专题06 两点间的距离、线段中点坐标、直线的方程（知识点串讲）-【中职专用】高二下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块下）

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专题06 两点间的距离、线段中点坐标、直线的方程【考点梳理】考点一：1．平面直角坐标系中的基本公式(1)数轴上A，B两点的距离：数轴上点A的坐标为x1，点B的坐标为x2，则A，B两点间的距离|AB|＝_|x2－x1|_．(2)平面直角坐标系中的基本公式：①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为：d(A，B)＝|AB|＝．②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为：(,　)例1.已知，，则线段的中点坐标为A． B． C． D．【答案】C 【解析】因为，，所以线段的中点坐标为，即，故选：C.变式1.点关于点的对称点为（       ）A．            B．           C．           D．【答案】D 【解析】设，则，，∴，，∴点，故选：D. 例2.已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（     ）A．8 B．6 C．3 D．0【答案】C【解析】因点，，则，所以A，B两点之间的距离等于3.故选：C.变式2.已知点，，且，则a的值为（       ）A．1 B． C．或 D．1或【答案】D【解析】由两点间的距离公式，可得，解得或，故选：D. 例3.以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（       ）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【答案】C【解析】，，，，所以三角形是直角三角形，故选：C.变式3.已知的顶点为A（2，1），B(-2，3)，C(0，-1)，则AC边上的中线长为（       ）A．3 B． C．4 D．【答案】B【解析】设AC的中点为D，因为A（2，1），C(0，-1)，所以,所以AC边上的中线长，故选：B. 考点二：2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝tanα　 (α≠90°)．当直线平行于x轴或者与x轴重合时k＝0；当直线的倾斜角为锐角时k>0；当直线的倾斜角为钝角时k<0；倾斜角为90°的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．　 (3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．例1.直线倾斜角大小为（       ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【解析】将直线化为斜截式方程为，所以直线的斜率，所以直线倾斜角大小为，故选：D.变式1.直线的倾斜角是（       ）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【解析】直线的斜率为1，倾斜角为45°，故选：B． 例2.直线l的斜率为，则l的倾斜角为（            ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【解析】因为直线l的斜率为，所以l的倾斜角为，故选：A.变式2.已知点，，则直线的倾斜角为（       ）A．30 B．60 C．120 D．150【答案】B【解析】由题得直线的斜率，设直线的倾斜角为，所以，故选：B. 例3.．直线的倾斜角是（       ）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】，即，直线的倾斜角为，故选：B.变式3.直线的倾斜角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线过点，且垂直与轴，所以直线的倾斜角为，故选：C. 例4.直线l的倾斜角的取值范围是（       ）A．      B．      C．   D． 【答案】D 【解析】由倾斜角的定义可知，直线l的倾斜角的取值范围是，故选：D.变式4.若直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的范围（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角为钝角，即直线的倾斜角的范围为，故选：D. 考点三：3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．注：截距不是距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)k存在斜截式y＝kx＋bk存在两点式＝x1≠x2且y1≠y2截距式＋＝1a≠0且b≠0一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的所有直线注：斜截式是点斜式的特例；截距式是两点式的特例．(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为y＝0． 例1.倾斜角为，且过点的直线的方程是（       ）A．           B．          C．           D．【答案】C【解析】因为倾斜角为，所以该直线不存在斜率，因为该直线过点，所以直线方程为，故选：C.变式1.已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为直线的倾斜角为，所以该直线无斜率，与轴垂直，又因为直线过点，所以直线的方程为，故选：D. 例2.经过点A（0，－3）且斜率为2的直线方程为（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为直线经过点且斜率为2，所以直线的方程为，即，故选：．变式2.已知直线过点，，则直线的方程为           .【答案】【解析】由直线方程的两点式可得，化简得，故答案为：. 例3.直线在轴上的截距为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由直线，可化为，所以直线在轴上的截距为，故选：D.变式3.直线在轴上的截距为（       ）A．2 B． C． D．3【答案】B【解析】令，则，故直线在轴上的截距为，故选：B. 例4.经过点()且平行于轴的直线方程为            .【答案】【解析】经过点()且平行于轴的直线方程为x＝－1，故答案为：x＝－1． 变式4.经过点且与x轴垂直的直线l的方程为           .【答案】【解析】直线与轴垂直，直线的斜率不存在，又直线经过点，直线的方程为：，故答案为：. 例5.过点(-3，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是（       ）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】当直线过原点时，直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，代入得，所以直线方程为，故选：D.变式5.已知直线l的斜率是1，在y轴上的截距是，则直线l的斜截式方程是          .【答案】【解析】 ，由直线的斜截式方程得：直线的斜截式方程为：，故答案为：.