高一上学期期中2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第一册）

高一期中（11月）模拟试卷

(时间：120分钟，分值：150分）

范围：新人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》，第二章《一元二次函数、方程与不等式》，第三章《函数的概念与性质》，第四章《指数函数与对数函数》的指数运算)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合或，，，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，若，则（    ）

A． B．6 C．4 D．2

3．已知，，，若不等式 恒成立，则m的最大值等于（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（    ）

A．4与3 B．3与2 C．4与2 D．7与4

5．关于的不等式的解集为，且，则实数为（    ）

A． B．

C．或 D．或

6．已知函数（），则“”是“在区间（0，）上单调递增”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列运算（化简）中正确的有（    ）．

A．

B．

C．

D．

10．正确表示图中阴影部分的是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，若的最小值为，设满足题意的实数a的取值集合为A，则集合A的子集可以为（    ）

A． B． C． D．

12．下列命题正确的是（    ）

A．若，，则；

B．若正数a、b满足，则；

C．若，则的最大值是；

D．若，，，则的最小值是9；

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度跑步速度均相同，则先到教室的是 __．

14．已知函数，记集合，,若，则的取值范围是_____________.

15．设，，若恒成立，则实数的取值范围是______.

16．已知函数对任意和任意都有恒成立，则实数a的取值范围是___________.

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）

已知，且，求下列代数式的值：

(1)；

(2)；

(3)．

（注：立方和公式）

18．（12分）已知非空集合，集合，命题.命题.

(1)当实数为何值时，是的充要条件；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

19．（12分）已知函数

(1)求函数的值域；

(2)当时，函数的值域为，求实数t的取值范围．

20．（12分）如图，某广场要划定一矩形区域，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间均设有1米宽的走道，设一块绿化区小矩形的一边长为米，另一边长为米，已知三块绿化区的总面积为平方米．

(1)求矩形区域占地面积的表达式；

(2)求矩形区域占地面积的最小值．

21．（12分）已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)已知，且在上恒成立，求的取值范围；

(3)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，，求的取值范围.

22．（12分）已知定义域为，对任意都有，当时，，．

(1)试判断在上的单调性，并证明

(2)解不等式：

高一期中（11月）模拟试卷

(时间：120分钟，分值：150分）

范围：新人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》，第二章《一元二次函数、方程与不等式》，第三章《函数的概念与性质》，第四章《指数函数与对数函数》的指数运算)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合或，，，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据补集的定义和运算求出，结合交集不为空集即可求出a的取值范围.

【详解】由或，得，

因为，

所以.

故选：A.

2．已知函数，若，则（    ）

A． B．6 C．4 D．2

【答案】D

【分析】由题意分类讨论，求解a，再根据分段函数求函数值.

【详解】当时，则，解得：或（舍去）

当时，则，解得：（舍去）

综上所述：

∴，则

故选：D.

3．已知，，，若不等式 恒成立，则m的最大值等于（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】由题意将可得，继而将变为，利用基本不等式求得其最小值，根据不等式 恒成立，即可求得答案.

【详解】由，，，则,,

则

  ,当且仅当时取得等号．

不等式 恒成立，故，即m的最大值等于3，

故选：B

4．已知，设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能为（    ）

A．4与3 B．3与2 C．4与2 D．7与4

【答案】C

【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性，结合函数奇偶性的性质进行求解即可.

【详解】令，，

∴，∴为奇函数，

设的最大值为t，最小值为，

∴，，可得，

∵，∴2b为偶数，

故选：C．

5．关于的不等式的解集为，且，则实数为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】B

【分析】法一：根据根与系数的关系，得到关于的方程，求出的值，检验后舍去不合要求的解，即可求出结果；

法二：因式分解，根据的符号讨论求出，结合，能求出结果．

【详解】法一：因为的解集为，

为方程的两个根，

，，

又∵，

∴，

，

，

，

．

当时，，，由，得，，成立；

当时，，，由，得，，不成立，

综上．

解法二：的解集为，

当时，，，

此时，，

，

∴或（舍；

当时，无解．

当时，，，

此时，，无解，

综上，．

故选：B．

6．已知函数（），则“”是“在区间（0，）上单调递增”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先求出在区间（0，）上单调递增的充要条件，从而得到答案.

【详解】∵，∴，

在区间（0，）上单调递增.

故选：A

【点睛】解决充要条件类问题的四种方法：

（1）定义法；（2）传递性法；（3）集合法；（4）等价命题法.

7．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.

【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．

当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；

当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．

不等式化为，

函数在和上单调递减，

故或或，解得或．

故应选：D．

8．已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.

【详解】因为的图像关于直线对称，

所以，

因为，所以，即，

因为，所以，

代入得，即，

所以，

.

因为，所以，即，所以.

因为，所以，又因为，

联立得，，

所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，

所以

因为，所以.

所以.

故选：D

【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列运算（化简）中正确的有（    ）．

A．

B．

C．

D．

【答案】ABD

【分析】根据指数幂的运算法则逐一验证即可

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：ABD

10．正确表示图中阴影部分的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据阴影位于M与N并集的外部即可作出判断.

【详解】根据图中阴影可知，符合题意，

又.

故选：AD

11．已知函数，若的最小值为，设满足题意的实数a的取值集合为A，则集合A的子集可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先保证时最小值为，再求时的函数最小值，最后保证整体的最小值为即可．

【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，

即当时，函数的最小值为；

当时，，要使得函数的最小值为，

则满足，解得.

故选：BC.

