人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体学案

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新课导学
（一）新知导入
【问题】不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水平更稳定.
（二）总体离散程度的估计
知识点一 一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为＝，标准差为.
知识点二 总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，
则总体方差为S2＝.
知识点三 样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，
则称s2＝为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
知识点四 标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
知识点五 分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为eq \x\t(x)，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为eq \(x,\s\up6(－))1，eq \(x,\s\up6(－))2，方差分别为seq \\al(2,1)，seq \\al(2,2)，则这个样本的方差为
s2＝eq \f(n1,n)[seq \\al(2,1)＋(eq \(x,\s\up6(－))1－eq \(x,\s\up6(－)))2]＋eq \f(n2,n)[seq \\al(2,2)＋(eq \(x,\s\up6(－))2－eq \(x,\s\up6(－)))2]．
【做一做】 解析：(1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4,10)＝7.
(2)∵s2＝eq \f(1,10)[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.
答案：(1)7 (2)2
【思考】 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.(√)
2.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(√)
3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.(×)
（三）典型例题
【例1】 解：(1)eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq \f(7,3)，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq \\al(2,甲)＞seq \\al(2,乙)，所以乙机床加工零件的质量更稳定．
【巩固练习1】 解：eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋…＋(31－33)2]＝eq \f(1,6)×94≈15.7，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝eq \f(198,6)＝33，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋…＋(36－33)2]＝eq \f(1,6)×76≈12.7.
所以eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙).
这说明甲、乙两运动员的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的稳定．
解：由题意可知eq \(x,\s\up6(－))甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为eq \f(1,1＋4)＝eq \f(1,5)，
eq \(x,\s\up6(－))乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为eq \f(4,1＋4)＝eq \f(4,5)，
则甲、乙两队全部队员的平均体重为eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,5)×60＋eq \f(4,5)×70＝68(kg)，
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝eq \f(1,5)[200＋(60－68)2]＋eq \f(4,5)[300＋(70－68)2]＝296.
【巩固练习2】 【解析】 设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝eq \f(1,1＋3＋6)[s2＋(1.2－2.4)2]＋eq \f(3,1＋3＋6)[10＋(1.2－1.8)2]＋eq \f(6,1＋3＋6)[8＋(1.2－0.8)2]，
解得s2＝118.52，即二线城市房价的方差为118.52.
【答案】118.52
【例3】解：(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝eq \f(1,50)×4 000＝80，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝eq \f(1,50)×4 000＝80.
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,2＋5＋10＋13＋14＋6)[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,4＋4＋16＋2＋12＋12)[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵eq \x\t(x)甲＝eq \x\t(x)乙，seq \\al(2,甲)(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．
【巩固练习3】 解：甲的平均成绩和方差如下：
eq \(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)＝1.69，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,8)[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差如下：
eq \(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)＝1.68，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,8)[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定．由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若跳高1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．
在这8次选拔赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但成绩突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可获得冠军，应派乙参赛．
（四）操作演练 素养提升
答案：1.B 2.B 3.C 4.丙