专题10 空间中的平行关系（专题测试）-【中职专用】高二下学期数学期末复习大串讲（高教版·基础模块下）

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专题10 空间中的平行关系一、选择题1．若直线平行于平面，则下面结论正确的是（       ）A．直线一定与平面内所有直线平行           B．直线一定与平面内所有直线异面C．直线一定与平面内唯一一条直线平行       D．直线一定与平面内一组平行直线平行【答案】D【解析】对于A，当直线平行于平面时，直线与平面内的直线平行或异面，所以A错误，对于B，当直线平行于平面时，直线与平面内的直线平行或异面，所以B错误，对于CD，当直线平行于平面时，过直线的平面与平面相交，则交线与直线平行，并且这些交线是一组平行线，所以C错误，D正确，故选：D.2．直线平面，平面内有条直线交于一点，那么这条直线中与直线平行的直线（       ）A．至少有一条 B．至多有一条 C．有且只有一条 D．不存在【答案】B【解析】，则直线 与平面的直线可能平行或异面．则直线 可能与平面这n条互相相交的直线中的一条平行，与其余n-1条直线都异面，或与这n条互相相交的直线都异面．故选B.3．平面与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB=AE︰EC，如图，则BC与的位置关系是（     ）A．异面 B．相交 C．平行或相交  D．平行【答案】D【解析】在中，因为，所以，又平面，平面，故平面，选D．4．在正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是（     ）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，连结交于，连接，则易知，所以平面，故选B.5．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（       ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【解析】A选项，若，，则，或m，n相交或m，n异面，A错误；B选项，若，，则或，相交，B错误；C选项，若，，则或，C错误；D选项，若，，则，D正确，故选：D.6．已知l∥α，m∥α，l∩m=P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（      ）A．相交        B．平行         C．相交或平行        D．不确定【答案】B【解析】因为l∩m=P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m∥α，l∩m=P，所以β∥α，故选B. 7．已知长方体,平面平面，平面平面，则与的位置关系是（     ）A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定【答案】A【解析】因为几何体是长方体,所以平面平面,由已知条件得平面平面,平面平面,则由面面平行的性质定理得:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行,所以与的位置关系是平行，故选:.8．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（       ）A．0个 B．1个 C．0个或1个 D．1个或2个【答案】C【解析】根据平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：①连线与平面相交，可以作0个平行平面，②连线与平面平行，可以作1个平行平面，故选：C.9．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（       ）A．1 B． C．3 D．2【答案】A【解析】连结AC，交BD于O，连结OF，∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，∴OF∥PC，∴λ＝1，故选：A.10．设、、为平面，、为直线，给出下列条件：①，，，                  ②，③，                                   ④，，其中能推出的条件是（       ）.A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【解析】①有如下反例：故，不能推出；②面面平行的判定：平行于同一个平面的两个平面平行，能推出；③有如下反例：故，不能推出；④面面平行的推论：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行，能推出，故选：C.二、填空题11．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是            .【答案】平行【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α，故答案为：平行．12．已知直线平面，，那么过点P且平行于l的直线有            条．【答案】1【解析】因为直线l平面，点平面，即直线l，过P和直线l有且只有一个平面，设为，则平面与平面有一个公共点P， 由平面的基本性质可得平面与平面必有一条过点P的公共直线，设为m，则 ，且m只有一条，在平面内，故答案为：1.13．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是            .【答案】平行或相交【解析】若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交，故答案为：平行或相交.14．平面∥平面，直线l∥，则直线l与平面的位置关系是            .【答案】或【解析】由平面∥平面，直线l∥，可得或，故答案为：或.15．已知m，n为两条不同的直线，为平面，有下列命题：①，；②，；③，．其中正确的命题是            .（填序号）【答案】②【解析】①，，则或或相交.判断错误；②，.判断正确；③，，则或.判断错误，故答案为：②.16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是            .【答案】平面A1C1D，平面A1C1B【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D，平面A1C1B．