北京市第四中学顺义分校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份北京市第四中学顺义分校2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020－2021北京四中顺义分校高二数学第一学期期中考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）（每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的把答案写在题号前）1. 已知数列{）的通项公式为，则下列各数中不是数列中的项的是A. 2 B. 40 C. 56 D. 90【答案】B【解析】【分析】分别令选项中的数等于，解得n值不是正整数的即为答案．【详解】由题意令可得n=2为正整数，即2是{an}项；同理令,可得n不为正整数，即40不是{an}的项；令，可得n=8为正整数，即56是{an}的项；令，可得n=10是正整数，即90是{an}的项．故选B．【点睛】本题考查数列的通项公式的定义，注意数列通项公式中n必须是正整数．2. 等差数列的前项和，若，则A. 8 B. 10 C. 12 D. 14【答案】C【解析】【详解】试题分析：假设公差为,依题意可得.所以.故选C.考点：等差数列的性质. 3. 若，则下列不等式一定成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质一一判断即可.【详解】解：对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：因为，所以，故D错误；故选：A4. 等差数列中，，，这三项构成等比数列，则公比（    ）A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质列方程求得与关系后可得．【详解】设的公差为，显然，易知时，，时，由得，，．所以或2．故选：C．5. 数列的前项和为，且，，则等于A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据已知条件得到数列是等比数列，并且得到首项和公比，根据等比数列前项和公式求得.【详解】由可知数列为等比数列，且公比为，首项为，故.所以选D.【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列前项和公式，属于基础题.6. 若椭圆的离心率是，则实数k的值为（    ）A. 3或 B. 或C. 2或 D. 或【答案】B【解析】【分析】分焦点在轴和轴上两种情况求解即可.【详解】当焦点在轴上时，由，得，则，因为离心率是，所以，解得，当焦点在轴上时，由，得，则，因为离心率是，所以，解得，综上，或，故选：B7. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为，则双曲线的方程为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知，求出双曲线的渐近线方程得，即可得，利用，即可求出、、的值，从而求出双曲线的方程.【详解】由题意知①，双曲线的渐近线方程得，又因为一条渐近线方程是，所以②，又因为③，由①②③解得：，，所以双曲线的方程为： ，故选：C【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于中档题.8. 若关于的不等式对于一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可求解.【详解】令，则不等式对一切，恒成立等价于恒成立，因为，所以，当且仅当时取等，所以，即实数的取值范围是，故选：．9. 已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，由此可得到关于的不等式，从而可得结果.【详解】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，∴ 中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的离心率范围，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.10. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线 上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为A.  B. 1 C.  D. 2【答案】B【解析】【详解】设，，是线段的中点，所以.直线的斜率为：.显然时的斜率较大，此时，当且仅当，时，斜率最大为1.故选B.二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）11. 在数列0，，，…，，…中，是它的第__项．【答案】9【解析】【分析】根据数列的通项公式令，求即可.【详解】令，解得，所以是它的第项.故答案为：912. 在等差数列{an}中，a2+a4=5，则a3=___________.【答案】【解析】【分析】由等差数列的中项性质得到2a3=a2+a4求解.【详解】等差数列{an}中，因为a2+a4=5，由等差数列的中项性质，得2a3=a2+a4=5，解得.故答案为：.13. 请写出一个与有相同焦点的抛物线方程：____．【答案】或【解析】【分析】先求出双曲线的焦点坐标，再用待定系数法求出抛物线方程即可【详解】解：由题意知∴双曲线的焦点坐标为或设抛物线方程为则或解得：或∴抛物线的方程为：或故答案为：或．14. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则________【答案】【解析】【分析】根据双曲线方程可得焦点在轴上, 所以椭圆的焦点也在轴上,由此可得,再根据焦距相等列方程可解得.【详解】因为椭圆与双曲线有相同的焦点且双曲线的焦点在轴上,所以椭圆的焦点也在轴上,所以,且,解得,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的几何性质(焦点),解题关键是根据双曲线标准方程得到椭圆中4和的大小.属于中档题.15. 函数的最小值是_____，此时_____.【答案】    ① 3    ②. 2【解析】【分析】由题知，又由，结合基本不等式即可求解．【详解】∵，∴，由基本不等式可得，当且仅当即时，函数取得最小值．故答案为：①3；②2．【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．16. 不等式对于任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】讨论与两种情况：代入即可判断，当时，结合一元二次不等式恒成立问题，即可确定的取值范围.【详解】当时，代入可得成立，所以符合题意；当时，由一元二次不等式恒成立可知需满足，解得；综上可知，实数的取值范围为，故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题的解法，注意二次项系数是否为0，属于基础题.17. 已知椭圆的两个焦点，，点P在椭圆上，且，则__．【答案】【解析】【分析】由给定椭圆求出半焦距，再由对称性写出坐标，结合，利用勾股定理和椭圆定义可列出方程，即可求出，进而可得答案.【详解】由椭圆知，椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距，由椭圆对称性不妨令焦点，因点P在椭圆C上，且，设，，则由，解得即有，所以的值为.故答案为：18. 在数列中，，，且任意连续三项的和均为11，则__；设是数列的前n项和，则使得，成立的最大整数__．【答案】    ①. 12    ②. 29【解析】【分析】由题意可得数列是周期为3的数列，利用周期性即可求，分，，讨论，计算的最大值即可求解【详解】由题意得，则，所以数列为周期数列，且周期为，，又，则，；当时，；当时，；当时，；使得成立，由，可得的最大值为9，此时；由，可得的最大值为8，此时；由，可得的最大值为9，此时；则使得成立的最大整数故答案为：12；29三、解答题（本大题共5小题，共70分）19. 设是等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记的前n项和为，求的最小值．【答案】（1）    （2）-30【解析】【分析】（1）根据已知求出公差d，即可求得通项公式（2）根据是关于n的二次函数，利用二次函数的性质结合n的范围求解即可【小问1详解】解：设的公差为d∵，，成等比数列即：解得：故数列的通项公式为【小问2详解】解：∴或时，取得最小值当或时，求得故的最小值为-3020. 已知数列的前n项和，其中．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用，即可求出的通项公式（2）求出，利用等比数列求和公式即可求解.小问1详解】当时，当时，．当时，也成立∴．【小问2详解】令数列，∴数列是一个以4为首项，4为公比的等比数列．∴数列的前n项和为∴．21. 已知函数．（1）当时，求满足的的取值范围；（2）解关于的不等式．【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为．【解析】【分析】（1）解一元二次不等式可得；（2）分类讨论，根据两根据的大小分类讨论．【详解】（1）当时，，所以，即解得.所以的解集为. （2） 由，得 ，所以 ，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集．【点睛】本题考查解一元二次不等式，对含参数的不等式一般需要分类讨论，分类的层次有三个：一是最高次项系数的正负或者是0，二是对应的一元二次方程有无实数解，三是方程有实数解，方程两根的大小关系．22. 已知抛物线C：，经过点．（1）求抛物线C的方程及准线方程；（2）设O为原点，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：OA⊥OB．【答案】（1），    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）把点代入抛物线方程即可求解；（2）设，，联立，利用根于系数的关系，由平面向量的数量积证明，即可得证【小问1详解】因为点在抛物线上，所以，解得，故抛物线的方程为，准线方程为；【小问2详解】设，联立得，，因为所以所以23. 已知椭圆C：的右焦点为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：与椭圆C交于两个不同的点M，N，若线段MN中点的横坐标为，求直线l的方程及的面积．【答案】（1）    （2），1【解析】【分析】（1）由题意可直接得出，再结合即可求解；（2）设，，联立利用根与系数的关系，弦长公式以及点到直线距离公式，结合题意即可求解【小问1详解】由题意，得，又∵∴， ∴椭圆C的方程为；【小问2详解】设，联立得，，即，由题知，解得，即（符合题意）∴直线l的方程为点F到直线l的距离∴