12．下列命题正确的是（    ）

A．若，，则；

B．若正数a、b满足，则；

C．若，则的最大值是；

D．若，，，则的最小值是9；

【答案】BC

【分析】A选项用作差法即可，B，C，D选项都是利用基本不等式判断.

【详解】对于选项A，，

因为，，所以，

,即，故，所以A错误；

对于选项B，因为，所以，

当且仅当，即时，等号成立，故B正确；

对于选项C，因为，，当且仅当即 时，等号成立，所以，故C正确；

对于选项D，因为，所以，

所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是8，故D错误.

故选：BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.

13．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度跑步速度均相同，则先到教室的是 __．

【答案】乙．

【详解】比较走完路程所用时间大小来确定谁先到教室,故应把两人到教室的时间用所给的量表示出来，作商法比较大小．

【解答】设从寝室到教室的路程为，甲、乙两人的步行速度为，跑步的速度为，

且，

甲所用的时间，

乙所用的时间满足，解得，

所以，

因为，

所以，即乙先到.

故答案为：乙先到教室.

14．已知函数，记集合，,若，则的取值范围是_____________.

【答案】

【分析】先求得集合A，求解集合B时对判别式与0的关系进行分类讨论即可得到的取值范围.

【详解】因为，当时，或，当时，，则或.

（1）时，或.

（2）时，有，

若，则 又因为，

故或.与矛盾.

若，若，得故时，；若，得，.

故.

若，即，.

综上所述：

故答案为：

15．设，，若恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】作出，的大致图象，由恒成立，利用数形结合可得到关于a的不等式，解不等式即可得解.

【详解】

作出函数的图像，向右平移一个单位得到的图像，如图所示.

要使恒成立，必有，即，

又，所以.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是正确作出函数的大致图象，然后根据函数与的图象的关系，数形结合判段的取值范围，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力，属于较难题.

16．已知函数对任意和任意都有恒成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】将化为关于的二次式子，利用判别式可将不等式化为对任意恒成立，令，可化为或，即可求出.

【详解】

，

因为对任意和任意都有恒成立，

所以对任意恒成立，

整理可得对任意恒成立，

即或，对任意恒成立，

即或对任意恒成立，

令，则，

则或对任意恒成立，

所以或，

因为，当且仅当，即时等号成立，所以，

又在单调递减，所以，

所以或.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（10分）

已知，且，求下列代数式的值：

(1)；

(2)；

(3)．

（注：立方和公式）

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求得，结合平方差公式求得正确答案.

（2）结合指数运算求得正确答案.

（3）结合指数运算以及立方和公式求得正确答案.

（1）

因为，且，所以.

.

（2）

.

（3）

.

18．（12分）已知非空集合，集合，命题.命题.

(1)当实数为何值时，是的充要条件；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知可求得的值；

（2）利用集合是集合的真子集分类讨论解关于的不等式组即可求得的取值范围.

（1）

因为集合解得.

集合解得.是的充要条件,故,

即与是方程的两个根，所以.

（2）

是的充分不必要条件，故集合是集合的真子集.由（1）知

当时，即或，，

故或解得.

当时，即，，

故或解得.

当时，即或，满足集合是集合的真子集，故或.

综上所述：的取值范围为

19．（12分）已知函数

(1)求函数的值域；

(2)当时，函数的值域为，求实数t的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）分离常数后，根据在定义域内的取值范围求出函数的值域；

（2）由题意判断函数的单调性，结合题意可知是方程的两个不相等的正根，进而有两个不相等的正根，利用根与系数的关系即可求解

（1）

，

又，

所以，

则，

故值域为．

（2）

在上单调递增，

因为时，值域为，

所以，

，

所以是方程的两个不相等的正根，

所以有两个不相等的正根，

所以且，

解得：，

所以．

20．（12分）如图，某广场要划定一矩形区域，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间均设有1米宽的走道，设一块绿化区小矩形的一边长为米，另一边长为米，已知三块绿化区的总面积为平方米．

(1)求矩形区域占地面积的表达式；

(2)求矩形区域占地面积的最小值．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）根据题意得，再根据计算即可；

（2）根据基本不等式求解即可.

（1）

解：因为一块绿化区小矩形的一边长为米，另一边长为米，三块绿化区的总面积为平方米，

所以，即，

因为三块绿化区四周和绿化区之间均设有1米宽的走道，

所以，，

所以，矩形区域占地面积，，

所以，矩形区域占地面积的表达式为，.

（2）

解：由（1）知，，

因为,当且仅当,即，时等号成立，

所以，，当且仅当，时等号成立，

所以，矩形区域占地面积的最小值为.

21．（12分）已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)已知，且在上恒成立，求的取值范围；

(3)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，，求的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

(3)

【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解原不等式，即可得解；

（2）由参变量分离法可得出，由求出的取值范围，即可得出实数的取值范围；

（3）根据题意求出的取值范围，利用韦达定理结合不等式的基本性质可求得的取值范围.

（1）

解：当时，由，解得或，

故原不等式的解集为或.

（2）

解：当时，，

由，可得，

因为，则，所以，.

（3）

解：由题意可知，且有，解得，则，

所以，.

22．（12分）已知定义域为，对任意都有，当时，，．

(1)试判断在上的单调性，并证明

(2)解不等式：

【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析

(2)

【分析】（1）由单调性的定义结合已知条件证明即可

（2）结合条件将所求不等式化为，由函数的单调性解出不等式即可.

（1）

函数在上单调递减，证明如下：

任取，且，

可得

，

因为，且时，，

所以，

所以

即，

所以在上单调递减．

（2）

令，得，

∴   

∴

∴，

又在上的单调递减且

∴，

∴．  

∴，

即不等式解集为