正确的选项为 . 10. 【答案】CD 【解析】圆化为: 圆, 圆的圆心坐标, 半径为,直线将圆平分, 则直线经过圆心,若在两坐标轴上的截距都为 , 则直线过坐标原点, 此时斜率为,直线的方程为, 即, 若截距不为,设直线方程为 , 则, 可得,, 即,综上所述: 直线的方程为或 11. 【答案】ACD 【解析】由题意知直线 : 到直线的距离. 因为, 所以项正确.因为, 所以 B 项错误.当直线与圆相切时,取得最值.如图, 当切点在点的位置时,最小, 此时圆心到点的距离为, 则;当切点在点的位置时,最大, 同理可得. 所以项正确. 故选. 12. 【答案】AB 【解析】如图建系，则，时，最小，此时周长最小，此时为中点，对.，则平面到平面的距离为定值，为定值，则为定值，B 对.不存在点使得错.，无解，D错，选.三填空题（共4道小题，每题5分，共20分）13. 【答案】【解析】解: 因为直线与直线平行，所以假设直线为,因为直线过点，所以，解得，所以直线的一般式方程为 14. 【答案】或【解析】直线与的方程分别为,,, 即, 解得或. 15. 【答案】相切【解析】圆的圆心为,半径为,其圆心到直线的距离是:直线与圆的位置关系是相切. 16. 【答案】【解析】在第一象限内 (含坐标轴), 曲线方程为转化为: ,表示以为圆心,半径为的圆的一部分.由于 ,的最大值为.四解答题（共计6道小题，共计70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17. 【答案】 (1) (2) 【解析】解: 因为所以 ,则所以.(2) 解: 由 (1) 知, , 因为, 所以点的坐标为.设点为坐标原点,,则 ,则 , 点的坐标为 18. 【答案】(1) (2) 【解析】(1) 解: 设 , 则,设线段中点坐标为, 则,解得 ,代入 , 得,即 ;(2) 设线段中点坐标为, 因为, 所以,因为 , 所以,即 ,化简得 . 19. 【答案】(1) (2) 【解析】(1) 因为直线的斜率为, 直线的斜率为, 所以对应的倾斜角分别为,结合图形, 当直线过点且与线段有交点时,的倾斜角范围为;( 2 )设直线在轴,轴上的截距分别为,由题意知 ,则直线的方程为,由直线经过点, 且与轴,轴围成的三角形的面积为,得 ,解得或(舍).所以直线的方程为, 即. 20. 【答案】(1) ;(2) . (1) 圆的圆心为, 直线的斜率为,所以线段的垂直平分线的斜率为, 且经过,所以线段的垂直平分线方程为, 即,由 , 得,所以线段中点的坐标为.(2)由 , 化简得,设 , 则,又 , 由于,所以 , 即,即 , 所以,解得 , 所以圆的半径为,所以圆的面积为 . 21. 【答案】（1）或；（2）.【解】(1) 由得圆心,圆的半径为,圆的方程为:,显然切线的斜率一定存在, 设所求圆的切线方程为, 即.,或.所求圆的切线方程为或.(2) 圆的圆心在直线上, 所以, 设圆心为,则圆的方程为.又 ,设为, 则, 整理得, 设为圆.所以点应该既在圆上又在圆上, 即圆和圆有交点,,由 , 得,由,得.综上所述, 的取值范围为.22. 【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1) 由等体积法运算即可得解;(2) 由面面垂直的性质及判定可得平面建立空间直角坐标系, 利用空间向量法即可得解.(1)在直三棱柱中, 设点到平面的距离为,则 ,解得 ,所以点到平面的距离为;(2)取的中点,连接,如图, 因为, 所以,又平面平面, 平面平面,且平面, 所以平面,在直三棱柱中,平面,由平面平面可得,又平面且相交, 所以平面,所以两两垂直, 以为原点, 建立空间直角坐标系, 如图,由 (1) 得 , 所以, 所以,则 , 所以的中点, 则,设平面的一个法向量, 则,可取 ,设平面的一个法向量, 则,可取 ,则，所以二面角的正弦值为