∵AA1∥CC1，AA1=CC1，∴四边形ACC1A1是平行四边形；∴AC∥A1C1，又AC平面A1C1D，A1C1平面A1C1D，∴AC∥平面A1C1D；同理AC∥平面A1C1B，故答案为：平面A1C1D，平面A1C1B．17．下列说法正确的            .（填序号）①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行；③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行；④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行．【答案】②④【解析】对①：只有一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么有两个平面平行，故①错误；对②：根据平面平行的判定定理，显然成立，故②正确；对③：在两个平行平面内的两条直线，可以平行，也可以为异面直线，故③错误；对④：根据平面平行的判定定理，显然成立，故④正确，综上所述，正确的有②④，故答案为：②④.18．过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是            .【答案】l∥A1C1【解析】因为A1C1∥AC，AC不包含于平面BA1C1，AC⊂平面ABCD，所以AC∥平面BA1C1，又因为A1C1在底面BA1C1内，平面BA1C1∩底面ABCD＝直线l，根据线面平行的性质定理，得l∥A1C1，故答案为l∥A1C1．19．在正方体中，为棱的中点，则            平面(填或).【答案】【解析】画出图象如下图所示，根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以.由于平面，平面，所以平面，故答案为：. 20．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的序号为            .①若α//β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若α//β，a⊂α，则a//β；③若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．【答案】②【解析】①中直线a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故①错误；②由面面平行得a与β没有公共点，故②正确；③中直线a与平面β有可能平行，故③错误，故答案为：②.三、解答题21．如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明：平面BDM．【答案】证明见解析【解析】证明：连接AC交BD于点O，因为底面ABCD为平行四边形，所以O为AC中点，在△PAC中，又M为PC中点，所以OM∥PA，又PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以PA∥平面BDM．    22．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，点在棱上，平面，求证：为的中点.【答案】证明见解析【解析】证明：连接，交于点，连接．∵面，面面，面，面，∴．∵四边形是正方形，，即是的中点．∴△中是中位线，故为的中点．23．已知正方体中，E、F是BD、的中点．求证：（1）平面；（2）．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)连接，则与必交于，即也是中点，所以在△中，而面，面，则平面；(2)在正方体中，，由（1）知：，故. 24．已知P是四边形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别是PB，AB，BC的中点，求证：平面PAC∥平面EFG．【答案】证明详见解析．【解析】因为EF是△PAB的中位线，所以EF∥PA．又EF平面PAC，PA平面PAC，所以EF∥平面PAC．同理得EG∥平面PAC．又EF平面EFG，EG平面EFG，EF∩EG＝E，所以平面PAC∥平面EFG．25．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．【答案】证明详见解析．【解析】证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM．   26．如图，已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，求证：平面．【答案】证明详见解析．【解析】证明：连接、交点为，连接，则为的中位线，．平面，平面，平面．27．在长方体中，分别写出与以下对象平行的所有面.（1）直线；（2）面.【答案】（1）面，面，面.（2）面.【解析】（1）因为,平面，平面，AB不在平面内，AB不在平面内，所以AB||平面，AB||平面.因为,平面，AB不在平面内，所以AB||平面.所以与AB平行的平面有面，面，面.（2）由（1）得AB||平面，同理可得CB||平面,因为平面ABCD,CB平面ABCD,所以平面ABCD||平面.故与平面平行的平面有平面.28．在正方体中，，，分别是，，的中点.（1）证明：平面平面；（2）求直线与所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】解：(1)∵∥且EN平面MNE ,BC平面MNE ,∴BC∥平面MNE ,又∵∥且EM平面MNE , 平面MNE ,∴∥平面MNE又∵,   ∴ 平面∥平面,(2)由（1）得∥,∴ 为直线MN与所成的角，设正方体的棱长为a,在△中，，，∴.29．如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积.【答案】(1)证明过程见解析；(2)【解析】(1)因为E，F分别是AB，AP的中点，所以EF是三角形ABP的中位线，所以EF//PB，因为平面，平面，所以平面.(2)若三棱锥的各棱长均为2，则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，故它的表面积为30．如图所示的多面体中,四边形是菱形、是矩形，面，.（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】证明：（1）由是菱形 ，由是矩形，，.（2）连接，由是菱形，，由面,，则为四棱锥的高，由是菱形，，则为等边三角形，由；则，.