重庆市辅仁中学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题（人教A版2019必修第一册）

重庆市辅仁中学校2022-2023学年度（上）半期质量监测

高一年级数学试题

第Ⅰ卷(选择题)

一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. “”是“”的（    ）

A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 已知，则的最小值为（    ）

A 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. 下列结论正确是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若，则

5. 下列各组中的两个函数，表示同一个函数的是（    ）

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

6. 已知不等式的解集是则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

A.  B.  C.  D.

8. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A  B.  C.  D.

二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)

9. 下列命题正确的有（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

10. 与不等式的解集相同的不等式有（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 已知，且.则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数（）的图象可能是（    ）

A  B.

C.  D.

第Ⅱ卷(非选择题)

三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分．)

13. 已知集合，，若，则_______．

14. 已知正实数x，y满足，则最小值为______．

15. 函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是______ .

16. 若偶函数在，上为增函数，则不等式的解集__________.

四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17. 已知集合

（1）求

（2）求

18. 已知集合，，m∈R

（1）若m＝3，求A∩B;

（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q充分条件，求实数m的取值范围．

19. 已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）解关于x的不等式.

20. 某医院需要建造隔离病房和药物仓库，已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的离（千米）的关系为：．若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元，为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．

（1）求的表达式：

（2）当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小?并求出最小值．

21. 函数是定义在R上的奇函数，当时，．

（1）计算，;

（2）当时，求的解析式．

22. 已知定义域为，对任意都有，当时，．

（1）求;

（2）试判断在上的单调性，并证明;

（3）解不等式：．

重庆市辅仁中学校2022-2023学年度（上）半期质量监测

高一年级数学试题

第Ⅰ卷(选择题)

一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1. 下列元素与集合的关系中，正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由分别表示的数集，对选项逐一判断即可.

【详解】不属于自然数，故A错误；

不属于正整数，故B正确；

是无理数，不属于有理数集，故C错误；

属于实数，故D错误.

故选:B.

2. “”是“”的（    ）

A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】分析两个集合和的关系，从而推出命题之间的关系

【详解】解不等式，得

而集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分而不必要条件

故选：B

3. 已知，则的最小值为（    ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【答案】D

【解析】

【分析】由于，所以，构造基本不等式即可解决问题.

【详解】，

，

当且仅当，即时取等号，

故选：D.

4. 下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.

【详解】A选项，，如，而，所以A选项错误.

B选项，，如，而，所以B选项错误.

C选项，，则，所以，所以C选项正确.

D选项，，如，而，所以D选项错误.

故选：C

5. 下列各组中的两个函数，表示同一个函数的是（    ）

A. 与 B. 与 C. 与 D. 与

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的定义域，并化简函数解析式，进而判断各选项.

【详解】A选项：定义域为，的定义域为，故A选项错误；

B选项：与的定义域均为，且，故B选项正确；

C选项：与的定义域均为，但，故C选项错误；

D选项：的定义域为，的定义域为，故D选项错误；

故选：B.

6. 已知不等式的解集是则不等式的解集是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据不等式的解集可得对应方程的解，从而可求出的值，再解不含参数的一元二次不等式即可得解．

【详解】∵不等式的解集是，

∴是方程的两根，

∴，解得.

∴不等式为，

解得，

∴不等式的解集为.

故选：A.

7. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据的定义域即可得出需满足：，解出的范围即可．

【详解】解：的定义域为；

满足；

解得；

的定义域为．

故选A．

【点睛】考查函数定义域的概念及求法，已知定义域求定义域的方法．

8. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

详解：因为是定义域为的奇函数，且，

所以,

因此，

因为，所以，

，从而，选C.

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)

9. 下列命题正确的有（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】BD

【解析】

【分析】根据特称命题和全称命题的定义，对每一选项逐一判断即可.

【详解】解：对于A，由，得，，故A不正确；

对于B，当时， 所以B正确；

对于C，当时， 所以C不正确；

对于D，因为，所以 ，所以D正确.

故选：BD.

10. 与不等式的解集相同的不等式有（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】不等式的解集为，再求出各个选项的不等式的解，即得解.

【详解】解：因为，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为，

A.，二次函数的图象开口朝下，所以的解集为；

B.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；

C.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；

D. ，所以或，与已知不符.

故选：ABC

11. 已知，且.则下列不等式恒成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.

详解】当时，，所以BD选项错误.

A，，当且仅当时，等号成立，A正确.

C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.

故选：AC

12. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数（）的图象可能是（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】由函数的性质按照、、分类，结合函数图象的特征即可得解.

【详解】函数的定义域为，且，

所以该函数为偶函数，下面只讨论时的情况：，

当时，，图象为B；

当时，，图象为D；

若时，函数单调递增，图象为C；

所以函数的图象可能为BCD.

故选：BCD.

第Ⅱ卷(非选择题)

三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分．)

13. 已知集合，，若，则_______．

【答案】5

【解析】

【分析】由集合的性质，即元素的无序性和互异性可得，得.

【详解】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，，所以.

故答案为：5.

【点睛】（1）集合的充要条件是，且；

（2）集合由三个性质：确定性，互异性和无序性.

14. 已知正实数x，y满足，则最小值为______．

【答案】9

【解析】

【分析】利用基本不等式的性质直接求解即可.

【详解】正数，满足：，

，

当且仅当，即，时 “”成立，

故答案为：.

15. 函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是______ .

【答案】

【解析】

【分析】根据函数单调性定义，即可求得实数的取值范围．

【详解】因为函数是上的单调递减函数

所以满足

解不等式组可得

即

所以选A

【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档题．

16. 若偶函数在，上为增函数，则不等式的解集__________.

【答案】（﹣3，）

【解析】

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.

【详解】解：偶函数在上为增函数，

在上为减函数，

则不等式等价为，

即，

平方得，

解得，

故答案为：

【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题.

四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)

17. 已知集合

（1）求

（2）求

【答案】（1）；；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用并集、交集的定义直接求解作答.

（2）求出，再利用补集的定义求解作答.

【小问1详解】

因，所以，

又，所以.

【小问2详解】

因，则，而，

所以.

18. 已知集合，，m∈R

（1）若m＝3，求A∩B;

（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）   

（2）．

【解析】

【分析】（1）解不等式确定集合，然后由交集定义计算；

（2）根据充分条件的定义，由集合的包含关系求解．

【小问1详解】

由题意，，

；

【小问2详解】

是的充分条件，则，所以，解得．

19. 已知.

（1）当时，求不等式解集；

（2）解关于x的不等式.

【答案】（1）.（2）时，不等式无解；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解的结果，直接得到答案；

（2）对与2的大小关系分三种情况讨论，可得结果.

【详解】（1）时，不等式化为，

解得或，

不等式的解集为.

（2）关于x的不等式，即；

当时，不等式化为，不等式无解；

当时，解不等式，得；

当时，解不等式，得；

综上所述，时，不等式无解，

时，不等式的解集为，

时，不等式的解集为.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.

20. 某医院需要建造隔离病房和药物仓库，已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的离（千米）的关系为：．若距离为千米时，隔离病房建造费用为万元，为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需万元，铺设路面每千米成本为万元，设为建造病房与修路费用之和．

（1）求的表达式：

（2）当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小?并求出最小值．

【答案】（1）   

（2）当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元.

【解析】

【分析】（1）由已知得当时，，代入可得，则；

（2）利用基本不等式求最值即可.

【小问1详解】

由已知得当时，，代入可得，解得，

所以，

所以总费用；

【小问2详解】

由（1）得，

所以（万元），

当且仅当，即时，等号成立，

所以当隔离病房与药物仓库距离为千米时，可使得总费用最小为万元.

21. 函数是定义在R上的奇函数，当时，．

（1）计算，;

（2）当时，求的解析式．

【答案】（1）；   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据奇函数数性质可知，，利用函数解析式计算即可.

（2）先求出的解析式，再根据奇函数定义写出解析式即可.

【小问1详解】

因为是奇函数，所以；

，

【小问2详解】

因为，所以，则

因为是奇函数，所以

即当时，

22. 已知定义域为，对任意都有，当时，．

（1）求;

（2）试判断在上的单调性，并证明;

（3）解不等式：．

【答案】（1）2    （2）单调递减，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】(1)由，取特殊值即可求解;(2)由题构造，结合题意可证明单调性;(3)根据单调性解抽象不等式即可.

【小问1详解】

根据,

令，得，解得，

再令，则有，解得.

小问2详解】

判断：在上单调递减，证明如下：

设，则，

所以，即，

因为 所以，所以，

即都有，

所以在上单调递减.

【小问3详解】

由题可知，

所以，

所以由得，

即，即，

又因为，所以，

由(2)知在上单调递减，所以，

即即，解得.